![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Ⅰ・Aの「数と式」について,このサイトには次の教材があります. この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓単項式と多項式
↓指数法則 ↓展開公式1 ↓展開公式2 ↓置き換えによる展開 ↓展開の順序 ↓展開公式の応用問題 ↓対称式の値 ↓2次式の因数分解 ↓いろいろな因数分解 ↓1文字について整理 ↓たすき掛け因数分解 ↓同(1文字) ↓同(1文字)2 ↓たすき掛け因数分解(2文字) ↓同(2文字)2 ↓3次以上の因数分解 ↓因数分解の応用問題 ↓因数分解の入試問題 ↓実数と根号(公式と例) ↓根号計算 ↓同2 ↓分母の有理化 ↓無理数の独立 ↓式の値(無理数の対称式) ↓xn+1/xnの値 ↓センター問題 平方根の計算 ↓根号計算の入試問題 ↓二重根号 ↓文字式を含む根号計算 ↓絶対値 ↓絶対値2つの外し方 ↓絶対値の入試問題 センター共通 数と式(2013~) |
《解説》
(定理1)
a, bが有理数のとき, なお,この関係は a, bが有理数という条件がなければ,[→]は成り立ちません.
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(証明)
[←] [→] まず,b=0を示す: b≠0のとき,次に,
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(定理2)
a, b, c, dが有理数のとき, |
(証明)
[←] 明らか. [→] 定理1により,a−c=0, b−d=0 ゆえに,a=c, b=d |
(余談):定理1は定理2において,c=d=0とすれば得られます.つまり,定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし,上に示したように,定理1から定理2が示されるので,定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには,どちらの形で使ってもかまいません.
例
定理1と定理2のような特別=一般の関係は,恒等式の係数比較などでも見られます.
定理2の形で使うときは:a=4, b=3・・・(答) 定理1の形で使うときは: ゆえにa=4, b=3・・・(答) このように,定理1と定理2とは区別を意識せずに使うことができます.
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《問題》---背理法による証明の練習 ⇒[背理法の基本]を見ておく |
1
以下の問に答えよ.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい. 有理数p,q,rについて,p+q√2+r√3=0ならば,p=q=r=0であることを示せ. (「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
p+q√2=-r√3 と変形
両辺を2乗すると,p2+2pq√2+2q2=3r2 ここでpq≠0と仮定するとア) p=0のとき, q√2+r√3=0の両辺に√2をかけてイ) q=0のとき, p=-r√3ア)イ)いずれの場合も, p=q=r=0が成り立つ. |
2
a,bを整数,u,vを有理数とする. u+v√3 が x2+ax+b=0 の解であるならば,uとvは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい. (「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
x2+ax+b=0 の解は
![]() a2-4b=3k2(a,b,kは整数)のとき,すなわち ![]() aもkも2の倍数になることを示せばよい. a2-3k2=4b(a,b,kは整数)が成立するかどうかを調べる.背理法により,a=2m,k=2nがいえる. (1)によりu,vは整数となる. |
3
a,b,cが有理数で,a√2+b√3+c√6=0ならばa=b=c=0といえるかどうか調べなさい.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい. a√2+b√3=-c√6の両辺を2乗すると
2a2+3b2+2ab√6=6c2 ここでab≠0と仮定するとア)a=0のとき b√3=-c√6よりb=-c√2イ)b=0のとき a√2=-c√6よりa=-c√3ア)イ)いずれの場合も, a=b=c=0が成り立つ. |
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■[個別の頁からの質問に対する回答][無理数の独立について/18.10.2]
余談の例の式 d√2→b√2ですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました. |
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