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この頁では因数分解の応用問題として次の４つの項目の解説があります．それぞれのタイトルをクリックするとその項目にジャンプできます．

(1) 次数が低い文字について整理する

「次数が低い文字について整理する」とは，次数の低い１つの文字（次数が最低の文字）に着目して，その文字だけを文字とみなし他の文字を係数（定数）とみなすということです．

誰がやっても
「１次式の因数分解は２次式の因数分解よりも簡単」
「２次式の因数分解は３次式の因数分解よりも簡単」「･･･」
というように，次数が低い因数分解の方が有利になるのです．

１次式の因数分解なんかあるのか？と思われるかもしれませんが，厳密な言い方は別として，１次式については次の「共通因数でくくる」という変形があります．
ax+bx=(a+b)x
１次式の因数分解はこれだけなので，ある文字について整理すると１次式になったら「しめた！共通因数の話だ！」と考えればよいことになります．

【例1.1】　次の式を因数分解してください．
ax+bx+a2−b2

この問題をaについて整理しても間違いではありませんが，２次式の因数分解になるので次のようにやや複雑になります．
ax+bx+a2−b2
=a2+xa−b2+bx
この２次式を因数分解するには，積が−b2+bxになるものうちで，和がxになるもの○と□を探して
(a+○)(a+□)
の形にします．
ところで，積が−b2+bxになるものは何かというと，それは全体の大きな因数分解をしている中で，定数項−b2+bxを２つの式の積に分けるということで，それは−b2+bxをあらかじめ因数分解しておくということです．
−b2+bx=b(x−b)
ここで，b+(x−b)=xとなって和がxになっています．
結局
a2+xa−b2+bx
=a2+xa+b(x−b)
=(a+b)(a+x−b)…（答）

(1)
x2+2xy−3x−4y+2=ア(2y+x−1)

文字xについては２次式，文字yについては１次式になるので，yについて整理すると計算が楽になります．
（左辺）=(2x−4)y+(x2−3x+2)
=2(x−2)y+(x−1)(x−2)
共通因数x−2でくくると
=(x−2)(2y+x−1)

(2)
a2−2b2−ab+bc+ac−a+2b−c=イ(c+a−2b)

文字a, bについては２次式，文字cについては１次式になるので，cについて整理すると計算が楽になります．
（左辺）=(a+b−1)c+(a2−2b2−ab−a+2b)

共通因数を探すためには定数項a2−2b2−ab−a+2bをあらかじめ因数分解しておく必要がありますが，この式はaについてもbについても２次式なので，どちらで整理しても難しさは同じです．（aについて整理する）
a2+(−b−1)a−(2b2−2b)
=a2+(−b−1)a−2b(b−1)
積が−2b(b−1)になるものは，−2b, b−1の組と2b, −b+1の組があるが，そのうちで和が−b−1になるのは−2b, b−1の組
a2+(−b−1)a−(2b2−2b)=(a−2b)(a+b−1)
（原式）=(a+b−1)c+(a−2b)(a+b−1)
共通因数a+b−1でくくると
=(a+b−1)(c+a−2b)

(3)
abx2−(a2+b2)x+ab=ウ(bx−a)

文字a, b, xのどの文字について整理しても２次式なるので，このままxについて整理する．
（左辺）=(ab)x2+(−a2−b2)x+ab

x2の係数abを２つの式の積に分けるには，aとbの組，abと1の組がある．
定数項もabを２つの式の積に分けるには，aとbの組，abと1の組がある．
これらの組合せをたすき掛け因数分解で考えると，右図の組でxの１次の係数が一致する．
この図は(ax−b)(bx−a)の省略であるから
(ax−b)(bx−a)…（答）

(4)
(a−b)(c−b)(c+a)−abc=エ(ca−ab−bc)

