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[I] 　　a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
[II]　　a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

■証明するには右辺を展開してみるとよい．
　(a+b)(a2−ab+b2)

　=a3−a2b+ab2

　+a2b−ab2+b3

　=a3________+b3＝（左辺）

　(a−b)(a2+ab+b2)

　=a3+a2b+ab2

　−a2b−ab2−b3

　=a3________−b3＝（左辺）

他の例
　(x+1)(x3−x2+x−1)

　=x4−x3+x2−x

　+x3−x2+x−1

　=x4________−1

　(x−1)(x4+x3+x2+x+1)

　=x5+x4+x3+x2+x

　−x4−x3−x2−x−1

　=x5___________−1

[I] [II] の公式は (a+b)2=a2+2ab+b2 とは全く関係がない．
すなわち
a3−b3 ＃等しくない＃ (a−b)(a2+2ab+b2)
a3+b3 ＃等しくない＃ (a+b)(a2−2ab+b2)

(1)　x3+64
⇒　 (x+4)(x2−4x+16) ， (x−4)(x2+4x+16)

______(x+4)(x2−8x+16) ， (x−4)(x2+8x+16)

x3+43
=(x+4)(x2−4x+42)
=(x+4)(x2−4x+16)
※実係数では，２次式の部分をこれ以上因数分解することはできない．［x2−4x+16=(x−2)2+12>0だからx2−4x+16=0の解が虚数になる…詳しくは数学�Uで習う…特に指定がなければまでは分けない］

(2)　27x3−8y3
⇒　 (3x+2y)(9x2−6xy+4y2)

______(3x+2y)(9x2−12xy+4y2)

______(3x−2y)(9x2+6xy+4y2)

______(3x−2y)(9x2+12xy+4y2)

(3x)3−(2y)3
=(3x−2y){(3x)2+(3x)(2y)+(2y)2}
=(3x−2y)(9x2+6xy+4y2)
※実係数では，２次式の部分をこれ以上因数分解することはできない［9x2+6xy+4y2=0の解が虚数になる…詳しくは数学�Uで習う…特に指定がなければまでは分けない］

[III] 　　a3+b3+c3−3abc
______=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

■証明するには，まず (a+b)3 を作るとよい．
　a3+b3+c3−3abc
___=(a+b)3−3a2b−3ab2+c3−3abc
___=(a+b)3+c3−3a2b−3ab2−3abc
___={(a+b)+c}{(a+b)2−(a+b)c+c2}−3a2b−3ab2−3abc
___=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−bc−ca)−3ab(a+b+c)
___=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

(1)　x3−y3+1+3xy
⇒　 (x+y+1)(x2+y2+1−xy−x−y)

______(x+y−1)(x2+y2+1−xy+x+y)

______(x−y+1)(x2+y2+1+xy−x+y)

______(x−y+1)(x2+y2+1+2xy−2x+2y)

x3+(−y)3+13−3(x)·(−y)·(1)
=(x−y+1){x2+(−y)2+12−(x)·(−y)−(−y)·(1)−(1)·(x)}
=(x−y+1)(x2+y2+1+xy+y−x)
※実係数では，２次式の部分をこれ以上因数分解することはできない

(2)　x3−y3−6xy−8
⇒　(x+y+2)(x2+y2+4−xy−2x−2y)

______(x−y+2)(x2+y2+4+xy−2x+2y)

______(x+y−2)(x2+y2+4−xy+2x+2y)

______ (x−y−2)(x2+y2+4+xy+2x−2y)

x3+(−y)3+(−2)3−3(x)·(−y)·(−2)
=(x−y−2){x2+(−y)2+(−2)2−(x)·(−y)−(−y)·(−2)−(−2)·(x)}
=(x−y−2)(x2+y2+4+xy−2y+2x)
※実係数では，２次式の部分をこれ以上因数分解することはできない

