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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 数と式

【例題１】
　$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

【要点１】
根号を含む分数が幾つもある場合，通分よりも分母の有理化の方が有利

引用元の問題は記述式の問題ですが，以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため，選択問題に変えています．
まぐれ当たりでは力が付きませんので，計算用紙を使って，よく考えてから選択肢の内の１つをクリックしてください．解答すれば解説が出ます．
なお，答案はこの教材の筆者が作成したものです．間違い等がありましたらお知らせください．

を計算せよ．

解説 やり直す

（原式）

引用元の問題は記述式の問題ですが，以下の問題ではWeb画面上での操作性をよくするため，選択問題に変えています．
まぐれ当たりでは力が付きませんので，計算用紙を使って，よく考えてから選択肢の内の１つをクリックしてください．解答すれば解説が出ます．
なお，答案はこの教材の筆者が作成したものです．間違い等がありましたらお知らせください．

$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
を計算せよ．

解説 やり直す

1 2 3 5 6

$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{3+2\sqrt{2}-3}=\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{3-2\sqrt{2}-3}=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-2\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3+2\sqrt{2}-3}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
$\frac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3-2\sqrt{2}-3}=\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-2\sqrt{2}}$
（原式）
$=\begin{array}{c}\frac{1}{2\sqrt{2}}(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\\ +1+\sqrt{2}+\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\end{array}$
$=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$
※$\frac{1}{1+(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{1-(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{1^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2}=\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-4-2\sqrt{6}}$
などと変形すると，分母が２項になり不利です．ここでは1+2−3=0をうまく使えるように，上記のように$1,\sqrt{2}$の組と$\sqrt{3}$の和差になるように組み合わせるのが有利です．

【例題２】
　$x=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$とする．このとき
$xy,x+y,x^3+y^3$
の値をそれぞれ求めよ．

【要点２】
$x^3+y^3$のような「対称式」の値は，「基本対称式」x+y, xyを利用して求める．

(1)
$x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1},y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$のとき，$x^3+y^3$の値を求めよ．

解説 やり直す

26 30 52 60 64

$xy=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=1$
また
$x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2}{3-1}=\frac{3+1+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$
$y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{3-1}=\frac{3+1-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$
だから
x+y=4
このとき
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
$=(x+y)\{(x+y{)}^2-3xy\}=4(4^2-3)=4\times 13=52$

(2)
$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2},y=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$のとき，次の式の値を求めよ．
(i) $x^2+y^2$(ii)$\sqrt{x}-\sqrt{y}$

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20 21 22 23 24 25

x+y=5, xy=1だから
$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=5^2-2=23$

解説 やり直す

3 −3 $\sqrt{3}$ $-\sqrt{3}$ $\sqrt{21}$ $-\sqrt{21}$

x−y や $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ のような式は対称式ではない（入れ換えると値が変わってしまう：交代式）．
この式自体は基本対称式x+y とxy では表せないが，その２乗を求めて逆算するとよい．ただし，x<y だから， $\sqrt{x}-\sqrt{y}$の符号は負になることに注意
$\sqrt{x}-\sqrt{y}=a$とおくと
$a^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2=x+y-2\sqrt{xy}=5-2=3$
$a=-\sqrt{3}(a<0)$

【要点３】

$x^n+\frac{1}{x^n}$のように逆数の和になっている式の値は，$x+\frac{1}{x}$で表すことができる．

(1)

$x=2-\sqrt{3}$のとき，$x+\frac{1}{x}=$ア，$x^3+\frac{1}{x^3}=$イ．

解説 やり直す

1 2 3 4 5

$x=2-\sqrt{3}$，$\frac{1}{x}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
$x+\frac{1}{x}=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4$

解説 やり直す

13 52 56 60 64

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-1+\frac{1}{x^2})$
$=(x+\frac{1}{x})\{(x+\frac{1}{x}{)}^2-3\}=4(16-3)=52$

(2)

$x+\frac{1}{x}=3$のとき，$x^3+x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=$アである．