文字a, b, cのどの文字について整理しても２次式になるので，aについて展開して整理する．
(a−b)(c−b)(c+a)−abc=(c−b)(a−b)(a+c)−bca
=(c−b)(a2+(c−b)a−bc)−bca
=(c−b)a2+(c−b)2a−bc(c−b)−bca
=(c−b)a2+{(c−b)2−bc}a−bc(c−b)
a2の係数c−bを２つの式の積に分けるには，c−bと1の組だけです．また，定数項−bc(c−b)を２つの式の積に分けるには，−bc ,c−b組，bc ,−(c−b)組などがある．
これらの組合せの内で，aの1次の係数が(c−b)2−bcになるものをたすき掛け因数分解で考えると，右図のようになる．
この図は((c−b)a−bc)(a+(c−b))の省略であるから
(ca−ab−bc)(a−b+c)…（答）

(2) 置き換えを利用して因数分解する

(x2−5x)(x2−5x+10)+24のように同じ式x2−5xが２回以上登場するときは，この式を１文字に置き換えることによって「見やすく」「間違いにくく」なります．

【例2.1】　次の式を因数分解してください．
(x2−5x)(x2−5x+10)+24

上の【例2.1】のように初めから同じ式が含まれる場合だけでなく，次の例のように「うまく展開すれば同じ式が作れる」場合もあります．
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)をそのままの順で１番目と２番目，３番目と４番目のかっこを展開すると
(x2+3x+2)(x2+7x+12)
となって，同じ式は登場しませんが，組合せを変えて次のように展開すると同じ式が登場します．
(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)

【例2.2】　次の式を因数分解してください．
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−24

※x2+5x+10は虚数の係数を使わなければ因数分解できない．通常，特に指定がなければ，上の答案のように整数，分数の係数の範囲まで因数分解すればよい．

上の【例2.2】のように２次と１次の組x2+○xまでが２回登場する場合だけでなく，次の例のように「定数項との組が同じになる」場合もあります．
(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)をそのままの順で１番目と２番目，３番目と４番目のかっこを展開すると
(x2+3x+2)(x2+9x+18)
となって，同じ式は登場しませんが，組合せを変えて次のように展開すると同じ式が登場します．
(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)
=(x2+7x+6)(x2+5x+6)
=(x2+6+7x)(x2+6+5x)
※とにかく同じ式を作ると因数分解が有利になる
…「どうしても同じ式を作りたい」と考えます

【例2.3】　次の式を因数分解してください．
(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)−3x2

(1)
(x2+3x)(x2+3x−2)−8=オ(x+1)(x+2)(x+4)

x2+3x=Aとおく
（原式）=A(A−2)−8=A2−2A−8
=(A+2)(A−4)
元の文字に戻すと
=(x2+3x+2)(x2+3x−4)
=(x+1)(x+2)(x+4)(x−1)…（答）

(2)
(x−2)(x−3)(x+4)(x+5)−44=(x2+2x−カ)(x2+2x−19)

次のように組み合わせて展開する
(x−2)(x+4)·(x−3)(x+5)−44
=(x2+2x−8)(x2+2x−15)−44
x2+2x=Aとおく
（原式）=(A−8)(A−15)−44=A2−23A+76
=(A−4)(A−19)
元の文字に戻すと
=(x2+2x−4)(x2+2x−19)…（答）

(3)
(x−2)(x−3)(x+4)(x+6)+2x2=(x2+キ−12)(x2+3x−12)

次のように組み合わせて展開する
(x−2)(x+6)·(x−3)(x+4)+2x2
=(x2+4x−12)(x2+x−12)+2x2
x2−12=Aとおく
（原式）=(A+4x)(A+x)+2x2=A2+5xA+6x2
=(A+2x)(A+3x)
元の文字に戻すと
=(x2+2x−12)(x2+3x−12)…（答）

(3) ３次式の因数分解公式を利用する

数学�Uで習う因数定理よりも前の段階（数学�T）に登場する３次の因数分解公式には，次のものがあります.
x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)

