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桃

(1) 次数が低い文字について整理する

(2) 置き換えを利用して因数分解する

(3) ３次式の因数分解公式を利用する

(4) ○²−□²の形に持ち込む

(1) 次数が低い文字について整理する

「次数が低い文字について整理する」とは，次数の低い１つの文字（次数が最低の文字）に着目して，その文字だけを文字とみなし他の文字を係数（定数）とみなすということです．

誰がやっても
「１次式の因数分解は２次式の因数分解よりも簡単」
「２次式の因数分解は３次式の因数分解よりも簡単」「･･･」
というように，次数が低い因数分解の方が有利になるのです．

１次式の因数分解なんかあるのか？と思われるかもしれませんが，厳密な言い方は別として，１次式については次の「共通因数でくくる」という変形があります．
ax+bx=(a+b)x
１次式の因数分解はこれだけなので，ある文字について整理すると１次式になったら「しめた！共通因数の話だ！」と考えればよいことになります．

【例1.1】　次の式を因数分解してください．
ax+bx+a2−b2

この問題をaについて整理しても間違いではありませんが，２次式の因数分解になるので次のようにやや複雑になります．
ax+bx+a2−b2
=a2+xa−b2+bx
この２次式を因数分解するには，積が−b2+bxになるものうちで，和がxになるもの○と□を探して
(a+○)(a+□)
の形にします．
ところで，積が−b2+bxになるものは何かというと，それは全体の大きな因数分解をしている中で，定数項−b2+bxを２つの式の積に分けるということで，それは−b2+bxをあらかじめ因数分解しておくということです．
−b2+bx=b(x−b)
ここで，b+(x−b)=xとなって和がxになっています．
結局
a2+xa−b2+bx
=a2+xa+b(x−b)
=(a+b)(a+x−b)…（答）

(1)
x2+2xy−3x−4y+2=ア(2y+x−1)

文字xについては２次式，文字yについては１次式になるので，yについて整理すると計算が楽になります．
（左辺）=(2x−4)y+(x2−3x+2)
=2(x−2)y+(x−1)(x−2)
共通因数x−2でくくると
=(x−2)(2y+x−1)

(2)
a2−2b2−ab+bc+ac−a+2b−c=イ(c+a−2b)

文字a, bについては２次式，文字cについては１次式になるので，cについて整理すると計算が楽になります．
（左辺）=(a+b−1)c+(a2−2b2−ab−a+2b)

共通因数を探すためには定数項a2−2b2−ab−a+2bをあらかじめ因数分解しておく必要がありますが，この式はaについてもbについても２次式なので，どちらで整理しても難しさは同じです．（aについて整理する）
a2+(−b−1)a−(2b2−2b)
=a2+(−b−1)a−2b(b−1)
積が−2b(b−1)になるものは，−2b, b−1の組と2b, −b+1の組があるが，そのうちで和が−b−1になるのは−2b, b−1の組
a2+(−b−1)a−(2b2−2b)=(a−2b)(a+b−1)
（原式）=(a+b−1)c+(a−2b)(a+b−1)
共通因数a+b−1でくくると
=(a+b−1)(c+a−2b)

(3)
abx2−(a2+b2)x+ab=ウ(bx−a)

文字a, b, xのどの文字について整理しても２次式なるので，このままxについて整理する．
（左辺）=(ab)x2+(−a2−b2)x+ab

x2の係数abを２つの式の積に分けるには，aとbの組，abと1の組がある．
定数項もabを２つの式の積に分けるには，aとbの組，abと1の組がある．
これらの組合せをたすき掛け因数分解で考えると，右図の組でxの１次の係数が一致する．
この図は(ax−b)(bx−a)の省略であるから
(ax−b)(bx−a)…（答）

(4)
(a−b)(c−b)(c+a)−abc=エ(ca−ab−bc)

文字a, b, cのどの文字について整理しても２次式になるので，aについて展開して整理する．
(a−b)(c−b)(c+a)−abc=(c−b)(a−b)(a+c)−bca
=(c−b)(a2+(c−b)a−bc)−bca
=(c−b)a2+(c−b)2a−bc(c−b)−bca
=(c−b)a2+{(c−b)2−bc}a−bc(c−b)
a2の係数c−bを２つの式の積に分けるには，c−bと1の組だけです．また，定数項−bc(c−b)を２つの式の積に分けるには，−bc ,c−b組，bc ,−(c−b)組などがある．
これらの組合せの内で，aの1次の係数が(c−b)2−bcになるものをたすき掛け因数分解で考えると，右図のようになる．
この図は((c−b)a−bc)(a+(c−b))の省略であるから
(ca−ab−bc)(a−b+c)…（答）

(2) 置き換えを利用して因数分解する

(x2−5x)(x2−5x+10)+24のように同じ式x2−5xが２回以上登場するときは，この式を１文字に置き換えることによって「見やすく」「間違いにくく」なります．

