無理数の独立

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰ・Ａの「数と式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓単項式と多項式
↓指数法則
↓展開公式1
↓展開公式2
↓置き換えによる展開
↓展開の順序
↓展開公式の応用問題
↓対称式の値
↓２次式の因数分解
↓いろいろな因数分解
↓１文字について整理
↓たすき掛け因数分解
↓同(1文字)
↓同(1文字)2
↓たすき掛け因数分解(2文字)
↓同(2文字)2
↓３次以上の因数分解
↓因数分解の応用問題
↓因数分解の入試問題
↓実数と根号（公式と例）
↓根号計算
↓同2
↓分母の有理化
↓無理数の独立
↓式の値(無理数の対称式)
↓xⁿ+1/xⁿの値
↓センター問題平方根の計算
↓根号計算の入試問題
↓二重根号
↓文字式を含む根号計算
↓絶対値
↓絶対値2つの外し方
↓絶対値の入試問題
センター共通数と式(2013～)

== 無理数の独立 ==
《解説》

（定理1）
a, bが有理数のとき，

a + b \sqrt{2} = 0 \leftarrow\to a = b = 0

なお，この関係は $\sqrt{2}$ でなくても、 $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \dots$ など，平方数でない数nの根号 $\sqrt{n}$ に関しても成り立ちます.

a, bが有理数という条件がなければ，［→］は成り立ちません.
例　 $(2) + (- \sqrt{2}) \sqrt{2} = 0$
例　 $(\sqrt{6}) + (- \sqrt{3}) \sqrt{2} = 0$

（証明）
［←］　 $0 + 0 \sqrt{2} = 0$ だから，明らか.
［→］
　まず，b=0を示す：

b≠0のとき， $\sqrt{2} = - \frac{a}{b}$ と変形でき、左辺は無理数，右辺は有理数だから矛盾．
背理法により，b=0が示される.

　次に， $a=0$ を示す：

$a + 0 \sqrt{2} = 0$ より，a=0

（定理2）
a, b, c, dが有理数のとき，

a + b \sqrt{2} = c + d \sqrt{2} \leftarrow\to a = c, b = d

より，a=0

$\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \dots$ などでも成り立つのは定理1のときと同様です.

（証明）
［←］　明らか.
［→］
　 $(a - c) + (b - d) \sqrt{2} = 0$ となり，a−c, b−dが有理数であることから、
定理１により，a−c=0, b−d=0
　ゆえに，a=c, b=d

（余談）：定理1は定理2において，ｃ＝ｄ＝0とすれば得られます.つまり，定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし，上に示したように，定理1から定理2が示されるので，定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには，どちらの形で使ってもかまいません.

例

a + 3 \sqrt{2} = 4 + b \sqrt{2}

のとき，有理数a, bの値を求めなさい.
定理2の形で使うときは：a=4, b=3・・・(答)
定理1の形で使うときは：

(a - 4) + (3 - b) \sqrt{2} = 0

よりa−4=0, 3−b=0
ゆえにa=4, b=3・・・(答)

このように，定理1と定理2とは区別を意識せずに使うことができます.

定理1と定理2のような特別＝一般の関係は，恒等式の係数比較などでも見られます.

定理1 「ax+b=0がxの恒等式　←→　a=b=0」
定理2 「ax+b=cx+dがxの恒等式 ←→ a=c, b=d」

《問題》---定理の使い方の練習
1
　a, bが有理数で，
$(1 - 2 \sqrt{2}) (a - 4 \sqrt{2}) = b - 10 \sqrt{2}$ のとき， $a=$ ，　 $b=$

ａ-２ａ√2-4√2+16＝ｂ-10√2
ａ+16-(２ａ＋４)√2＝ｂ-10√2
と変形すると，ａ，ｂが有理数であるから
ａ+16＝ｂ，2ａ+4＝10

a=3, b=19

2
　a, bが有理数で，
$(3 - \sqrt{2}) a + + (2 + 3 \sqrt{2}) b - 1 + 4 \sqrt{2} = 0$ のとき， a=，　b=

(３ａ＋２ｂ－１)+(－ａ＋３ｂ＋４)√2＝0
と変形すると，ａ，ｂが有理数であるから
３ａ＋２ｂ－１＝0，－ａ＋３ｂ＋４＝0

a=1, b=−1

3
　a, bが有理数で，

\frac{- 9 + 7 \sqrt{5}}{a + b \sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}

　のとき，

a=，　b=

分母を払うと
３ａ－ａ√5+３ｂ√5-5ｂ＝-9+7√5
ａ，ｂは有理数だから
3a-5b=-9，-ａ+3ｂ＝7

a=2, b=3
（別解）

\frac{- 9 + 7 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = a + b \sqrt{5}

のように変形して，左辺を単純に計算するだけで答えてもよい．

\frac{- 9 + 7 \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{(- 9 + 7 \sqrt{5}) (3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{8 + 12 \sqrt{5}}{4}

= 2 + 3 \sqrt{5}

より
a=2, b=3

《問題》---背理法による証明の練習
⇒［背理法の基本］を見ておく

1
　以下の問に答えよ.ただし√2，√3，√6が無理数であることは使ってよい．

　有理数ｐ，ｑ，ｒについて，ｐ＋ｑ√2+ｒ√3＝0ならば，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0であることを示せ.