解説 やり直す

28 29 30 31 32

$x^3+x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$
$=(x^3+\frac{1}{x^3})+(x^2+\frac{1}{x^2})+(x+\frac{1}{x})+1$
$=(x+\frac{1}{x})\{(x+\frac{1}{x}{)}^2-3\}+\{(x+\frac{1}{x}{)}^2-2\}+(x+\frac{1}{x})+1$
$=3\times (3^2-3)+(3^2-2)+3+1=29$
※この問題は
$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$の値を直接的に使わなくてもできます．
もっと極端な話として，「$x+\frac{1}{x}=1$のとき」となっていても問題は同様に解けますが，そのようなxの値は虚数で，数学Ⅰの段階ではまだ習っていないのに問題は解けていることになります．

【要点３】

a>0, b>0のとき
$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=(a+b)+2\sqrt{ab}$
だから
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
です．
同様にしてa>0, b>0, a>bのとき

$(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=(a+b)-2\sqrt{ab}$
だから
$\sqrt{(ab)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
です．
※いずれも，内側の根号の前に２が付いている場合に，和と積が与えられた２数を求めると二重根号がはずれます．

[1]
$a=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$とする．このaを２重根号を使わずに簡単な形で表すとa=カと表せる．
また，a5−4a4+2a3−4a2+a−2の値はキである．

解説 やり直す

$2+\sqrt{3}$ $4+\sqrt{3}$ $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ $\sqrt{7}+1$

$a=\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+2\sqrt{12}}$
積が12で和が7となる２数は4と3だから
$a=\sqrt{4}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$

解説 やり直す

−2 −1 0 1 2

$a=2+\sqrt{3}$を１つの解とする２次方程式を作り，割り算を行って次数を下げてから代入する．
$a=2+\sqrt{3}\to a-2=\sqrt{3}\to (a-2{)}^2=3$
$\to a^2-4a+4=3\to a^2-4a+1=0$
a5−4a4+2a3−4a2+a−2=(a2−4a+1)(a3+a)−2=−2

[2]
$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．

解説 やり直す

2 3 6 12 18

a, b>0のとき
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$
だから
$\frac{x}{y}=\frac{\sqrt{3\sqrt{2}+4}}{\sqrt{3\sqrt{2}-4}}=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}+4}{3\sqrt{2}-4}}=\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}+4{)}^2}{(3\sqrt{2}{)}^2-4^2}}$
$=\sqrt{\frac{(3\sqrt{2}+4{)}^2}{2}}=\frac{3\sqrt{2}+4}{\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2}$
$\frac{y}{x}=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{3^2-(2\sqrt{2}{)}^2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{1}=3-2\sqrt{2}$
したがって
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=6$
※この問題は，高校数学の教育課程に二重根号がなかった時代のものなので，二重根号の計算を行わずに解く方法がある．
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}$
において， $xy=(\sqrt{3\sqrt{2}+4})(\sqrt{3\sqrt{2}-4})=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2-4^2}=\sqrt{2}$
$x^2+y^2=3\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-4=6\sqrt{2}$
だから
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}=6$

【要点４】

例えば という問題において
などという答は近似値に過ぎず，小数を無限に書いていくこともできません．
この問題について正確に答えるには，$1\underset{―}{\le }\sqrt{2}=1.41421\cdots <2$から，初めに整数部分を求めます． 次に，整数部分を取り除いたものが小数部分です． の小数部分をaとするとき，a2の値は
$(\sqrt{2}-1{)}^2=3-2\sqrt{2}$

【例題５】
$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$の整数部分をa，小数部分をbとするとき，
a=である．また，$\frac{1}{b}$の整数部分はである．

[1]
$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$の整数部分をa，小数部分をbとする．このとき，a2+ab+b2と$\frac{1}{a-b-1}-\frac{1}{a+b+1}$の値を求めよ．

