無理数の独立

大きな区分

数と式(公式と例)/対称式の変形/実数と根号（公式と例）/根号計算1/根号計算2/分母の有理化/無理数の独立/式の値(無理数の対称式)/xⁿ+1/xⁿの値/センター試験問題平方根の計算/根号計算の入試問題/二重根号/絶対値/絶対値2つの外し方/絶対値の入試問題/文字式を含む根号計算/センター共通数と式問題/

== 無理数の独立 ==
《解説》

（定理1）
a, bが有理数のとき，

a + b \sqrt{2} = 0 \leftarrow\to a = b = 0

なお，この関係は $\sqrt{2}$ でなくても、 $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \dots$ など，平方数でない数nの根号 $\sqrt{n}$ に関しても成り立ちます.

a, bが有理数という条件がなければ，［→］は成り立ちません.
例　 $(2) + (- \sqrt{2}) \sqrt{2} = 0$
例　 $(\sqrt{6}) + (- \sqrt{3}) \sqrt{2} = 0$

（証明）
［←］　 $0 + 0 \sqrt{2} = 0$ だから，明らか.
［→］
　まず，b=0を示す：

b≠0のとき， $\sqrt{2} = - \frac{a}{b}$ と変形でき、左辺は無理数，右辺は有理数だから矛盾．
背理法により，b=0が示される.

　次に， $a=0$ を示す：

$a + 0 \sqrt{2} = 0$ より，a=0

（定理2）
a, b, c, dが有理数のとき，

a + b \sqrt{2} = c + d \sqrt{2} \leftarrow\to a = c, b = d

より，a=0

$\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \dots$ などでも成り立つのは定理1のときと同様です.

（証明）
［←］　明らか.
［→］
　 $(a - c) + (b - d) \sqrt{2} = 0$ となり，a−c, b−dが有理数であることから、
定理１により，a−c=0, b−d=0
　ゆえに，a=c, b=d

（余談）：定理1は定理2において，ｃ＝ｄ＝0とすれば得られます.つまり，定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし，上に示したように，定理1から定理2が示されるので，定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには，どちらの形で使ってもかまいません.

例

a + 3 \sqrt{2} = 4 + b \sqrt{2}

のとき，有理数a, bの値を求めなさい.
定理2の形で使うときは：a=4, b=3・・・(答)
定理1の形で使うときは：

(a - 4) + (3 - b) \sqrt{2} = 0

よりa−4=0, 3−b=0
ゆえにa=4, b=3・・・(答)

このように，定理1と定理2とは区別を意識せずに使うことができます.

定理1と定理2のような特別＝一般の関係は，恒等式の係数比較などでも見られます.

定理1 「ax+b=0がxの恒等式　←→　a=b=0」
定理2 「ax+b=cx+dがxの恒等式 ←→ a=c, b=d」

《問題》---定理の使い方の練習 1 　a, bが有理数で， $(1 - 2 \sqrt{2}) (a - 4 \sqrt{2}) = b - 10 \sqrt{2}$ のとき， $a=$ ，　 $b=$		ａ-２ａ√2-4√2+16＝ｂ-10√2 ａ+16-(２ａ＋４)√2＝ｂ-10√2 と変形すると，ａ，ｂが有理数であるからａ+16＝ｂ，2ａ+4＝10 a=3, b=19
2 　a, bが有理数で， $(3 - \sqrt{2}) a + + (2 + 3 \sqrt{2}) b - 1 + 4 \sqrt{2} = 0$ のとき， a=，　b=		(３ａ＋２ｂ－１)+(－ａ＋３ｂ＋４)√2＝0 と変形すると，ａ，ｂが有理数であるから３ａ＋２ｂ－１＝0，－ａ＋３ｂ＋４＝0 a=1, b=−1
3 　a, bが有理数で， $\frac{- 9 + 7 \sqrt{5}}{a + b \sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}$ 　のとき， a=，　b=		分母を払うと３ａ－ａ√5+３ｂ√5-5ｂ＝-9+7√5 ａ，ｂは有理数だから 3a-5b=-9，-ａ+3ｂ＝7 a=2, b=3 （別解） $\frac{- 9 + 7 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = a + b \sqrt{5}$ のように変形して，左辺を単純に計算するだけで答えてもよい． $\frac{- 9 + 7 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{(- 9 + 7 \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{8 + 12 \sqrt{5}}{4}$ $= 2 + 3 \sqrt{5}$ より a=2, b=3

