■１　・・・・・・・・・場合分けによって絶対値記号をはずす方法・・・・・・・・・・・

　［定義］　数直線上で，ｘが表わす点と原点との間の距離を|ｘ|で表わします．

《要点》

■２　・・・・・・・・・グラフを利用する方法・・・・・・・・・・・
《解説つづき》
　｜｜はマイナスのものをプラスに変える（プラスのものはそのまま）ので，ｘ軸よりも下にある部分を折り返す操作を表わします．これを利用して，絶対値が繰り返し適用されているような式のグラフを順に作ることができます．
 

■例　ｙ＝|||x|-1|-1|のグラフ 折り返す＝＝＞下に１移動＝＝＞ 折り返す＝＝＞下に１移動＝＝＞折り返す＝＝＞

《問題》 ■１ 　　|||x|-1|-1|＝ｋの解の個数を調べなさい． （答案） 右の図により， ア）　ｋ＜０のとき個 イ）　ｋ＝０のとき個 ウ）　０＜ｋ＜１のとき個 エ）　ｋ＝１のとき個 オ）　ｋ＞１のとき個 ア） k<0のとき0個 イ） k=0のとき3個 ウ） 0<k<1のとき6個 エ） k=1のとき4個 オ） k>1のとき2個

■２ 　関数f(x)＝||x-4|-5|に対し答えよ． (1)　y=f(x)のグラフをかけ． (2)　ｔ＞０に対して，区間−ｔ≦ｘ≦２ｔにおける関数f(x)の最大値をg(t)とする.このとき関数g(t)を求め，そのグラフをかけ．   「2000年鳴門教育大入試問題」の引用

(1) ==> ==>==>・・・（答） (2)
 

ア 　右図のようになるのは，２ｔ＜４すなわち０＜ｔ＜２のとき 最大値はg(t)＝f(2t)＝ この区間ではy=x+1のグラフだからf(2t)=2t+1
イ 　右図のようになるのは， ２ｔ≧４ かつ −（−ｔ）−１＜５ すなわち２≦ｔ＜６のとき，最大値はg(t)＝f(4)＝ f(4)=5
ウ 　ｔ≧６かつf(2t)<f(-t)のときは右の図のようになる． 　f(2t)＜f(-t)←→2t-9＜-(-t)-1←→t＜８ 　つまり６≦ｔ＜８のとき，最大値はg(t)＝f(-t)＝ 左端のグラフはy=−x−1のグラフだからf(−t)=t−1
エ 　右図のようになるのは８≦ｔのときで，このとき 　最大値はg(t)＝f(2t)＝ 右端のグラフはy=x−9のグラフだからf(2t)=2t−9
	・・・グラフ（答）

■３・・・（２次関数，２次不等式を習っていたらこの問題もしましょう） 　関数　f(x)＝｜ｘ２−３ｘ｜−ｘを考える． (1)　実数の定数ｋに対して，ｙ＝f(x)のグラフと直線ｙ＝ｋとの共有点の個数を調べよ． (2)　方程式　f(x)＝２｜ｘ−１｜の解は４個ある．それらの解ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４（ｘ１＜ｘ２＜ｘ３＜ｘ４）を求めよ． （1999年度近畿大学入試問題の引用）

答案 (1) 　ｙ＝f(x)のグラフは右図（赤線）のようになる．   （※目分量による合成↓参照） 　このうち区間０≦ｘ≦３における正確な関数形は ｙ＝−ｘ２＋３ｘ−ｘ＝−ｘ２＋２ｘ ＝−（ｘ２−２ｘ）＝−（ｘ−１）２＋１ 　だから　頂点は(１，１) 　したがって，ｙ＝f(x)のグラフと直線ｙ＝ｋとの共有点の個数は ア）　ｋ＜−３のとき個 イ）　ｋ＝−３のとき個 ウ）　−３＜ｋ＜０のとき個 エ）　ｋ＝０のとき個 オ）　０＜ｋ＜１のとき個 カ）　ｋ＝１のとき個 キ）　１＜ｋのとき個 ア） k<−3のとき0個 イ） k=−3のとき1個 ウ） −3< k<0のとき2個 エ） k=0のとき3個 オ） 0<k<1のとき4個 カ） k=1のとき3個 キ） 1<kのとき2個         (2)　右の図により 各々途中計算を選びなさい↓ 　 ア）ｘ＜０のとき， (ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１） (ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１） −(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１） −(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１） より　ｘ１＝１−√3 イ）０＜ｘ＜１のとき， (ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１） (ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１） −(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１） −(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１） より　ｘ２＝２−√2 ウ）１＜ｘ＜３のとき， (ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１） (ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１） −(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１） −(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１） より　ｘ３＝√2 エ）３＜ｘのとき， (ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１） (ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１） −(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（ｘ−１） −(ｘ２−３ｘ)−ｘ＝２（−ｘ＋１） より　ｘ４＝３＋√7

■４・・・（次の問題の答案をまとめるのは大変．しかし，実際は穴埋め問題なので「まとめ」なくてもよい） 　ａは実数とする．関数Ｆａ(ｘ)＝｜ｘ−２｜＋｜ｘ−ａ｜＋｜ｘ−６｜ の区間［ａ−２，ａ＋２］における最小値をｍ(ａ)，最大値をＭ(ａ)として， 区間Ｉ(ａ)＝［ｍ(ａ)，Ｍ(ａ)］を考える．次の問いに答えなさい． (1)　Ｉ(５)＝［，］である． (2)　ａは正数でｍ(ａ)＝14を満たすという． 　このときａ＝，Ｍ(ａ)＝である。 （2000年度東北薬大入試問題の引用）
答案 (1)　ａ＝５のとき，３≦ｘ≦７（図の茶色の区間）において，赤と緑で示したヒモの長さの和は， 　ア）　３≦ｘ≦６のとき一定（４）だから青で示したヒモが最小のとき（ｘ＝５）最小値４となる． 　イ）　６＜ｘ≦７のとき，６よりも右で三重になっているから，ｘ＝６のときよりも長くなる 以上より， ｍ(５)＝　（ｘ＝５のとき） Ｍ(５)＝　（ｘ＝７のとき） (2) 　ａ≦８ではｍ（ａ）が１４にならない． 　ａ＞８のとき 　ア）　ａ−２≦ｘ＜ａでは赤＋青が一定（ａ−２）だから，緑が最短のｘ＝ａ−２で最小値 　（ａ−２）＋（ａ−２−６）＝２ａ−１０をとる． 　イ）　ａ≦ｘ≦ａ＋２ではａよりも右で三重になっているから，ｘ＝ａのとき以上に長い ２ａ−１０＝１４よりａ＝・・・（答） このとき，Ｍ(１２)はｘ＝１４で実現されるので，Ｍ(１２)＝・・・（答）	(1) m(5)=4, M(5)=8 (2) a=12, M(12)=22

（答案）
ｘ＝−１のとき，ｙ＝４−６＋６−４＝０
ｘ＝０のとき，ｙ＝−３＋４−３＝−２
ｘ＝１のとき，ｙ＝４＋２−２＝４
ｘ＝２のとき，ｙ＝８−３−１＝４
ｘ＝３のとき，ｙ＝１２−６＋２＝８
ｘ＝４のとき，ｙ＝１６−９＋４−１＝１０
以上により，右のグラフとなり，最小値は−２（ｘ＝０のとき）