【例3.1】　次の式を因数分解してください．
(x+2)3+(x−3)3−(2x−1)3

【例3.2】　次の式を因数分解してください．
(x−y)3+(y−z)3−3(x−y)(y−z)(z−x)

(1)
(a+b+c)3−a3−b3−c3=ク(a+b)(b+c)(c+a)

aの式として展開整理すると
（原式）=(a+(b+c))3−a3−b3−c3
=a3+3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3−a3−b3−c3
=3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3−b3−c3
=3a2(b+c)+3a(b+c)2+3b2c+3bc2
=3{a2(b+c)+a(b+c)2+bc(b+c)}
=3(b+c){a2+a(b+c)+bc}
=3(b+c)(a+b)(a+c)

(2)
(b−c)3+(c−a)3+(a−b)3=ケ(a−b)(b−c)(c−a)

(b−c)3+(c−a)3+(a−b)3−3(b−c)(c−a)(a−b)
=(b−c+c−a+a−b)(···)=0
だから
（原式）=3(b−c)(c−a)(a−b)

(3)
(x+y+z)3−(y+z−x)3−(z+x−y)3−(x+y−z)3=コxyz

y+z−x=a, x+y−z=b, z+x−y=cとおくとa+b+c=x+y+zになるから，(1)の結果が使える
（原式）=3(b+c)(a+b)(a+c)=3(2x)(2y)(2z)=24xyz

(4) ○²−□²の形に持ち込む

x4+x2+1のような式は複２次式と呼ばれ，x2=XとおくとX2+X+1という２次式になりますが，そこから先に進めない場合があります．
このような場合に，○²−□²の変形を利用すると因数分解できることがあります．

【例4.1】　次の式を因数分解してください．
x4+x2+1

【要点】
　○²−□²の形に持ち込む

(1)
x4+3x2+4=(x2+x+2)(x2−x+サ)

x4+3x2+4=(x2+2)2−x2と変形すると○²−□²の形になります．
（原式）=(x2+2)2−x2
=(x2+x+2)(x2−x+2)

(2)
(x2−y2)2−8(x2+y2)+16=シ(x+y−2)(x−y+2)(x−y−2)

（原式）=(x2−y2−4)2+8(x2−y2)−8(x2+y2)
=(x2−y2−4)2−16y2
=(x2−y2−4−4y)(x2−y2−4+4y)
={x2−(y+2)2}{x2−(y−2)2}
=(x+y+2)(x−y−2)(x+y−2)(x−y+2)

(3)
x4+y4+z4−2x2y2−2y2z2−2z2x2
=ス(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z)

(x2+y2−z2)2=x4+y4+z4+2x2y2−2y2z2−2z2x2
だから
（原式）=(x2+y2−z2)2−4x2y2
=(x2+y2+2xy−z2)(x2+y2−2xy−z2)
={(x+y)2−z2}{(x−y)2−z2}
=(x+y+z)(x+y−z)(x−y+z)(x−y−z)

(1.1)
\( \large{ ax^2+(b-a^2)x-ab } \)

（解答）
　文字a, b, xのうちで，bの次数が最低だからbについて整理する．
b(x−a)+ax2−a2x
=b(x−a)+ax(x−a)
=(x−a)(ax+b)…（答）
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(1.2)
(a+b+c)(ab+bc+ca)−abc

（解答）
　どの文字a, b, cについても２次式だから，どの文字について整理しても条件は同じ．とりあえずaについて整理する．
a2b+abc+a2c+ab2+b2c
+abc+abc+bc2+c2a−abc
=a2(b+c)+a(b2+2bc+c2)+bc(b+c)
=a2(b+c)+a(b+c)2+bc(b+c)
=(b+c){a2+a(b+c)+bc}
=(b+c)(a+b)(a+c)…（答）
=(a+b)(b+c)(c+a)…（この形の方がよい）
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(1.3)
a(b3+c3)+b(c3−a3)−c(a3+b3)

