■根号の計算 ･･･半角数字（１バイト文字）で解答すること
問題１　次の空欄を埋めよ．
(1)　√75mmmm=√mmmm

(2)　√20mmmm=√mmmm

(3)　√27mmmm=√mmmm

(4)　√49mmmm=

(5)　√8mmm+√18mmmm−√2mmm=√mmmm

(6)　√32mmmm−√75mmmm−√2mmm+√27mmmm=√mmmm−√mmmm
問題２　次の式を簡単にせよ．
(1)　(√7mmm−√3mmm)2=−√mmmm

(2)　(5+3√2mmm)2=+√mmmm

(3)　(7+2√3mmm)(7−2√3mmm)=

(4)　(3+√2mmm)(3−2√2mmm)=−√mmmm


■解説
○　根号の計算は中学校３年で習うが，高校の数学 I でもう一度復習するようになっている．

a , b , n>0 のとき，
ab=ab ···( I )
ab=ab ···( II )
特に，n2a=na ···( * )
（証明）
　証明は，根号記号の定義にさかのぼって行う：
a , x>0 のとき x2=a ⇔ x=.√a√ni と書く．
( I ) [←] 　(.√a√ni.√b√ni)2=ab だから .√a√ni .√b√ni=.√ab√nni

( II ) [←] 　(ab)2=ab だから ab=ab
例
　( I )　.√6√ni=.√2√ni .√3√ni

　( II )　23=23

　( * )　( I )　を用いて，√の中で２個　 → 外で1個　にする．
　　　　.√n2a√nni=.√n2√nni.√a√ni=n.√a√ni

　　　　.√12√nni=.√3·22√nnni =2.√3√ni
　　　　.√64√nni=.√4·42√nnni =4.√4√ni
　　　　.√32√nni=.√22·22·2√nnnnnni =4.√2√ni

○　.√2√ni や .√3√ni は，異なる文字 x や y のように扱う．
  • (5x+4y)−(3x+y)=2x+3y と同様にして
    (5.√2√ni+4.√3√ni)−(3.√2√ni+.√3√ni)=2.√2√ni+3.√3√ni
    ※　これ以上簡単にならない

  • (x+y)2=x2+2xy+y2 と同様にして
    (.√2√ni+.√3√ni)2
    =(.√2√ni)2+2.√2√ni.√3√ni+(.√3√ni)2=5+2.√6√ni

  • しかし， .√8√ni と .√2√ni のように，変形すれば根号内が同じ数になるときは，「同類項」のようにまとめなければならない．
    .√8√ni+.√2√ni=2.√2√ni+.√2√ni=3.√2√ni

 例
  • 4.√2√ni+3.√2√ni=7.√2√ni
    4.√2√ni+2.√3√ni+2−.√2√ni+3.√3√ni+5=3.√2√ni+5.√3√ni+7
    4.√3√ni+3.√2√ni　（※　これ以上簡単にならない）
    .√3√ni−2　（※　これ以上簡単にならない）

  • .√12√nni+.√27√nni=2.√3√ni+3.√3√ni=5.√3√ni

■文字式の２乗を含む根号
○　以下は，受験向きの内容．教科書ではあまり扱われていない．（やや難しい）

文字式の２乗を含む根号
..√a2√nni=|a| … [ I ]

すなわち，.√a2√nni=−a　（ a<0 のとき）
　　　　　　 .√a2√nni=a　 （ a≧0 のとき） … [ II ]
（解説）
　　.√32√nni=.√9√ni=3 であるが
　　.√(−3)2√nnnni=.√9√ni=3 となる．
一般に，.√a2√nni=a とは限らず，
　　a≧0 ならば .√a2√nni　=a
　　a<0 ならば .√a2√nni　=−a となる．
（ a<0 のとき，記号が - a でも，値は −(−3)=3 のように正になることに注意）
これらは，
　　.√a2√nni=|a|　とまとめることができる．（ただし，これはまとめるための記号なので，[ II ]のように場合分けして答えることが多い．） 		例 .√(a−1)2√nnnnnni +.√(a+1)2√nnnnnni　を簡単にせよ．
.√(a_1)2√nnnnnni は a<1 , a≧1 に分けて考える．
.√(a+1)2√nnnnnni は a<−1 , a≧−1 に分けて考える．
全体を扱うには，a<−1 ,−1≦a<1 , 1≦a に分けて考える．
ア） a<−1 のとき，.√(a_1)2√nnnnni =−a+1 , .√(a+1)2√nnnnnni =−a−1
　だから　（原式）= -a+1−a−1=−2a

イ） - 1≦a<1 のとき，.√(a_1)2√nnnnni =−a+1 , .√(a+1)2√nnnnnni =a+1
　だから　（原式）= -a+1+a+1=2

ウ） a≧1 のとき，.√(a_1)2√nnnnni =a−1 , .√(a+1)2√nnnnnni =a+1
　だから　（原式）=a−1+a+1=2a
問題３
　x が実数値をとって変化するとき，.√(2x_1)2√nnnnnni +.√(2x+1)2√nnnnnni　の最小値を求めよ．
（答案）
ア）
x<−.12n のとき，
.√(2x_1)2√nnnnnni =−2x+1 , .√(2x+1)2√nnnnnnni =−2x−1
　だから　（原式）=−2x+1−2x−1=−4x　（減少する）
イ）
- .12n≦x<.12n のとき，
.√(2x_1)2√nnnnnni =−2x+1 , .√(2x+1)2√nnnnnnni =2x+1
　だから　（原式）=−2x+1+2x+1=2
ウ） x≧.12n のとき，
.√(2x_1)2√nnnnnni =2x−1 , .√(2x+1)2√nnnnnni =2x+1
　だから　（原式）=2x−1+2x+1=4x （増加）
以上により，- .12n≦x≦.12n のとき，最小値 をとる．
問題４ x=(a+1)24のとき，x−aをa で表せ．
（答案）
x−a=(a+1)24−a
=a2+2a+1−4a4=a2−2a+14
=(a−1)24

= .|a−|2nnnnnn


■［個別の頁からの質問に対する回答］[根号の計算について／17.6.21］
中学校レベルの質問ですが、例えば2.5√5など√の前に小数がつくのは大丈夫ですか？よろしくお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．係数が小数になる根号はあまり見かけないようですがab の形で表される数について，a , bのいずれも「何でもあり」です．
係数が小数（分数）の場合の例：2.55=525
根号内が小数の場合の例：0.16=0.4
係数も根号の場合の例：23=6
根号内が負の数の場合は，高校で習う虚数になります：−4

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△
【 アンケート送信 】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．
○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）


質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります