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高校数学Ⅰ・A「数と式」について,このサイトには次の教材があります.
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単項式と多項式
指数法則
展開公式1
展開公式2
置き換えによる展開
展開の順序
展開公式の応用問題
対称式の値
2次式の因数分解
いろいろな因数分解
1文字について整理
たすき掛け因数分解
同(1文字)
同(1文字)2
たすき掛け因数分解(2文字)
同(2文字)2
3次以上の因数分解
因数分解の応用問題
因数分解の入試問題
実数と根号(公式と例)
根号計算
同2
分母の有理化
無理数の独立
式の値(無理数の対称式)
xn+1/xnの値
センター問題 平方根の計算
根号計算の入試問題
二重根号
文字式を含む根号計算
絶対値
絶対値2つの外し方
絶対値の入試問題
センター共通 数と式(2013~)

== 根号の計算 ==

■解説
 根号の計算は中学校3年で習うが,高校の数学 I でもう一度復習するようになっている.

a , b , n>0 のとき,
ab=ab ···( I )
ab=ab ···( II )
特に,n2a=na ···( * )
(証明)
 証明は,根号記号の定義にさかのぼって行う:
a , x>0 のとき x2=ax=.a√ni と書く.
( I ) [←]  (.a√ni.b√ni)2=ab だから .a√ni .b√ni=.ab√nni

( II ) [←]  (ab)2=ab だから ab=ab


 ( I ) .6√ni=.2√ni .3√ni

 ( II ) 23=23
 ( * ) ( I ) を用いて,√の中で2個  → 外で1個 にする.
    .n2a√nni=.n2√nni.a√ni=n.a√ni


    .12√nni=.22√nnnni =2.3√ni
    .64√nni=.42√nnnni =4.4√ni
    .32√nni=.22·22·2√nnnnnni =4.2√ni

○ .2√ni.3√ni は,異なる文字 xy のように扱う.
  • (5x+4y)−(3x+y)=2x+3y と同様にして
    (5.2√ni+4.3√ni)−(3.2√ni+.3√ni)=2.2√ni+3.3√ni
    ※ これ以上簡単にならない

  • (x+y)2=x2+2xy+y2 と同様にして
    (.2√ni+.3√ni)2
    =(.2√ni)2+2.2√ni.3√ni+(.3√ni)2=5+2.6√ni


  • しかし, .8√ni.2√ni のように,変形すれば根号内が同じ数になるときは,「同類項」のようにまとめなければならない.
    .8√ni+.2√ni=2.2√ni+.2√ni=3.2√ni

  • 4.2√ni+3.2√ni=7.2√ni
    4.2√ni+2.3√ni+2.2√ni+3.3√ni+5=3.2√ni+5.3√ni+7
    4.3√ni+3.2√ni (※ これ以上簡単にならない)
    .3√ni−2 (※ これ以上簡単にならない)

  • .12√nni+.27√nni=2.3√ni+3.3√ni=5.3√ni

問題1 次の空欄を埋めよ.
・・・半角数字(1バイト文字)で解答すること

(1) .75√nni=.√nni

(2) .20√nni=.√nni

(3) .27√nni=.√nni

(4) .49√nni=

(5) .8√ni+.18√nni.2√ni

=.√nni


(6).32√nni.75√nni.2√ni+.27√nni

=.√nni.√nni

問題2 次の式を簡単にせよ.
(1) (.7√ni.3√ni)2

=.√nni


(2) (5+3.2√ni)2

=+.√nni


(3) (7+2.3√ni)(7−2.3√ni)

=


(4) (3+.2√ni)(3−2.2√ni)

=.√nni



■文字式の2乗を含む根号
 以下は,受験向きの内容.教科書ではあまり扱われていない.(やや難しい)

文字式の2乗を含む根号
..a2√nni=|a| … [ I ]

すなわち,.a2√nni=−a ( a<0 のとき)
       .a2√nni=a  ( a0 のとき) … [ II ]
(解説)
  .32√nni=.9√ni=3 であるが
  .(−3)2√nnnni=.9√ni=3 となる.
一般に,.a2√nni=a とは限らず,
  a0 ならば .a2√nni =a
  a<0 ならば .a2√nni =−a となる.
a<0 のとき,記号が − a でも,値は −(−3)=3 のように正になることに注意)
これらは,
  .a2√nni=|a| とまとめることができる.(ただし,これはまとめるための記号なので,[ II ]のように場合分けして答えることが多い.)
.(a_1)2√nnnnni +.(a+1)2√nnnnni を簡単にせよ.
.(a_1)2√nnnnni a<1 , a1 に分けて考える.
.(a+1)2√nnnnni a<−1 , a−1 に分けて考える.
全体を扱うには,a<−1 ,−1a<1 , 1a に分けて考える.
ア) a<−1 のとき,.(a_1)2√nnnnni =−a+1 , .(a+1)2√nnnnni =−a−1
 だから (原式)= -a+1−a−1=−2a

イ) - 1a<1 のとき,.(a_1)2√nnnnni =−a+1 , .(a+1)2√nnnnni =a+1
 だから (原式)= -a+1+a+1=2

ウ) a1 のとき,.(a_1)2√nnnnni =a−1 , .(a+1)2√nnnnni =a+1
 だから (原式)=a−1+a+1=2a
問題3
 x が実数値をとって変化するとき,.(2x_1)2√nnnnnni +.(2x+1)2√nnnnnni の最小値を求めよ.
(答案)
ア) x<−.12n のとき,
.(2x_1)2√nnnnnni =−2x+1 , .(2x+1)2√nnnnnni =−2x−1
 だから (原式)=−2x+1−2x−1=−4x (減少する)

イ) - .12nx<.12n のとき,
.(2x_1)2√nnnnnni =−2x+1 , .(2x+1)2√nnnnnni =2x+1
 だから (原式)=−2x+1+2x+1=2

ウ) x.12n のとき,
.(2x_1)2√nnnnnni =2x−1 , .(2x+1)2√nnnnnni =2x+1
 だから (原式)=2x−1+2x+1=4x (増加)

以上により,- .12nx.12n のとき,最小値 をとる.
問題4 x=(a+1)24のとき,xaa で表せ.
(答案)
xa=(a+1)24a
=a2+2a+14a4=a22a+14
=(a1)24 = |a−|2


■[個別の頁からの質問に対する回答][根号の計算について/17.6.21]
中学校レベルの質問ですが、例えば2.5√5など√の前に小数がつくのは大丈夫ですか?よろしくお願いします。
=>[作者]:連絡ありがとう.係数が小数になる根号はあまり見かけないようですがab の形で表される数について,a , bのいずれも「何でもあり」です.
係数が小数(分数)の場合の例:2.55=525
根号内が小数の場合の例:0.16=0.4
係数も根号の場合の例:23=6
根号内が負の数の場合は,高校で習う虚数になります:4

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