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繧サ繝ウ繧ソ繝シ蜈ア騾� 謨ー縺ィ蠑�(2013��)

== 無理数の独立 ==

《解説》
(定理1)
a, bが有理数のとき,a+b2=0←→a=b=0

なお,この関係は2でなくても、3,5,6,7,など,平方数でない数nの根号nに関しても成り立ちます.

a, bが有理数という条件がなければ,[→]は成り立ちません.
例 (2)+(2)2=0
例 (6)+(3)2=0

(証明)
[←] 0+02=0だから,明らか.
[→]
 まず,b=0を示す:
b≠0のとき,2=abと変形でき、左辺は無理数,右辺は有理数だから矛盾.
背理法により,b=0が示される.
 次に,を示す:
a+02=0より,a=0

(定理2)
a, b, c, dが有理数のとき,
a+b2=c+d2←→a=c,b=dより,a=0

3,5,6,7,などでも成り立つのは定理1のときと同様です.

(証明)
[←] 明らか.
[→]
 (ac)+(bd)2=0となり,a−c, b−dが有理数であることから、
定理1により,a−c=0, b−d=0
 ゆえに,a=c, b=d

(余談):定理1は定理2において,c=d=0とすれば得られます.つまり,定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし,上に示したように,定理1から定理2が示されるので,定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには,どちらの形で使ってもかまいません.

a+32=4+b2のとき,有理数a, bの値を求めなさい.
定理2の形で使うときは:a=4, b=3・・・(答)
定理1の形で使うときは:(a4)+(3b)2=0 よりa−4=0, 3−b=0
ゆえにa=4, b=3・・・(答)

このように,定理1と定理2とは区別を意識せずに使うことができます.

定理1と定理2のような特別=一般の関係は,恒等式の係数比較などでも見られます.
  • 定理1 「ax+b=0xの恒等式 ←→ a=b=0
  • 定理2 「ax+b=cx+dxの恒等式 ←→ a=c, b=d

《問題》---定理の使い方の練習
1
 a, bが有理数で,
(122)(a42)=b102のとき,
, 


2
 a, bが有理数で,
(32)a++(2+32)b1+42=0のとき,
a=, b=


3
 a, bが有理数で,9+75a+b5=35 のとき,

a=, b=


《問題》---背理法による証明の練習
⇒[背理法の基本]を見ておく
1
 以下の問に答えよ.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい.
 有理数p,q,rについて,p+q√2+r√3=0ならば,p=q=r=0であることを示せ.
(「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
2
 a,bを整数,u,vを有理数とする. u+v√3 が
 x+ax+b=0 の解であるならば,uとvは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい.
(「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
3
 a,b,cが有理数で,a√2+b√3+c√6=0ならばa=b=c=0といえるかどうか調べなさい.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい.

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■[個別の頁からの質問に対する回答][無理数の独立について/18.10.2]
余談の例の式 d√2→b√2ですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました.

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