【例2.1】　次の式を因数分解してください．
(x2−5x)(x2−5x+10)+24

上の【例2.1】のように初めから同じ式が含まれる場合だけでなく，次の例のように「うまく展開すれば同じ式が作れる」場合もあります．
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)をそのままの順で１番目と２番目，３番目と４番目のかっこを展開すると
(x2+3x+2)(x2+7x+12)
となって，同じ式は登場しませんが，組合せを変えて次のように展開すると同じ式が登場します．
(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)

【例2.2】　次の式を因数分解してください．
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−24

※x2+5x+10は虚数の係数を使わなければ因数分解できない．通常，特に指定がなければ，上の答案のように整数，分数の係数の範囲まで因数分解すればよい．

上の【例2.2】のように２次と１次の組x2+○xまでが２回登場する場合だけでなく，次の例のように「定数項との組が同じになる」場合もあります．
(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)をそのままの順で１番目と２番目，３番目と４番目のかっこを展開すると
(x2+3x+2)(x2+9x+18)
となって，同じ式は登場しませんが，組合せを変えて次のように展開すると同じ式が登場します．
(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)
=(x2+7x+6)(x2+5x+6)
=(x2+6+7x)(x2+6+5x)
※とにかく同じ式を作ると因数分解が有利になる
…「どうしても同じ式を作りたい」と考えます

【例2.3】　次の式を因数分解してください．
(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)−3x2

(1)
(x2+3x)(x2+3x−2)−8=オ(x+1)(x+2)(x+4)

x2+3x=Aとおく
（原式）=A(A−2)−8=A2−2A−8
=(A+2)(A−4)
元の文字に戻すと
=(x2+3x+2)(x2+3x−4)
=(x+1)(x+2)(x+4)(x−1)…（答）

(2)
(x−2)(x−3)(x+4)(x+5)−44=(x2+2x−カ)(x2+2x−19)

次のように組み合わせて展開する
(x−2)(x+4)·(x−3)(x+5)−44
=(x2+2x−8)(x2+2x−15)−44
x2+2x=Aとおく
（原式）=(A−8)(A−15)−44=A2−23A+76
=(A−4)(A−19)
元の文字に戻すと
=(x2+2x−4)(x2+2x−19)…（答）

(3)
(x−2)(x−3)(x+4)(x+6)+2x2=(x2+キ−12)(x2+3x−12)

次のように組み合わせて展開する
(x−2)(x+6)·(x−3)(x+4)+2x2
=(x2+4x−12)(x2+x−12)+2x2
x2−12=Aとおく
（原式）=(A+4x)(A+x)+2x2=A2+5xA+6x2
=(A+2x)(A+3x)
元の文字に戻すと
=(x2+2x−12)(x2+3x−12)…（答）

(3) ３次式の因数分解公式を利用する

数学Ⅱで習う因数定理よりも前の段階（数学Ⅰ）に登場する３次の因数分解公式には，次のものがあります.
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)

【例3.1】　次の式を因数分解してください．
(x+2)3+(x−3)3−(2x−1)3

【例3.2】　次の式を因数分解してください．
(x−y)3+(y−z)3−3(x−y)(y−z)(z−x)

(1)
(a+b+c)3−a3−b3−c3=ク(a+b)(b+c)(c+a)

aの式として展開整理すると
（原式）=(a+(b+c))3−a3−b3−c3
=a3+3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3−a3−b3−c3
=3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3−b3−c3
=3a2(b+c)+3a(b+c)2+3b2c+3bc2
=3{a2(b+c)+a(b+c)2+bc(b+c)}
=3(b+c){a2+a(b+c)+bc}
=3(b+c)(a+b)(a+c)

(2)
(b−c)3+(c−a)3+(a−b)3=ケ(a−b)(b−c)(c−a)

(b−c)3+(c−a)3+(a−b)3−3(b−c)(c−a)(a−b)
=(b−c+c−a+a−b)(···)=0
だから
（原式）=3(b−c)(c−a)(a−b)

(3)
(x+y+z)3−(y+z−x)3−(z+x−y)3−(x+y−z)3=コxyz

y+z−x=a, x+y−z=b, z+x−y=cとおくとa+b+c=x+y+zになるから，(1)の結果が使える
（原式）=3(b+c)(a+b)(a+c)=3(2x)(2y)(2z)=24xyz

(4) ○²−□²の形に持ち込む

x4+x2+1のような式は複２次式と呼ばれ，x2=XとおくとX2+X+1という２次式になりますが，そこから先に進めない場合があります．
このような場合に，○²−□²の変形を利用すると因数分解できることがあります．

