文字式を含む根号計算

大きな区分

数と式(公式と例)/対称式の変形/実数と根号（公式と例）/根号計算1/根号計算2/分母の有理化/無理数の独立/式の値(無理数の対称式)/xⁿ+1/xⁿの値/センター試験問題平方根の計算/根号計算の入試問題/二重根号/絶対値/絶対値2つの外し方/絶対値の入試問題/文字式を含む根号計算/センター共通数と式問題/

== 文字式を含む根号計算 ==

【基本1】

\sqrt{a^{2}} = | a |

【例1】

\sqrt{(a - 1)^{2}} = | a - 1 | =

−(a−1)（a<1のとき）
a−1（a≧1のとき）

【例2】

\sqrt{(a + 1)^{2}} = | a + 1 | =

−a−1（a<−1のとき）
a+1（a≧−1のとき）

※ほとんどの問題は，古い時代（昭和の頃）の入試問題の引用ですが，大学・年度が分からないものが多く，以下の問題では引用元を明示していません．（どの問題集にも孫引きの孫引きのような形で，ありふれた形で掲載されているものですが，問題としては一度はやっておく方がよい良問と言えるでしょう）

【問題1】

x = a^{2} + 1

（aは実数）とするとき，次の式を簡単にしてください．

\sqrt{x + 2 a} + \sqrt{x - 2 a}

［解答を見る］

\sqrt{a^{2} + 1 + 2 a} + \sqrt{a^{2} + 1 - 2 a}

= \sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(a - 1)^{2}}

(1) ここで，数研チャートなどで有名な，次の注意事項を思い出しましょう

A ≧ 0

のとき

\sqrt{A^{2}} = A

A < 0

のとき

\sqrt{A^{2}} = - A

　要するに

\sqrt{A^{2}}

は，単純にAになるのではなくて，Aが負の数の場合があるから，|A|に等しいということ

（原式）=|a+1|+|a−1|

(2)　２つの絶対値記号|a|と|b|（ただし，a<bとする）を同時に外すには，３つの区間
x<a, a≦x<b, b≦xに分けたらよい

ア） a<−1のとき
−a−1−(a−1)=−2a
イ） −1≦a<1のとき
a+1−(a−1)=2
ウ） 1≦aのとき
a+1+(a−1)=2a
→［解答を隠す］←

【問題2】

x = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a})

（a>0）とするとき，次の式をaで表してください．

x + \sqrt{x^{2} - 1}

［解答を見る］

\sqrt{x^{2} - 1} = \sqrt{\frac{1}{4} (a^{2} + 2 + \frac{1}{a^{2}}) - 1}

= \sqrt{\frac{a^{4} + 2 a^{2} + 1 - 4 a^{2}}{4 a^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{4} - 2 a^{2} + 1}{4 a^{2}}}

a>0だから

= \frac{| a^{2} - 1 |}{2 a}

ア） 0<a<1のとき
　（原式）=

\frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) + \frac{1 - a^{2}}{2 a}

= \frac{a^{2} + 1 + 1 - a^{2}}{2 a} = \frac{2}{2 a} = \frac{1}{a}

イ） 1≦aのとき
　（原式）=

\frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) + \frac{a^{2} - 1}{2 a}

= \frac{a^{2} + 1 + a^{2} - 1}{2 a} = \frac{2 a^{2}}{2 a} = a

→［解答を隠す］←

【問題3】

x = \frac{2 a}{1 + a^{2}}

とするとき，次の式をaで表してください．

\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}}

［解答を見る］

\sqrt{1 + x} = \sqrt{1 + \frac{2 a}{1 + a^{2}}} = \sqrt{\frac{1 + a^{2} + 2 a}{1 + a^{2}}}

= \sqrt{\frac{(a + 1)^{2}}{1 + a^{2}}} = \frac{| a + 1 |}{\sqrt{1 + a^{2}}}

\sqrt{1 - x} = \sqrt{1 - \frac{2 a}{1 + a^{2}}} = \sqrt{\frac{1 + a^{2} - 2 a}{1 + a^{2}}}

= \sqrt{\frac{(a - 1)^{2}}{1 + a^{2}}} = \frac{| a - 1 |}{\sqrt{1 + a^{2}}}

（原式）=

\frac{\frac{| a + 1 |}{\sqrt{1 + a^{2}}} - \frac{| a - 1 |}{\sqrt{1 + a^{2}}}}{\frac{| a + 1 |}{\sqrt{1 + a^{2}}} + \frac{| a - 1 |}{\sqrt{1 + a^{2}}}}

