根号計算No.2

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰ・Ａの「数と式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓単項式と多項式
↓指数法則
↓展開公式1
↓展開公式2
↓置き換えによる展開
↓展開の順序
↓展開公式の応用問題
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↓２次式の因数分解
↓いろいろな因数分解
↓１文字について整理
↓たすき掛け因数分解
↓同(1文字)
↓同(1文字)2
↓たすき掛け因数分解(2文字)
↓同(2文字)2
↓３次以上の因数分解
↓因数分解の応用問題
↓因数分解の入試問題
↓実数と根号（公式と例）
↓根号計算
↓同2
↓分母の有理化
↓無理数の独立
↓式の値(無理数の対称式)
↓xⁿ+1/xⁿの値
↓センター問題平方根の計算
↓根号計算の入試問題
↓二重根号
↓文字式を含む根号計算
↓絶対値
↓絶対値2つの外し方
↓絶対値の入試問題
センター共通数と式(2013～)

== 分母の有理化 ==
■解説
○　分母に根号を含む式を，分母に根号が含まれない形に変形することを分母の有理化という．

　■有理化の長所1 　

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{1.41421356 . . .}

では，どこまでいっても（分母が整数になるまで，分母分子に10を掛けて行く）計算が始まらないが，

\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1.41421356 . . .}{2}

の形ならば，前から順に必要なだけ求められる．

　■有理化の長所２

\frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \sqrt{2}

（

\frac{1}{x} + 3 x

の形）
では，簡単になるかどうか分からないが，

\frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2}

（

\frac{x}{2} + 3 x

の形）
ならば，簡単になる．

○　次の I の形の式は，赤で示した部分を分母と分子の両方に掛けると根号が２乗になって分母が有理化できる．単純に分母と同じものを掛けてもできるが，(2)の例のように分母の全体を掛けなくても，分母のうちで根号になっている部分だけ掛ければよい．(2)の例で分母分子に2

√3mmmmm を掛けても間違いではないが，この場合はできた分数を２で約分することになり，遠回りになる．
　なお，元の式で分子に何があるかは変形方法に関係がなく，正しく変形していくだけでよい．

I　（分母が単項式のもの）
(1)　

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

= \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

(2)　

\frac{5}{2 \sqrt{3}}

= \frac{5 \times \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{6}

【問題１】　分母を有理化してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

\frac{1}{\sqrt{3}}

解説やり直す

\frac{1}{3}

\frac{\sqrt{3}}{3}

3

\sqrt{3}

$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ …（答）

→閉じる←

(2)

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}

解説やり直す

\frac{\sqrt{2}}{5}

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

\frac{\sqrt{10}}{5}

\frac{2}{\sqrt{10}}

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}

…（答）

→閉じる←

(3)

\frac{6 \sqrt{5}}{3 \sqrt{2}}

解説やり直す

\frac{\sqrt{5}}{3}

\frac{\sqrt{5}}{6}

\sqrt{5}

\sqrt{10}

\frac{6 \sqrt{5}}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{5} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}

…（答）

→閉じる←

(4)

\frac{2}{\sqrt{6}}

解説やり直す

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{3}

\frac{\sqrt{2}}{6}

\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}

…（答）

→閉じる←

(5)

\frac{1}{\sqrt{18}}

解説やり直す

\frac{\sqrt{2}}{3}

\frac{\sqrt{2}}{6}

\frac{\sqrt{3}}{6}

\frac{\sqrt{18}}{18}

\frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}

…（答）

→閉じる←

○　次の II の形の式では，分母と同じものを掛けても分母から根号は消えない．

(\sqrt{5} + \sqrt{3})^{2} = 8 + 2 \sqrt{15}

(\sqrt{5} - \sqrt{3})^{2} = 8 - 2 \sqrt{15}

そこで，

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b

の形に合うように，「分母に和があれば，差を掛け」「分母に差があれば，和を掛ける」と根号を取り除くことができる．
II の(1)では分母が和の形：

\sqrt{5} + \sqrt{3}

になっているから，差：

\sqrt{5} - \sqrt{3}

を分母分子に掛けたものである．
II の(2)では分母が差の形：

\sqrt{5} - \sqrt{3}

になっているから，和：

\sqrt{5} + \sqrt{3}

を分母分子に掛けたものである．

II　（分母が和または差のもの）

(1)

\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}

= \frac{(1) \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}

(2)

\frac{7}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

= \frac{(7) \times (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \times (\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{7 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}