【例4.1】　次の式を因数分解してください．
x4+x2+1

【要点】
　○²−□²の形に持ち込む

(1)
x4+3x2+4=(x2+x+2)(x2−x+サ)

x4+3x2+4=(x2+2)2−x2と変形すると○²−□²の形になります．
（原式）=(x2+2)2−x2
=(x2+x+2)(x2−x+2)

(2)
(x2−y2)2−8(x2+y2)+16=シ(x+y−2)(x−y+2)(x−y−2)

（原式）=(x2−y2−4)2+8(x2−y2)−8(x2+y2)
=(x2−y2−4)2−16y2
=(x2−y2−4−4y)(x2−y2−4+4y)
={x2−(y+2)2}{x2−(y−2)2}
=(x+y+2)(x−y−2)(x+y−2)(x−y+2)

(3)
x4+y4+z4−2x2y2−2y2z2−2z2x2
=ス(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z)

(x2+y2−z2)2=x4+y4+z4+2x2y2−2y2z2−2z2x2
だから
（原式）=(x2+y2−z2)2−4x2y2
=(x2+y2+2xy−z2)(x2+y2−2xy−z2)
={(x+y)2−z2}{(x−y)2−z2}
=(x+y+z)(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z)

(1.1)
$a{x}^2+(b-a^2)x-ab$

(1.2)
(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc

※初歩的なことであるが，この問題の式自体は因数分解できていないことに注意．（因数分解できていたら問題にならない）
因数分解と言えるためには，最も大きな区切りが積の形になっていなければならないが，この問題文では引き算になっているので，展開してから改めて因数分解する必要がある．

(1.3)
a(b3+c3)+b(c3−a3)−c(a3+b3)

(1.4)
$cd+abd+bc-a{c}^2+a{b}^2-a^{2}bc$

←文字係数のたすき掛け因数分解
$\nearrow$ $\searrow$ $bc\to c^2$
$\underset{―}{c-b\to -b^2}$
$c^2-b^2$

(2.1)
$(a^2+b^2-c^2-d^2{)}^2-4(ab-cd{)}^2$

(2.2)
$(x^2+3x-30)(x^2+3x-8)+40$

(2.3)
$(x^2+3x+2)(x^2+7x+12)-3$

同じものがあれば=Aとおいて置き換えると簡単になる．同じものがないときは「作る」

(2.4)
$xy+(x-1)(y-1)(xy+1)$

同じものが登場したら1文字に置き換える．想定外の箇所でも構わない！

(3.1)
$27x^3-8y^3-1-18xy$

(3.2)
$(3x+2y{)}^3-(x-y{)}^3+(2x+3y{)}^3$

$(3x+2y)-(x-y)=(2x+3y)$を利用すると，共通因数が作れる

(3.3)
$(2x+1{)}^3+(x-2{)}^3+3(2x+1)(x-2)(3x-1)$

$(2x+1)+(x-2)=(3x-1)$を利用すると，共通因数が作れる

(3.4)
$(a+b+c+d{)}^3-(a+b{)}^3-c^3-d^3$

$(a+b+c+d)-(a+b)=(c+d)$を利用すると，共通因数が作れる

(4.1)
$x^4-7x^2+9$

$(x^2+3{)}^2-13x^2$と $(x^2-3{)}^2-x^2$が考えられるが
$(x^2+3{)}^2-13x^2=(x^2+3+\sqrt{13}x)(x^2+3-\sqrt{13}x)$ は無理数の係数になるから，採用できない

特に断り書きがない限り，因数分解は有理数の範囲で（整数と分数までを使って）行うが， $x^2+x-3$ をこれ以上因数分解すると $(x+\frac{1+\sqrt{13}}{2})(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2})$ となるから，その前で止める．
$x^2-x-3$ をこれ以上因数分解すると $(x-\frac{1+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{1-\sqrt{13}}{2})$ となるから，その前で止める．

(4.2)
$x^4+4y^4$

$(x^2+2y^2{)}^2-4x^2{y}^2$ と$(x^2-2y^2{)}^2+4x^2{y}^2$ が考えられるが，$(x^2-2y^2{)}^2+4x^2{y}^2$は実係数で因数分解できないから，採用できない

さらに因数分解すると虚数の係数が登場するから，ここで止める．

(4.3)
$x^4+5x^2{y}^2+9y^4$

$(x^2+3y^2{)}^2-x^2{y}^2$ と$(x^2-3y^2{)}^2+11x^2{y}^2$ が考えられるが，$(x^2-3y^2{)}^2+11x^2{y}^2$ は虚数の係数が必要となるから，採用できない

さらに因数分解すると虚数の係数が登場するから，ここで止める．

(4.4)
$(a+b{)}^4-3(a+b{)}^2(a-b{)}^2+(a-b{)}^4$

ここまでの問題と同様に2種類考えられるが，無理数の係数が登場する方は採用できない

さらに因数分解すると無理数の係数が登場するから，ここで止める．