（解答）
　どの文字a, b, cについても３次式だから，どの文字について整理しても条件は同じ．とりあえずaについて整理する．（もちろんbについて整理しても，最終的には同じ結果になる）
\( a^3(-b-c)+a(b^3+c^3)+bc^3-b^3c \)
\( =-a^3(b+c)+a(b+c)(b^2-bc+c^2)+bc(c^2-b^2) \)
\( \small{=-a^3(b+c)+a(b+c)(b^2-bc+c^2)+bc(c-b)(c+b)} \)
\( \small{=(b+ c)\{-a^3+ a(b^2-bc+ c^2)+ bc(c-b)\}} \)
{ }内では，aは3次，b, cは2次だから，とりあえずbについて整理する．
\( \small{\{\hspace{10px}\}=-a^3+ab^2-abc+ac^2+bc^2-b^2c} \)
\( \small{=b^2(a-c)+b(c^2-ac)+(ac^2-a^3)} \)
\( \small{=b^2(a-c)+bc(c-a)+a(c^2-a^2)} \)
\( \small{=b^2(a-c)+bc(c-a)+a(c-a)(c+a)} \)
\( \small{=(a-c)\{b^2-bc-a(c+a)\}} \)
{ }内では，a, bは2次，cは1次だから，cについて整理する．
\( \small{\{\hspace{10px}\}=c(-b-a)+(b^2-a^2)} \)
\( \small{=-c(b+ a)+(b-a)(b+ a)} \)
\( \small{=(b+a)(-c+b-a)} \)
（原式）\( \small{ =(a+b)(b+c)(a-c)(b-a-c) } \)…（答）
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(1.4)
\( \large{ cd+abd+bc-ac^2+ab^2-a^2bc } \)

（解答）
a, b, cは2次，dは1次だから，dについて整理する．
\( d(c+ab)+\{bc-ac^2+ab^2-a^2bc\} \)
{ }内では，a, b, cとも2次だから，とりあえずaについて整理する．
\( \{\hspace{10px}\}=a^2(-bc)+a(b^2-c^2)+bc \)
\( =-\{bca^2+a(c^2-b^2)-bc\} \)
\( =-(ba+c)(ca-b) \)
（原式）\( =d(c+ab)-(ba+c)(ca-b) \)
\( =(c+ab)(d-ca+b) \)…（答）
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(2.1)
\( (a^2+b^2-c^2-d^2)^2-4(ab-cd)^2 \)

（解答）
\( a^2+b^2-c^2-d^2=A,\hspace{10px}2(ab-cd)=B \)とおく
\( A^2-B^2=(A+B)(A-B) \)
元のa, b, c, dに戻す
\( (a^2+ b^2-c^2-d^2+ 2ab-2cd) \)
\( \times(a^2+b^2-c^2-d^2-2ab+2cd) \)
\( =\{(a+b)^2-(c+d)^2\}\{(a-b)^2-(c-d)^2\} \)
\( \scriptsize{ =(a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d) } \)
…(答)
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(2.2)
\( (x^2+ 3x-30)(x^2+3x-8)+ 40 \)

（解答）
\( x^2+3x=A \)とおく
\( (A-30)(A-8)+40=A^2-38A+280 \)
\( =(A-10)(A-28) \)
元のxに戻す
\( (x^2+3x-10)(x^2+3x-28) \)
\( =(x-2)(x+5)(x-4)(x+7) \) …(答)
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(2.3)
\( (x^2+3x+2)(x^2+7x+12)-3 \)

