[2] 対称式の値
【例題2】
\( \large{x=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\hspace{5px}y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}} \)とする.このとき
\( xy,\hspace{5px}x+ y,\hspace{5px}x^3+ y^3 \)
の値をそれぞれ求めよ.
(埼玉大2001年度)
(解説)
\( \large{xy=\frac{1}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}=\frac{1}{4}} \)
また
\( \large{x=\frac{1}{\sqrt{7}+ \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{7-3}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}} \)
\( \large{y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{7-3}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}} \)
だから
\( \large{x+y=\frac{2\sqrt{7}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{2}} \)
\( x^3+ y^3=(x+ y)(x^2-xy+ y^2) \)
\( =(x+ y)\{(x+ y)^2-3xy\}=\frac{\sqrt{7}}{2}(\frac{\sqrt{7}}{2})^2-\frac{3}{4}) \)
\( \large{=\frac{\sqrt{7}}{2}(\frac{7}{4}-\frac{3}{4})=\frac{\sqrt{7}}{2}} \)
【要点2】
\( x^3+ y^3 \)のような「対称式」の値は,「基本対称式」 x+y, xyを利用して求める.
|
【問題2】
(1)
\( \large{x=\frac{\sqrt{3}+ 1}{\sqrt{3}-1},\hspace{5px}y=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+ 1}} \)のとき, \( x^3+ y^3 \)の値を求めよ.
(防衛大2016年度)
(2)
\( \large{x=\frac{5-\sqrt{21}}{2},\hspace{5px}y=\frac{5+\sqrt{21}}{2}} \)のとき,次の式の値を求めよ.
(i) \( x^2+y^2 \)(ii)\( \sqrt{x}-\sqrt{y} \)
(東北学院大2016年度)
(i)
x+y=5, xy=1だから
\( x^2+ y^2=(x+ y)^2-2xy=5^2-2=23 \)
(ii)
x−y
や
\( \sqrt{x}-\sqrt{y} \)
のような式は対称式ではない(入れ換えると値が変わってしまう:交代式).
この式自体は基本対称式 x+y
と xy
では表せないが,その2乗を求めて逆算するとよい.ただし, x<y
だから,
\( \sqrt{x}-\sqrt{y} \)の符号は負になることに注意
\( \sqrt{x}-\sqrt{y}=a \)とおくと
\( a^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=x+y-2\sqrt{xy}=5-2=3 \)
\( a=-\sqrt{3}\hspace{10px}(a\lt 0) \)
|