（「1999年度京都大学入試問題」の一部引用）

（答案例を見る）

ｐ＋ｑ√2＝-ｒ√3　と変形
両辺を2乗すると，ｐ²+2ｐｑ√2+2ｑ²＝3ｒ²

ここでｐｑ≠0と仮定すると
√2＝（3ｒ²-ｐ²-2ｑ²）/2ｐｑ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｐｑ＝0がいえる.

ア)　ｐ＝0のとき，

ｑ√2+ｒ√3＝0の両辺に√2をかけて
2ｑ+ｒ√6＝0
ここでｒ≠0と仮定すると√6＝-２ｑ/ｒ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｒ＝0がいえる.
このとき、ｑ√2＝0よりｑ＝0
以上より，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0

イ)　ｑ＝0のとき，

ｐ＝-ｒ√3
ここでｒ≠0と仮定すると
√3＝-ｐ／ｒ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｒ＝0がいえる.
このとき、ｐ＝0√3＝0
以上より，ｐ＝ｑ＝ｒ＝0

ア）イ）いずれの場合も，
ｐ＝ｑ＝ｒ＝0が成り立つ.

2
　ａ，ｂを整数，ｕ，ｖを有理数とする.　ｕ＋ｖ√3　が
　ｘ^２＋ａｘ＋ｂ＝０　の解であるならば，ｕとｖは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい.

（「1999年度京都大学入試問題」の一部引用）

（答案例を見る）

ｘ^２＋ａｘ＋ｂ＝０　の解は，だから
ａ^２－４ｂ＝3ｋ²（ａ，ｂ，ｋは整数）のとき，すなわち

・・・(1)のとき
ａもｋも2の倍数になることを示せばよい.

ａ^２－3ｋ²＝４ｂ（ａ，ｂ，ｋは整数）が成立するかどうかを調べる.
ア）ａ＝２ｍ，ｋ＝２ｎ＋１のとき
　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²-3（4ｎ²+4ｎ+1）
＝4Ｎ-3となって成立しない.（Ｎは整数．以下同様）
イ）ａ＝2ｍ+1，ｋ＝2ｎのとき
　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²+4ｍ+1-3（4ｎ²）
＝4Ｎ＋1となって成立しない.
ウ）ａ＝2ｍ+1，ｋ＝2ｎ+1のとき
　ａ^２－3ｋ²＝4ｍ²+4ｍ+1-3（4ｎ²+4ｎ+1）
＝4Ｎ-2となって成立しない.

背理法により，ａ＝２ｍ，ｋ＝２ｎがいえる.
(1)によりｕ，ｖは整数となる.

3
　ａ，ｂ，ｃが有理数で，ａ√2+ｂ√3+ｃ√6＝0ならばａ＝ｂ＝ｃ＝０といえるかどうか調べなさい.ただし√2，√3，√6が無理数であることは使ってよい.

（答案例を見る）

ａ√2+ｂ√3＝-ｃ√6の両辺を2乗すると
２ａ²＋３ｂ²＋２ａｂ√6＝6ｃ²

ここでａｂ≠0と仮定すると
√6=(6ｃ²-２ａ²-３ｂ²)/２ａｂ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえに，ａｂ＝０がいえる.

ア）ａ＝０のとき

ｂ√3＝-ｃ√6よりｂ＝-ｃ√2
ｃ≠0ならば√2＝-ｂ/ｃ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｃ＝0
このときｂ√3＝0だからｂ＝0
以上より，ｂ＝ｃ＝0

イ）ｂ＝0のとき

ａ√2＝-ｃ√6よりａ＝-ｃ√3
ｃ≠0ならば√3＝-ａ/ｃ
左辺は無理数，右辺は有理数となり矛盾
ゆえにｃ＝0
このときａ√2＝0だからａ＝0
以上より，ａ＝ｃ＝0

ア）イ）いずれの場合も，
ａ＝ｂ＝ｃ＝0が成り立つ.

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[無理数の独立について／18.10.2］

余談の例の式 d√2→b√2ですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

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