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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 数と式

中学校の復習の部分です

【例１】
○根号の中で２乗になっている数は，根号の外に１枚となって出ます．
$\sqrt{3^2}=3$
○根号の中で２乗になっていない数は，根号の外に出せません．
$\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$
○根号の中で３乗になっている数は，２乗の部分だけ出せます．
$\sqrt{5^3}=\sqrt{5^2\times 5}=5\sqrt{5}$
○根号の中で４乗，５乗，...になっている数も，２乗ずつの束にした部分は根号の外に出せます．
$\sqrt{7^4}=\sqrt{7^2\times 7^2}=7\times 7=49$
$\sqrt{3^5}=\sqrt{3^2\times 3^2\times 3}=3\times 3\times \sqrt{3}=9\sqrt{3}$

※暗算では難しいので，計算用紙で計算してから，答えてください．

(1)
$\sqrt{18}-\sqrt{8}+3\sqrt{2}$

解説 やり直す

$2\sqrt{2}$ $3\sqrt{2}$ $4\sqrt{2}$ $5\sqrt{2}$

$\sqrt{18}-\sqrt{8}+3\sqrt{2}=\sqrt{2\times 3^2}-\sqrt{2^3}+3\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$…（答）

(2)
$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}$

解説 やり直す

0 $\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$ $4\sqrt{3}$

$\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{75}=\sqrt{2^2\times 3}+\sqrt{3^3}-\sqrt{3\times 5^2}$
$=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5\sqrt{3}=0$ …（答）

(3)
$\sqrt{96}-\sqrt{24}-3\sqrt{54}$

解説 やり直す

0 $-\sqrt{6}$ $-5\sqrt{6}$ $-7\sqrt{6}$

$\sqrt{96}-\sqrt{24}-3\sqrt{54}$
$=\sqrt{2^2\times 2^2\times 2\times 3}-\sqrt{2^2\times 2\times 3}-3\sqrt{2\times 3^2\times 3}$
$=4\sqrt{6}-2\sqrt{6}-9\sqrt{6}=-7\sqrt{6}$…（答）

(4)
$\sqrt{200}-3\sqrt{18}+\sqrt{50}$

解説 やり直す

$2\sqrt{2}$ $4\sqrt{2}$ $6\sqrt{2}$ $8\sqrt{2}$

$\sqrt{200}-3\sqrt{18}+\sqrt{50}$
$=\sqrt{2^3\times 5^2}-3\sqrt{2\times 3^2}+\sqrt{2\times 5^2}$
$=10\sqrt{2}-9\sqrt{2}+5\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ …（答）

【例２】
○根号の積は，積の根号に等しい．
$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$
○根号の商は，商の根号に等しい．
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$

(1)
$\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{8})$

解説 やり直す

$3\sqrt{2}$ $4\sqrt{6}$ $2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$ $2\sqrt{3}+4$

$\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{8)}=\sqrt{12}+\sqrt{16}$
$=2\sqrt{3}+4$…（答）

(2)
$\sqrt{10}(\sqrt{5}-\sqrt{2})$

解説 やり直す

$\sqrt{30}$ $5\sqrt{2}-2\sqrt{5}$ $2\sqrt{5}-5\sqrt{2}$ $5-2\sqrt{5}$

$\sqrt{10}(\sqrt{5}-\sqrt{2)}=\sqrt{50}-\sqrt{20}$
$=5\sqrt{2}-2\sqrt{5}$…（答）

【例３】
○根号の着いた数にも，普通の文字と同じように展開公式が使える．
$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2$
$=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$
$(\sqrt{2}-\sqrt{3}{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2-2\sqrt{2}\sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2$
$=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}$
$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3}{)}^2$
$=4-3=1$

(1)
$(\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2$

解説 やり直す

$8+\sqrt{15}$ $8+2\sqrt{15}$ 8 4

$(\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2=3+2\sqrt{15}+5$
$=8+2\sqrt{15}$…（答）

(2)
$(3-\sqrt{2}{)}^2$

解説 やり直す

$5-2\sqrt{6}$ $11-3\sqrt{2}$ $11-6\sqrt{2}$ $13-6\sqrt{2}$

$(3-\sqrt{2}{)}^2=9-6\sqrt{2}+2$
$=11-6\sqrt{2}$…（答）

(3)
$(\sqrt{7}-2\sqrt{3})(\sqrt{7}+2\sqrt{3})$

解説 やり直す

$-5$ $37$ $61-4\sqrt{21}$ $19-4\sqrt{21}$

$(\sqrt{7}-2\sqrt{3})(\sqrt{7}+2\sqrt{3})$
$=(\sqrt{7}{)}^2-(2\sqrt{3}{)}^2=7-12=-5$…（答）

(4)
$(\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{3})$

解説 やり直す

$15$ $12+5\sqrt{6}$ $4\sqrt{2}-\sqrt{3}$ $5\sqrt{6}$

ちょうど当てはまる公式がないときは，単純に展開します
$(\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-\sqrt{3})$
$=6-\sqrt{6}+6\sqrt{6}-6=5\sqrt{6}$…（答）