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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 数と式

I　（分母が単項式のもの）
(1)　 ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ $={\displaystyle \frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

(2)　 $\frac{5}{2\sqrt{3}}$ $=\frac{5\times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$

(1)
$\frac{1}{\sqrt{3}}$

解説 やり直す

$\frac{1}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $3$ $\sqrt{3}$

…（答）

(2)
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

解説 やり直す

$\frac{\sqrt{2}}{5}$ $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ $\frac{2}{\sqrt{10}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ …（答）

(3)
$\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$

解説 やり直す

$\frac{\sqrt{5}}{3}$ $\frac{\sqrt{5}}{6}$ $\sqrt{5}$ $\sqrt{10}$

$\frac{6\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$ …（答）

(4)
$\frac{2}{\sqrt{6}}$

解説 やり直す

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ $\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$

$\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\times \sqrt{6}}{\sqrt{6}\times \sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ …（答）

(5)
$\frac{1}{\sqrt{18}}$

解説 やり直す

$\frac{\sqrt{2}}{3}$ $\frac{\sqrt{2}}{6}$ $\frac{\sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{18}}{18}$

$\frac{1}{\sqrt{18}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ …（答）

II　（分母が和または差のもの）

(1)
$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}$

解説 やり直す

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{3}$ $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{6}$ $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{6}$

$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}$ …（答）

(2)
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

解説 やり直す

$\frac{\sqrt{10}}{3}$ $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{3}$ $\frac{\sqrt{10}-2}{3}$ $\frac{\sqrt{10}}{5-\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{10}-2}{3}$ …（答）

(3)
$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

解説 やり直す

$-2\sqrt{3}+3$ $-2\sqrt{3}-3$ $2\sqrt{3}-3$ $2\sqrt{3}+3$

$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2\sqrt{3}+3$ …（答）

(4)
$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

解説 やり直す

$5+2\sqrt{6}$ $5-2\sqrt{6}$ $\frac{1}{5+2\sqrt{6}}$ $\frac{3-\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{5-2\sqrt{6}}{1}=5-2\sqrt{6}$ …（答）

(5)
$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

解説 やり直す

$\frac{4+\sqrt{15}}{8}$ $\frac{4-\sqrt{15}}{8}$ $4+\sqrt{15}$ $4-\sqrt{15}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}}=\frac{8}{2}=4$ …（答）

(6)
$\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

解説 やり直す

$-7-4\sqrt{3}$ $-7+4\sqrt{3}$ $7-4\sqrt{3}$ $7+4\sqrt{3}$

$\frac{2-\sqrt{3}}{2}=\frac{(2-\sqrt{3}{)}^2}{(2}=\frac{4-4\sqrt{3}}{4-3}=7-4\sqrt{3}$ …（答）

(7)
$\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}$

解説 やり直す

$\frac{11-4\sqrt{7}}{5}$ $\frac{11+4\sqrt{7}}{5}$ $\frac{11-4\sqrt{7}}{3}$ $\frac{11+4\sqrt{7}}{3}$

$\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}=\frac{(\sqrt{7}+2{)}^2}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}=\frac{7+4\sqrt{7}+4}{7-4}=\frac{11+4\sqrt{7}}{3}$ …（答）

*　（有理化できないもの）
${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$， ${\displaystyle \frac{1}{e}}$
（π は円周率 3.1415...）
（e は自然対数の底[ネイピアの数] 2.71828...）

III　（３乗根は発展学習）

(1)　 $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ ，(2) $\frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3}}$

【要約：無理数の分母の有理化】
I　
　単項式では，分母の根号部分を分母分子に掛ける．
II　
　分母が和になっていれば差を，差になっていれば和を分母分子に掛ける．
* III　
　有理化できるのは，根号の場合で、$\frac{1}{\pi }$のように根号でない無理数は有理化できない．
　分母に３乗根などがあるときは，３乗して根号を消す変形を考える．

とても楽しかったです。有難う御座います。また数Bやってみたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

最近お世話になっています！ 「分母の有利化」問題２の（５）について。 私が計算したところ答えが４＋２√１５となったのですが、こちらの答えは４＋√１５でした。 私の計算が間違えているのならかまいませんが、もしこちらの答えが間違いでしたら訂正お願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「分母の有利化」→「分母の有理化」
解説が付いていますので読んでください．たぶん，解説を読んでなお疑問をお持ちのようですので，約分についてのよくある思い込みをしておられるかもしれません．この頁を見てください．