[IV] 　　x2 , x4 , x6 ··· のようにx の偶数乗から成る式を複二次式という．
　複二次式は x2=A と「置き換え」ると因数分解しやすい

x4+x2−6 の因数分解
____x2=A とおくと
____（原式）=A2+A−6=(A+3)(A−2)
____元の x に戻すと (x2+3)(x2−2) …（答）

x4−6x2+8 の因数分解
____x2=A とおくと
____（原式）=A2−6A+8=(A−2)(A−4)
____元の x に戻すと (x2−2)(x2−4)
※安心するのはまだ早い！ x2−4 は，さらに因数分解できる．
____(x2−2)(x+2)(x−2) …（答）

.

問題3　次の式を因数分解せよ．
　（正しいものを選べ．）

(1)　x4−2x2−3
⇒　(x2+3)(x2−1)

(x2−3)(x2+1)

(x2+3)(x+1)(x−1)

(x2+1)(x+3)(x−3)

x2=Aとおくと
A2−2A−3=(A−3)(A+1)
xに戻すと
(x2−3)(x2+1)…（答）
※整数や有理数の係数の範囲では，x2−3の部分をこれ以上因数分解することはできない．また，実係数の範囲ではx2+1の部分をこれ以上因数分解することはできない．

(2)　3x4−11x2−4
⇒　(3x2−4)(x2+1)

(3x2+4)(x+1)(x−1)

(3x2−1)(x2+4)

(3x2+1)(x+2)(x−2)

x2=Aとおくと
3A2−11A−4=(3A+1)(A−4) ←たすき掛け因数分解
xに戻すと
(3x2+1)(x2−4)
=(3x2+1)(x−2)(x+2)…（答）
※実係数の範囲では3x2+1の部分をこれ以上因数分解することはできない．

[V]
　(x2+2x)2−2(x2+2x)−3 などのように「同じもの」が２回以上登場するときは，その同じものを A とおくと因数分解しやすい．

(x2+2x)2−2(x2+2x)−3 の因数分解
____x2+2x=A とおくと
____（原式）=A2−2A−3=(A+1)(A−3)
____元の x に戻すと
____(x2+2x+1)(x2+2x−3)=(x+1)2(x+3)(x−1) …（答）

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−8 の因数分解
（原式）=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)−8
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)−8
x2+5x=A とおくと
(x2+5x+4)(x2+5x+6)−8
=(A+4)(A+6)−8=A2+10A+24−8=A2+10A+16
=(A+8)(A+2)
元の x に戻すと
(x2+5x+8)(x2+5x+2) …（答）
（※整数係数ではこれ以上因数分解できない．）

問題4　次の式を因数分解せよ．
　（正しいものを選べ．）
※　途中計算は各自で左のように行うこと．

(1)　(x2−3x)2+5(x2−3x)+4
⇒　(x2−3x+1)(x2−3x+4)

(x2−3x+1)(x2−3x+5)

(x2−3x−1)(x2−3x−4)

(x2−3x−1)(x2−3x−5)

x2−3x=Aとおくと，
（原式）=A2+5A+4=(A+1)(A+4)
xに戻すと
（原式）=(x2−3x+1)(x2−3x+4)
（※有理数の係数ではこれ以上因数分解できない．）

(2)　(x2+2x)(x2+2x+4)−12
⇒　 (x2+2x−3)(x2+2x+4)

(x2+2x−4)(x2+2x+3)

(x2+2x−6)(x2+2x+2)

(x2+2x−2)(x2+2x+6)

x2+2x=Aとおくと，
（原式）=A(A+4)−12=A2+4A−12=(A−2)(A+6)
xに戻すと
（原式）=(x2+2x−2)(x2+2x+6)
（※有理数の係数ではこれ以上因数分解できない．）

x三乗ーx二乗ー10xー8 を因数分解がわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数学�Tの教材から質問しておられますが，その問題は数学�Tの問題ではなく，数学�Uの剰余定理，因数定理を使う問題です．このページ
とおいて，となるaの値を探す．
aは−8の約数になるから，a=±1,±2,±4,±8のうちで合うものを探します．（因数分解は，あてもんです．まぐれ当たりがほとんどです．とはいえすぐ見つかります．a=−1）ｘ+1で割り切れるから割り算をすると，残りは２次式だから見ただけで分かります．