解説 やり直す

6 7 8 9 10

$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1=2.73\cdots$
だから
$a=2,b=\sqrt{3}+1-2=\sqrt{3}-1$
このとき
$a^2+ab+b^2=2^2+2(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}-1{)}^2$
$=4+2\sqrt{3}-2+4-2\sqrt{3}=6$
※a+bは元の数$\sqrt{3}+1$だから，一般的には(a+b)2−abと変形するのが有利であるが，上記の単純計算との差はわずかだと思われる．

解説 やり直す

$\sqrt{3}$ $2\sqrt{3}$ $3\sqrt{3}$ $4\sqrt{3}$ $5\sqrt{3}$

$\frac{1}{a-b-1}-\frac{1}{a}=\frac{1}{2-(\sqrt{3}-1)-1}-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2-\sqrt{3}}-\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}$
$=2+\sqrt{3}-2+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

[2]
$2+\sqrt{3}$の小数部分をaとするとき，次の設問に答えよ．
(1)　aの値を求めよ．
(2)　$a^3+\frac{1}{a^3}$の値を求めよ．
(3)　a3+4a2+2a−3の値を求めよ．

解説 やり直す

$\sqrt{3}$ $\sqrt{3}-1$ $2-\sqrt{3}$ $\sqrt{3}+1$

$2+\sqrt{3}=3.73\cdots$の整数部分は3だから
小数部分は

解説 やり直す

$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$ $\frac{6-3\sqrt{3}}{2}$ $\frac{2\sqrt{3}-1}{4}$ $\frac{27\sqrt{3}-35}{4}$

$\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}}{3-1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}-1+\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$
だから
$a^3+\frac{1}{a^3}=(a+\frac{1}{a})\{(a+\frac{1}{a}{)}^2-3\}$
$=(\frac{3\sqrt{3}-1}{2})\{(\frac{3\sqrt{3}-1}{2}{)}^2-3\}=\cdots =\frac{27\sqrt{3}-35}{4}$

解説 やり直す

0 1 2 3 4

$a=\sqrt{3}-1$などの値を3次式などに代入するとき，直接代入すると複雑な3乗の展開計算になって不利です．
このような場合は「＝0となる方程式を作って」「割り算で商と余りに分けて」「余りに代入します」．
$a=\sqrt{3}-1\to a+1=\sqrt{3}\to (a+1{)}^2=3$
$\to a^2+2a+1=3\to a^2+2a-2=0$
a3+4a2+2a−3をa2+2a−2で割ると，商がa+2，余りが1になるから
a3+4a2+2a−3=(a2+2a−2)(a+2)+1
$a=\sqrt{3}-1$のときa2+2a−2=0だから
a3+4a2+2a−3=1

[3]
$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$の小数部分をaとするとき，aは2次方程式
x2+アx+イ=0の解であり，a3+6a2−21a+23の

値はウ+エ.√オ√nnnnniである．

解説 やり直す

x2+2x−3=0 x2−2x+3=0 x2−8x+8=0 x2+8x−8=0

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2}{3-2}=5+2\sqrt{6}=5+2\times 2.4\cdots$
=9.8···の整数部分は9だから，小数部分は$a=5+2\sqrt{6}-9=2\sqrt{6}-4$
このとき
$a+4=2\sqrt{6}\to (a+4{)}^2=24$
$a^2+8a+16=24$
$a^2+8a-8=0$
だから，aは2次方程式x2+8x−8=0の解

解説 やり直す

$\sqrt{6}-1$ $2\sqrt{6}-4$ $3\sqrt{6}-2$ $6\sqrt{6}-5$

a3+6a2−21a+23をa2+8a−8で割ると，商がa−2，余りが3a+7になるから
a3+6a2−21a+23=(a2+8a−8)(a−2)+3a+7
ここで$a=2\sqrt{6}-4$のとき，a2+8a−8=0だから
a3+6a2−21a+23=0×(a−2)+3a+7=3a+7
$=3(2\sqrt{6}-4)+7=6\sqrt{6}-5$

［４］二重根号の【要点３】の　a>0,b>0,a>bのとき　の（例）の一行目の右辺√2の符号は-でないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．間違わなくてもいい所で間違っていますが，別にわざとではない．管理人にも，それなりの事情があるかもしれん．訂正しました．