= \frac{- (a + 1) + (a - 1)}{- (a + 1) - (a - 1)} = \frac{- 2}{- 2 a} = \frac{1}{a}

ア） a<−1のとき

= \frac{- (a + 1) + (a - 1)}{- (a + 1) - (a - 1)} = \frac{- 2}{- 2 a} = \frac{1}{a}

イ） −1≦a<1のとき

\frac{(a + 1) + (a - 1)}{(a + 1) - (a - 1)} = \frac{2 a}{2} = a

ウ） 1≦aのとき

\frac{(a + 1) - (a - 1)}{(a + 1) + (a - 1)} = \frac{2}{2 a} = \frac{1}{a}

→［解答を隠す］←

【問題4】

x = \frac{1 + a^{2}}{a}, a > 0

とするとき，次の式をaで表してください．

\frac{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}}

［解答を見る］

\sqrt{x + 2} = \sqrt{\frac{1 + a^{2}}{a} + 2} = \sqrt{\frac{1 + a^{2} + 2 a}{a}}

= \sqrt{\frac{(a + 1)^{2}}{a}} = \frac{| a + 1 |}{\sqrt{a}}

\sqrt{x - 2} = \sqrt{\frac{1 + a^{2}}{a} - 2} = \sqrt{\frac{1 + a^{2} - 2 a}{a}}

= \sqrt{\frac{(a - 1)^{2}}{a}} = \frac{| a - 1 |}{\sqrt{a}}

（原式）=

\frac{\frac{| a + 1 |}{\sqrt{a}} + \frac{| a - 1 |}{\sqrt{a}}}{\frac{| a + 1 |}{\sqrt{a}} - \frac{| a - 1 |}{\sqrt{a}}}

= \frac{| a + 1 | + | a - 1 |}{| a + 1 | - | a - 1 |}

ア） 0<a<1のとき

\frac{(a + 1) + (- a + 1)}{(a + 1) - (- a + 1)} = \frac{2}{2 a} = \frac{1}{a}

イ） 1≦aのとき

\frac{(a + 1) + (a - 1)}{(a + 1) - (a - 1)} = \frac{2 a}{2} = a

→［解答を隠す］←

【問題5】

\sqrt{x} = \frac{1}{2} (1 - a), a ≦ 1

とするとき，次の式を簡単にしてください．

\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a + 2}

［解答を見る］

x + a = \frac{(1 - a)^{2}}{4} + a = \frac{a^{2} + 2 a + 1}{4} = \frac{(a + 1)^{2}}{4}

\sqrt{x + a} = \frac{| a + 1 |}{2}

x - a + 2 = \frac{(1 - a)^{2}}{4} - a + 2 = \frac{a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 8}{4}

= \frac{a^{2} - 6 a + 9}{4} = \frac{(a - 3)^{2}}{4}

\sqrt{x - a + 2} = \frac{| a - 3 |}{2}

（原式）

= \frac{| a + 1 |}{2} - \frac{| a - 3 |}{2}

ア） a<−1のとき

= \frac{- (a + 1)}{2} + \frac{(a - 3)}{2} = - 2

イ） −1≦a≦1のとき

= \frac{(a + 1)}{2} + \frac{(a - 3)}{2} = a - 1

→［解答を隠す］←

【問題6】

\sqrt{x} = \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}}, a > 0

とするとき，次の式を簡単にしてください．

\frac{x - 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x}}{x - 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x}}

［解答を見る］

x = a + \frac{1}{a} + 2 = \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a} = \frac{(a + 1)^{2}}{a}

x^{2} - 4 x = \frac{(a + 1)^{4}}{a^{2}} - 4 \frac{(a + 1)^{2}}{a}

= \frac{(a + 1)^{4} - 4 a (a + 1)^{2}}{a^{2}}

= \frac{(a + 1)^{2} {(a + 1)^{2} - 4 a}}{a^{2}}

= \frac{(a + 1)^{2} (a^{2} - 2 a + 1)}{a^{2}}

= \frac{(a + 1)^{2} (a - 1)^{2}}{a^{2}} = \frac{(a^{2} - 1)^{2}}{a^{2}}

\sqrt{x^{2} - 4 x} = \frac{| a^{2} - 1 |}{a}

（原式）

= \frac{\frac{(a + 1)^{2}}{a} - 2 + \frac{| a^{2} - 1 |}{a}}{\frac{(a + 1)^{2}}{a} - 2 - \frac{| a^{2} - 1 |}{a}}