問題2の解説と回答の結果が異なります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題2の何番がどう違うのですか？

x４乗＋３x２乗＋４の因数分解が、分かりません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その次のページの(4)の項目に，そのものずばりの問題と解答があります．

こんにちは。三次方程式の解法について質問させてください。 三次の変数aを消す為に両辺をaで割るというのは何となくわかるのですが、 その後に立法完成させるべくX=x-b/3 or X=x+b/3を代入して、X^3＋pX＋q=0の式を導くというのは、なぜそのような操作ができるのでしょうか？　一部のサイトでは平行移動といって幾何的にグラフ移動の説明をするものもありますが、あくまでも代数的な操作理由が知りたいです。 　また代入すべき変数Xは、元の三次式の係数に関係なく、とにかくX=x-b/3 or X=x+b/3を代入してかまわないのでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

のとき

とおくと

となっての項が消せるところに目を付けたのがカルダノ公式です．
とおくというのは各自の自由ですが，結果が生きて使えるという保証はないでしょう．X=x+b/3では2次の項は消えません．
※この教材ではカルダノ公式は扱っていませんが，実際にはとなってからの変換の方がミラクルで，思いついた人が偉いとしか言いようがないでしょう．なぜ思い付くのかなどと考えても無駄でしょう - - 相手は数学史に残る偉人なのだから，後の人は真似をすることから始めるのが無難

複素数の範囲での解説もお願いします。 ｘの4乗-1の因数分解です
＝＞［作者］：連絡ありがとう．複素数の範囲での因数分解は数学�Uで扱っています．
なお，このページの解説に沿ってwxMaximaをインストールし，画面上で空打ちをして入力欄を作ってから
とすると，次のように因数分解の結果が出ます． wxMaxima上では虚数単位は %i で表されています．
※このレベルなら暗算でできますが，筆者が計算間違いしそうな問題は，wxMaximaを検算に使っています．

x4乗−16の答えがわかりません。 教えてください！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず，x4−16の答という言い方はおかしいです．x4−16の因数分解というべきです．
x4−16=(x2−4)(x2+4)=(x−2)(x+2)(x2+4)
※x2+4の部分をこれ以上因数分解すると虚数係数となるので，通常（実係数，さらに有理係数を前提とする）はこれ以上因数分解しない．

８ｘ３乗−27の答えを教えて下さい
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(1) まず初めに「８ｘ３乗−27の答え」というものはないことに注意してください．「８ｘ３乗−27＝0の答え」はありますし「８ｘ３乗−27の因数分解」はあります．文字式の場合と方程式の場合では使われる用語が違います．(2) 次に，8x3−27の因数分解は[I] [II]の例 という箇所に窓枠で囲って書いてあります．書いてあることに気が付かなかった場合は，見たら解決です．書いてあっても，それが因数分解の答えだとは思えない場合は少々込み入った話になります．
の部分をどうしても１次式の積にしたい場合は解の公式を使って虚数の係数で因数分解しますが，通常「因数分解しなさい」という場合は無理数や虚数の係数を使わずに，整数や分数の範囲で因数分解します．
因数分解しなさいという場合：はそのままでよい
複素数の範囲で因数分解しなさいという場合：

X4乗-6X2乗➕1の因数分解
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューをたどって，因数分解の応用問題を見てください．x4−6x2+1=(x2+1)2−(??)2と変形できるか，それともx4−6x2+1=(x2−1)2−(??)2と変形できるかを両方試してから判断します．
質問の仕方がかなり横着なのでそれ以上は答えない方がよいでしょう．

［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．