![]() ![]() *** 遘醍岼 *** 謨ー竇�繝サ�。謨ー竇。繝サ�「謨ー竇「鬮伜穀繝サ螟ァ蟄ヲ蛻晏ケエ蠎ヲ *** 蜊伜� *** 謨ー縺ィ蠑�荳咲ュ牙シ�莠梧ャ。髢「謨ー莠梧ャ。荳咲ュ牙シ�荳芽ァ呈ッ�荳芽ァ呈ッ斐→蝗ウ蠖「髮�粋繝サ蜻ス鬘後�險シ譏�鬆��繝サ邨�粋縺�遒コ邇�謨エ謨ー縺ョ諤ァ雉ェ 窶サ鬮俶�。謨ー蟄ヲ竇�繝サ�。縺ョ縲梧焚縺ィ蠑上�縺ォ縺、縺�※�後%縺ョ繧オ繧、繝医↓縺ッ谺。縺ョ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻シ� 縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ェ縺ゥ縺ョ讀懃エ「縺九i逶エ謗・譚・縺ヲ縺励∪縺」縺溘�縺ァ縲悟燕謠舌→縺ェ縺」縺ヲ縺�k蜀�ョケ縺悟�縺九i縺ェ縺�阪→縺�≧蝣エ蜷医d縲後%縺ョ鬆√�蛻�°縺」縺溘′繧ゅ▲縺ィ蠢懃畑蝠城。後r隕九◆縺�阪→縺�≧蝣エ蜷医��御サ悶�鬆√r隕九※縺上□縺輔>��縲 縺檎樟蝨ィ蝨ー縺ァ縺呻シ� 竊�蜊倬��シ上→螟夐��シ�
竊�謖�焚豕募援 竊�螻暮幕蜈ャ蠑�1 竊�螻暮幕蜈ャ蠑�2 竊�鄂ョ縺肴鋤縺医↓繧医k螻暮幕 竊�螻暮幕縺ョ鬆�コ� 竊�螻暮幕蜈ャ蠑上�蠢懃畑蝠城。� 竊�蟇セ遘ー蠑上�蛟、 竊��呈ャ。蠑上�蝗�謨ー蛻�ァ」 竊�縺�m縺�m縺ェ蝗�謨ー蛻�ァ」 竊��第枚蟄励↓縺、縺�※謨エ逅� 竊�縺溘☆縺肴寺縺大屏謨ー蛻�ァ」 竊�蜷�(1譁�ュ�) 竊�蜷�(1譁�ュ�)2 竊�縺溘☆縺肴寺縺大屏謨ー蛻�ァ」(2譁�ュ�) 竊�蜷�(2譁�ュ�)2 竊��捺ャ。莉・荳翫�蝗�謨ー蛻�ァ」 竊�蝗�謨ー蛻�ァ」縺ョ蠢懃畑蝠城。� 竊�蝗�謨ー蛻�ァ」縺ョ蜈・隧ヲ蝠城。� 竊�螳滓焚縺ィ譬ケ蜿キ�亥�蠑上→萓具シ� 竊�譬ケ蜿キ險育ョ� 竊�蜷�2 竊�蛻�ッ阪�譛臥炊蛹� 竊�辟。逅�焚縺ョ迢ャ遶� 竊�蠑上�蛟、(辟。逅�焚縺ョ蟇セ遘ー蠑�) 竊�xn+1/xn縺ョ蛟、 竊�繧サ繝ウ繧ソ繝シ蝠城。� 蟷ウ譁ケ譬ケ縺ョ險育ョ� 竊�譬ケ蜿キ險育ョ励�蜈・隧ヲ蝠城。� 竊�莠碁㍾譬ケ蜿キ 竊�譁�ュ怜シ上r蜷ォ繧譬ケ蜿キ險育ョ� 竊�邨カ蟇セ蛟、 竊�邨カ蟇セ蛟、2縺、縺ョ螟悶@譁ケ 竊�邨カ蟇セ蛟、縺ョ蜈・隧ヲ蝠城。� 繧サ繝ウ繧ソ繝シ蜈ア騾� 謨ー縺ィ蠑�(2013��) |
《解説》
(定理1)
a, bが有理数のとき, なお,この関係は a, bが有理数という条件がなければ,[→]は成り立ちません.
|
(証明)
[←] [→] まず,b=0を示す: b≠0のとき,次に,
|
(定理2)
a, b, c, dが有理数のとき, |
(証明)
[←] 明らか. [→] 定理1により,a−c=0, b−d=0 ゆえに,a=c, b=d |
(余談):定理1は定理2において,c=d=0とすれば得られます.つまり,定理1は定理2の特別な場合にすぎません.しかし,上に示したように,定理1から定理2が示されるので,定理1は定理2と同値です.実際の問題を解くときには,どちらの形で使ってもかまいません.
例
定理1と定理2のような特別=一般の関係は,恒等式の係数比較などでも見られます.
定理2の形で使うときは:a=4, b=3・・・(答) 定理1の形で使うときは: ゆえにa=4, b=3・・・(答) このように,定理1と定理2とは区別を意識せずに使うことができます.
|
《問題》---背理法による証明の練習 ⇒[背理法の基本]を見ておく |
1
以下の問に答えよ.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい. 有理数p,q,rについて,p+q√2+r√3=0ならば,p=q=r=0であることを示せ. (「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
p+q√2=-r√3 と変形
両辺を2乗すると,p2+2pq√2+2q2=3r2 ここでpq≠0と仮定するとア) p=0のとき, q√2+r√3=0の両辺に√2をかけてイ) q=0のとき, p=-r√3ア)イ)いずれの場合も, p=q=r=0が成り立つ. |
2
a,bを整数,u,vを有理数とする. u+v√3 が x2+ax+b=0 の解であるならば,uとvは共に整数であることを示せ.ただし√3が無理数であることは使ってよい. (「1999年度京都大学入試問題」の一部引用)
x2+ax+b=0 の解は
![]() a2-4b=3k2(a,b,kは整数)のとき,すなわち ![]() aもkも2の倍数になることを示せばよい. a2-3k2=4b(a,b,kは整数)が成立するかどうかを調べる.背理法により,a=2m,k=2nがいえる. (1)によりu,vは整数となる. |
3
a,b,cが有理数で,a√2+b√3+c√6=0ならばa=b=c=0といえるかどうか調べなさい.ただし√2,√3,√6が無理数であることは使ってよい. a√2+b√3=-c√6の両辺を2乗すると
2a2+3b2+2ab√6=6c2 ここでab≠0と仮定するとア)a=0のとき b√3=-c√6よりb=-c√2イ)b=0のとき a√2=-c√6よりa=-c√3ア)イ)いずれの場合も, a=b=c=0が成り立つ. |
![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][無理数の独立について/18.10.2]
余談の例の式 d√2→b√2ですか?
=>[作者]:連絡ありがとう.入力ミスですので訂正しました. |
鬮ォ�ィ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ鬮ヲ�ョ陷サ�サ�ス�ソ�ス�ス鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�オ鬩幢ス「�ス�ァ�ス�ス�ス�、鬩幢ス「隴乗��ス�コ�ス�・�ス�ス�ス�ス鬩搾スオ�ス�コ�ス�ス�ス�ョGoogle鬮ォ�カ�つ髫イ蟷「�ソ�ス�ス�ス�ス�エ�ス�ス�ス�「鬮ォ�ィ�ス�ス�ス�ソ�ス�ス |