= \frac{(a + 1)^{2} - 2 a + | a^{2} - 1 |}{(a + 1)^{2} - 2 a - | a^{2} - 1 |}

= \frac{a^{2} + 1 + | a^{2} - 1 |}{a^{2} + 1 - | a^{2} - 1 |}

ア） 0<a<1のとき，

a^{2} < 1

だから
（原式）

= \frac{a^{2} + 1 - (a^{2} - 1)}{a^{2} + 1 + (a^{2} - 1)} = \frac{2}{2 a^{2}} = \frac{1}{a^{2}}

イ） 1≦aのとき，

a^{2} ≧ 1

だから
（原式）

= \frac{a^{2} + 1 + (a^{2} - 1)}{a^{2} + 1 - (a^{2} - 1)} = \frac{2 a^{2}}{2} = a^{2}

→［解答を隠す］←

【基本2】

\sqrt{a + 2 \sqrt{b}}

は，st=b, s+t=aとなる正の数s, tが見つかれば

\sqrt{a + 2 \sqrt{b}} = \sqrt{s} + \sqrt{t}

と変形できる．
また

\sqrt{a - 2 \sqrt{b}}

は，st=b, s+t=a, s>tとなる正の数s, tが見つかれば

\sqrt{a - 2 \sqrt{b}} = \sqrt{s} - \sqrt{t}

と変形できる．

【問題7】

　a>0のとき，次の式を簡単にしてください．

\sqrt{a + 1 + 2 \sqrt{a}}

［解答を見る］

aと1の積はa，和はa+1となるから

\sqrt{a + 1 + 2 \sqrt{a}} = \sqrt{a} + \sqrt{1} = \sqrt{a} + 1

→［解答を隠す］←

【問題8】

　a≧0のとき，次の式を簡単にしてください．

\sqrt{2 a + 1 - 2 \sqrt{a^{2} + a}}

［解答を見る］

a \times (a + 1) = a (a + 1)

a + (a + 1) = 2 a + 1

a≧0のとき，

a + 1 > a ≧ 0

だから

\sqrt{2 a + 1 - 2 \sqrt{a^{2} + a}} = \sqrt{a + 1} - \sqrt{a}

→［解答を隠す］←

【問題9】

　x≧0のとき，次の式を簡単にしてください．

\sqrt{x^{2} + 2 + 2 \sqrt{x^{3} + 1}}

［解答を見る］

(x + 1) \times (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1

(x + 1) + (x^{2} - x + 1) = x^{2} + 2

x≧0のとき，

x + 1, x^{2} - x + 1 > 0

だから

\sqrt{x^{2} + 2 + \sqrt{x^{3} + 1}} = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x^{2} - x + 1}

→［解答を隠す］←

【問題10】

　 $x=2\sqrt{a-1},\hspace{5}a\gt 1$ のとき，次の式をxで表してください．
$\frac{\sqrt{a+ x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+ x}-\sqrt{a-x}}$

［解答を見る］

$\sqrt{a+ x}=\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}+ 1$
$\sqrt{a-x}=\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}$
ここで，a−1<1 ⇔ (1<)a<2により
ア） 1<a<2のとき， $\sqrt{a-1}\lt 1$ だから
$\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=1-\sqrt{a-1}$
イ） 2≦aのとき， $\sqrt{a-1}\underset{=}{\gt}1$ だから
$\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}-1$
したがって
ア） 1<a<2のとき
（原式） $=\frac{\sqrt{a-1}+ 1+ 1-\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}+ 1-1+\sqrt{a-1}}=\frac{2}{2\sqrt{a-1}}=\frac{2}{x}$
イ） 2≦aのとき
（原式） $=\frac{\sqrt{a-1}+ 1+\sqrt{a-1}-1}{\sqrt{a-1}+ 1-\sqrt{a-1}+ 1}=\frac{2\sqrt{a-1}}{2}=\frac{x}{2}$
→［解答を隠す］←

【問題11】

　x≧1のとき，次の式を簡単にしてください．