【問題２】　分母を有理化してください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}

解説やり直す

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{6}

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{6}

\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{(\sqrt{6} - \sqrt{3}) (\sqrt{6} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{3}

…（答）

→閉じる←

(2)

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}

解説やり直す

\frac{\sqrt{10}}{3}

\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{3}

\frac{\sqrt{10} - 2}{3}

\frac{\sqrt{10}}{5 - \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{10} - 2}{3}

…（答）

→閉じる←

(3)

\frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}

解説やり直す

- 2 \sqrt{3} + 3

- 2 \sqrt{3} - 3

2 \sqrt{3} - 3

2 \sqrt{3} + 3

\frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = 2 \sqrt{3} + 3

…（答）

→閉じる←

(4)

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}

解説やり直す

5 + 2 \sqrt{6}

5 - 2 \sqrt{6}

\frac{1}{5 + 2 \sqrt{6}}

\frac{3 - \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}

\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{5 - 2 \sqrt{6}}{1} = 5 - 2 \sqrt{6}

…（答）

→閉じる←

(5)

\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

解説やり直す

\frac{4 + \sqrt{15}}{8}

\frac{4 - \sqrt{15}}{8}

4 + \sqrt{15}

4 - \sqrt{15}

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5}} = \frac{8}{2} = 4

…（答）

→閉じる←

(6)

\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}

解説やり直す

- 7 - 4 \sqrt{3}

- 7 + 4 \sqrt{3}

7 - 4 \sqrt{3}

7 + 4 \sqrt{3}

\frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{(2 - \sqrt{3})^{2}}{(2} = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{4 - 3} = 7 - 4 \sqrt{3}

…（答）

→閉じる←

(7)

\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} - 2}

解説やり直す

\frac{11 - 4 \sqrt{7}}{5}

\frac{11 + 4 \sqrt{7}}{5}

\frac{11 - 4 \sqrt{7}}{3}

\frac{11 + 4 \sqrt{7}}{3}

\frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} - 2} = \frac{(\sqrt{7} + 2)^{2}}{(\sqrt{7} - 2) (\sqrt{7} + 2)} = \frac{7 + 4 \sqrt{7} + 4}{7 - 4} = \frac{11 + 4 \sqrt{7}}{3}

…（答）

→閉じる←

○　次の * の形の式では，分母は無理数ではあるが根号ではないので，分母を２乗しても有理数とはならない．このような式では分母の有理化はできない．

*　（有理化できないもの）

\frac{1}{π}

，

\frac{1}{e}

（π は円周率 3.1415...）
（e は自然対数の底[ネイピアの数] 2.71828...）

○　次の III の形の式は，３乗の形にすれば根号が外れるので，計算はやや難しくなるが発展学習として有理化できる．

III　（３乗根は発展学習）

(1)　

\frac{1}{\sqrt[3]{2}}

，(2)

\frac{1}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}}

IIIの(2)では
(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a - b)(a²+ab+b²)=a³ - b³
の公式が使えるように変形する．

【要約：無理数の分母の有理化】
I　
　単項式では，分母の根号部分を分母分子に掛ける．
II　
　分母が和になっていれば差を，差になっていれば和を分母分子に掛ける．
* III　
　有理化できるのは，根号の場合で、

\frac{1}{π}

のように根号でない無理数は有理化できない．
　分母に３乗根などがあるときは，３乗して根号を消す変形を考える．

【例】
(1)

\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{2^{2}}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}

(2)

\frac{1}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}} = \frac{\sqrt[3]{5^{2}} - \sqrt[3]{5} \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3^{2}}}{(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3}) (\sqrt[3]{5^{2}} - \sqrt[3]{5} \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3^{2}})}

= \frac{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}}{5 + 3} = \frac{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9}}{8}

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分母の有理化について／17.8.19］

とても楽しかったです。有難う御座います。また数Bやってみたいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[分母の有理化について／17.6.29］

最近お世話になっています！「分母の有利化」問題２の（５）について。私が計算したところ答えが４＋２√１５となったのですが、こちらの答えは４＋√１５でした。私の計算が間違えているのならかまいませんが、もしこちらの答えが間違いでしたら訂正お願いいたします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．「分母の有利化」→「分母の有理化」
解説が付いていますので読んでください．たぶん，解説を読んでなお疑問をお持ちのようですので，約分についてのよくある思い込みをしておられるかもしれません．この頁を見てください．

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