《問題》---背理法による証明の練習

背理法の基本を見ておく→
1 　以下の問に答えよ.ただし√2，√3，√6が無理数であることは使ってよい． (1) 　有理数ｐ，ｑ，ｒについて，ｐ＋ｑ√2+ｒ√3＝0ならば，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0であることを示せ. （「1999年度京都大学入試問題」の一部引用）（答案例を見る→）	ｐ＋ｑ√2＝-ｒ√3　と変形両辺を2乗すると，ｐ²+2ｐｑ√2+2ｑ²＝3ｒ² ここでｐｑ≠0と仮定すると √2＝（3ｒ²-ｐ²-2ｑ²）/2ｐｑ左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾ゆえにｐｑ＝0がいえる. ア)　ｐ＝0のとき，ｑ√2+ｒ√3＝0の両辺に√2をかけて 2ｑ+ｒ√6＝0 ここでｒ≠0と仮定すると√6＝-２ｑ/ｒ左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾ゆえにｒ＝0がいえる. このとき、ｑ√2＝0よりｑ＝0 以上より，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0 イ)　ｑ＝0のとき，ｐ＝-ｒ√3 ここでｒ≠0と仮定すると √3＝-ｐ／ｒ左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾ゆえにｒ＝0がいえる. このとき、ｐ＝0√3＝0 以上より，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0 ア）イ）いずれの場合も，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0が成り立つ.
2 　ａ，ｂを整数，ｕ，ｖを有理数とする.　ｕ＋ｖ√3　が　ｘ^２＋ａｘ＋ｂ＝０　の解であるならば，ｕとｖは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい. （「1999年度京都大学入試問題」の一部引用）（答案例を見る→）	ｘ^２＋ａｘ＋ｂ＝０　の解は，だからａ^２－４ｂ＝3ｋ²（ａ，ｂ，ｋは整数）のとき，すなわち・・・(1)のときａもｋも2の倍数になることを示せばよい. ａ^２－3ｋ²＝４ｂ（ａ，ｂ，ｋは整数）が成立するかどうかを調べる. ア）ａ＝２ｍ，ｋ＝２ｎ＋１のとき　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²-3（4ｎ²+4ｎ+1）＝4Ｎ-3となって成立しない.（Ｎは整数．以下同様）イ）ａ＝2ｍ+1，ｋ＝2ｎのとき　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²+4ｍ+1-3（4ｎ²）＝4Ｎ＋1となって成立しない. ウ）ａ＝2ｍ+1，ｋ＝2ｎ+1のとき　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²+4ｍ+1-3（4ｎ²+4ｎ+1）＝4Ｎ-2となって成立しない. 背理法により，ａ＝２ｍ，ｋ＝２ｎがいえる. (1)によりｕ，ｖは整数となる.
3 　ａ，ｂ，ｃが有理数で，ａ√2+ｂ√3+ｃ√6＝0ならばａ＝ｂ＝ｃ＝０といえるかどうか調べなさい.ただし√2，√3，√6が無理数であることは使ってよい. （答案例を見る→）	ａ√2+ｂ√3＝-ｃ√6の両辺を2乗すると２ａ²＋３ｂ²＋２ａｂ√6＝6ｃ² ここでａｂ≠0と仮定すると √6=(6ｃ²-２ａ²-３ｂ²)/２ａｂ左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾ゆえに，ａｂ＝０がいえる. ア）ａ＝０のときｂ√3＝-ｃ√6よりｂ＝-ｃ√2 ｃ≠0ならば√2＝-ｂ/ｃ左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾ゆえにｃ＝0 このときｂ√3＝0だからｂ＝0 以上より，ｂ＝ｃ＝0 イ）ｂ＝0のときａ√2＝-ｃ√6よりａ＝-ｃ√3 ｃ≠0ならば√3＝-ａ/ｃ左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾ゆえにｃ＝0 このときａ√2＝0だからａ＝0 以上より，ａ＝ｃ＝0 ア）イ）いずれの場合も，ａ＝ｂ＝ｃ＝0が成り立つ.

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理数の独立について／18.10.2］

余談の例の式 d√2→b√2ですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

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