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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 数と式

　このページは，教科書に太枠で書かれているレベルの公式を一覧表にして，各々の使い方を２題ずつ示したものです．
　高校の定期試験や大学入試問題などと比較すると，内容的に「非常に薄い」ものですので，その点よろしく．
　これらの公式を始めてみる人が，このページだけで身に着けるのは無理です．一度学習した人が，思い出す場合を想定しています．
　もう少し詳しい内容，証明などがあるページはリンクで示しています．

【1. 実数の分類】

正の整数1, 2, 3, 4, ...
0
負の整数−1, −2, −3, −4, ...

0.7, 1.5, 2.13, 3.456, ...
−0.3, −1.2, −2.04, −13.124,...

$\frac{1}{3}=0.33\cdots =0.\dot{3}$
$1.4545\cdots =1.\dot{4}\dot{5}$
$2.34567567\cdots =2.34\dot{5}6\dot{7}$

根号$\sqrt{2}=1.41421356\cdots$
円周率$\pi =3.141592\cdots$
自然対数の底$e=2.71828\cdots$

で表せるもの

$1=0.999\cdots$
$2=1.999\cdots$
$3.4=3.3999\cdots$
$-12.25=-12.24999\cdots$

高校3年間で
他に言える場所がないので
ここに書いています

$0.101001000100001\cdots$
$1.011011101111011111\cdots$

$\pi =4\{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\cdots \}$
$e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdots$

【2. 根号計算】
$\sqrt{a^2}=|a|$…(2.1)
a> 0, b>0のとき
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$…(2.2)
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$…(2.3)
$a>0,k>0$のとき
$\sqrt{k^{2}a}=k\sqrt{a}$…(2.4)

$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3$
$\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3\leftarrow \{-(-3)\}$
※a<0のとき$\sqrt{a^2}=a$ではないことに注意

$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$
$\sqrt{3}\sqrt{5}=\sqrt{15}$

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$
$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$

$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$
$\sqrt{18}=\sqrt{2\times 3^2}=3\sqrt{2}$

分母の有理化
a>0, b>0のとき
$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$…(2.5)
$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$…(2.6)
$\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$…(2.7)

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2-3}=-\sqrt{2}-\sqrt{3}$
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$

二重根号
a>0, b>0のとき
$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$…(2.8)
a>b>0のとき
$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$…(2.9)

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$\sqrt{7+2\sqrt{12}}=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$

$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$
$\sqrt{9-2\sqrt{20}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2$