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※高校数学Ⅰ・Ａの「数と式」について，このサイトには次の教材があります．
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↓単項式と多項式
↓指数法則
↓展開公式1
↓展開公式2
↓置き換えによる展開
↓展開の順序
↓展開公式の応用問題
↓対称式の値
↓２次式の因数分解
↓いろいろな因数分解
↓１文字について整理
↓たすき掛け因数分解
↓同(1文字)
↓同(1文字)2
↓たすき掛け因数分解(2文字)
↓同(2文字)2
↓３次以上の因数分解
↓因数分解の応用問題
↓因数分解の入試問題
↓実数と根号（公式と例）
↓根号計算
↓同2
↓分母の有理化
↓無理数の独立
↓式の値(無理数の対称式)
↓xn+1/xnの値
↓センター問題 平方根の計算
↓根号計算の入試問題
↓二重根号
↓文字式を含む根号計算
↓絶対値
↓絶対値2つの外し方
↓絶対値の入試問題
センター共通 数と式(2013～)

== 根号の計算 ==

■解説
○　根号の計算は中学校３年で習うが，高校の数学 I でもう一度復習するようになっている．

a , b , n>0 のとき，
ab=ab ···( I )
ab=ab ···( II )
特に，n2a=na ···( * )
（証明）
　証明は，根号記号の定義にさかのぼって行う：
a , x>0 のとき x2=a ⇔ x=.√a√ni と書く．
( I ) [←] 　(.√a√ni.√b√ni)2=ab だから .√a√ni .√b√ni=.√ab√nni

( II ) [←] 　(ab)2=ab だから ab=ab

例
　( I )　.√6√ni=.√2√ni .√3√ni

　( II )　23=23
　( * )　( I )　を用いて，√の中で２個　 → 外で1個　にする．
　　　　.√n2a√nni=.√n2√nni.√a√ni=n.√a√ni

　　　　.√12√nni=.√3·22√nnnni =2.√3√ni
　　　　.√64√nni=.√4·42√nnnni =4.√4√ni
　　　　.√32√nni=.√22·22·2√nnnnnni =4.√2√ni

○　.√2√ni や .√3√ni は，異なる文字 x や y のように扱う．
  • (5x+4y)−(3x+y)=2x+3y と同様にして
    (5.√2√ni+4.√3√ni)−(3.√2√ni+.√3√ni)=2.√2√ni+3.√3√ni
    ※　これ以上簡単にならない

  • (x+y)2=x2+2xy+y2 と同様にして
    (.√2√ni+.√3√ni)2
    =(.√2√ni)2+2.√2√ni.√3√ni+(.√3√ni)2=5+2.√6√ni

  • しかし， .√8√ni と .√2√ni のように，変形すれば根号内が同じ数になるときは，「同類項」のようにまとめなければならない．
    .√8√ni+.√2√ni=2.√2√ni+.√2√ni=3.√2√ni
例
  • 4.√2√ni+3.√2√ni=7.√2√ni
    4.√2√ni+2.√3√ni+2−.√2√ni+3.√3√ni+5=3.√2√ni+5.√3√ni+7
    4.√3√ni+3.√2√ni　（※　これ以上簡単にならない）
    .√3√ni−2　（※　これ以上簡単にならない）

  • .√12√nni+.√27√nni=2.√3√ni+3.√3√ni=5.√3√ni

問題１　次の空欄を埋めよ．
･･･半角数字（１バイト文字）で解答すること

(1)　.√75√nni=.√√nni

(2)　.√20√nni=.√√nni

(3)　.√27√nni=.√√nni

(4)　.√49√nni=

(5)　.√8√ni+.√18√nni−.√2√ni

=.√√nni

(6).√32√nni−.√75√nni−.√2√ni+.√27√nni

=.√√nni−.√√nni
問題２　次の式を簡単にせよ．
(1)　(.√7√ni−.√3√ni)2

=−.√√nni

(2)　(5+3.√2√ni)2

=+.√√nni

(3)　(7+2.√3√ni)(7−2.√3√ni)

=

(4)　(3+.√2√ni)(3−2.√2√ni)

=−.√√nni


■文字式の２乗を含む根号
○　以下は，受験向きの内容．教科書ではあまり扱われていない．（やや難しい）

文字式の２乗を含む根号
..√a2√nni=|a| … [ I ]

すなわち，.√a2√nni=−a　（ a<0 のとき）
　　　　　　 .√a2√nni=a　 （ a≧0 のとき） … [ II ]
（解説）
　　.√32√nni=.√9√ni=3 であるが
　　.√(−3)2√nnnni=.√9√ni=3 となる．
一般に，.√a2√nni=a とは限らず，
　　a≧0 ならば .√a2√nni　=a
　　a<0 ならば .√a2√nni　=−a となる．
（ a<0 のとき，記号が − a でも，値は −(−3)=3 のように正になることに注意）
これらは，
　　.√a2√nni=|a|　とまとめることができる．（ただし，これはまとめるための記号なので，[ II ]のように場合分けして答えることが多い．）
例 .√(a_1)2√nnnnni +.√(a+1)2√nnnnni　を簡単にせよ．
.√(a_1)2√nnnnni は a<1 , a≧1 に分けて考える．
.√(a+1)2√nnnnni は a<−1 , a≧−1 に分けて考える．
全体を扱うには，a<−1 ,−1≦a<1 , 1≦a に分けて考える．
ア） a<−1 のとき，.√(a_1)2√nnnnni =−a+1 , .√(a+1)2√nnnnni =−a−1
　だから　（原式）= -a+1−a−1=−2a

イ） - 1≦a<1 のとき，.√(a_1)2√nnnnni =−a+1 , .√(a+1)2√nnnnni =a+1
　だから　（原式）= -a+1+a+1=2

ウ） a≧1 のとき，.√(a_1)2√nnnnni =a−1 , .√(a+1)2√nnnnni =a+1
　だから　（原式）=a−1+a+1=2a
問題３
　x が実数値をとって変化するとき，.√(2x_1)2√nnnnnni +.√(2x+1)2√nnnnnni　の最小値を求めよ．
（答案）
ア） x<−.12n のとき，
.√(2x_1)2√nnnnnni =−2x+1 , .√(2x+1)2√nnnnnni =−2x−1
　だから　（原式）=−2x+1−2x−1=−4x　（減少する）

イ） - .12n≦x<.12n のとき，
.√(2x_1)2√nnnnnni =−2x+1 , .√(2x+1)2√nnnnnni =2x+1
　だから　（原式）=−2x+1+2x+1=2

ウ） x≧.12n のとき，
.√(2x_1)2√nnnnnni =2x−1 , .√(2x+1)2√nnnnnni =2x+1
　だから　（原式）=2x−1+2x+1=4x （増加）

以上により，- .12n≦x≦.12n のとき，最小値 をとる．
問題４ x=(a+1)24のとき，x−aをa で表せ．
（答案）
x−a=(a+1)24−a
=a2+2a+1−4a4=a2−2a+14
=(a−1)24 = |a−|2


■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／17.6.21］
中学校レベルの質問ですが、例えば2.5√5など√の前に小数がつくのは大丈夫ですか？よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．係数が小数になる根号はあまり見かけないようですがab の形で表される数について，a , bのいずれも「何でもあり」です．
係数が小数（分数）の場合の例：2.55=525
根号内が小数の場合の例：0.16=0.4
係数も根号の場合の例：23=6
根号内が負の数の場合は，高校で習う虚数になります：−4

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