（解答）
\( (x^2+3x+2)(x^2+7x+12)-3 \)
\( =(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3 \)
同じものが登場するように，組合せを替える
\( \{(x+1)(x+4)\}\{(x+2)(x+3)\}-3 \)
\( =(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-3 \)
\( x^2+5x=A \)とおく
\( (A+4)(A+6)-3=A^2+10A+21 \)
\( =(A+3)(A+7) \)
元のxに戻す
\( (x^2+5x+3)(x^2+5x+7) \)…（答）
※特に断り書きがない問題では「有理数までの範囲の係数を使って」因数分解する．上記の答えを1次式まで因数分解すると，無理数や虚数の係数が必要になるから，これ以上は進まなくてもよい．
\( \small{(x-\frac{-5+\sqrt{13}}{2})(x+\frac{5+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-5+ 2\sqrt{6}i}{2})(x+\frac{5+ 2\sqrt{6}i}{2})} \)
…（不要）
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(2.4)
\( xy+(x-1)(y-1)(xy+1) \)

（解答）
\( xy+(x-1)(y-1)(xy+1) \)
\( =xy+(xy-x-y+1)(xy+1) \)
xy+1=Aとおく
=(A−x)(A−y)
元のx, yに戻す
(xy−x+1)(xy−y+1)…（答）
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(3.1)
\( 27x^3-8y^3-1-18xy \)

（解答）
\( 27x^3-8y^3-1-18xy \)
\( =(3x)^3+(-2y)^3+ (-1)^3-3(3x)(-2y)(-1) \)
\( =(3x-2y-1)(9x^2+4y^2+1+6xy-2y+3x) \)…(答)
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(3.2)
\( (3x+2y)^3-(x-y)^3+(2x+3y)^3 \)

（解答）
\( 3x+2y=A,\hspace{5px}x-y=B \)とおくと
\( (3x+2y)^3-(x-y)^3=A^3-B^3 \)
\( =(A-B)(A^2+AB+B^2) \)
\( \small{=(2x+3y)\{(3x+2y)^2+(3x+2y)(x-y)+(x-y)^2\}} \)
（原式）\( \small{=(2x+ 3y)\{(3x+ 2y)^2+ (3x+ 2y)(x-y)+ (x-y)^2\}} \)
\( +(2x+3y)^3 \)
\( =(2x+ 3y)\{9x^2+ 12xy+ 4y^2+ 3x^2-xy-2y^2 \)
\( + x^2-2xy+ y^2+4x^2+12xy+9y^2\} \)
\( =(2x+ 3y)(17x^2+ 21xy+ 12y^2) \)…(答)
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(3.3)
\( (2x+ 1)^3+(x-2)^3+ 3(2x+ 1)(x-2)(3x-1) \)

（解答）
\( 2x+1=A,\hspace{5px}x-2=B \)とおくと
\( (2x+ 1)^3+ (x-2)^3=A^3+ B^3 \)
\( =(A+ B)(A^2-AB+ B^2) \)
\( \small{=(3x-1)\{(2x+ 1)^2-(2x+ 1)(x-2)+ (x-2)^2\} } \)
（原式）\( =(3x-1)\{4x^2+ 4x+ 1-2x^2+ 3x+ 2 \)
\( + x^2-4x+ 4\}+ 3(2x+ 1)(x-2)(3x-1) \)
\( =(3x-1)\{4x^2+ 4x+ 1-2x^2+ 3x+ 2 \)
\( + x^2-4x+ 4+ 6x^2-9x-6\} \)
\( =(3x-1)\{9x^2-6x+1\}=(3x-1)^3 \)…（答）
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(3.4)
\( (a+ b+ c+ d)^3-(a+ b)^3-c^3-d^3 \)

（解答）
a+b=A, c+d=Bとおくと
\( (a+ b+ c+ d)^3-(a+ b)^3=(A+ B)^3-A^3 \)
\( =3A^2B+ 3AB^2+ B^3 \)
\( =B(3A^2+3AB+B^2) \)
\( \small{=(c+ d)(3a^2+ 6ab+ 3b^2+ 3ac+ 3ad+ 3bc+ 3bd} \)
\( + c^2+ 2cd + d^2) \)
また
\( c^3+ d^3=(c+ d)(c^2-cd+ d^2) \)
だから
（原式）
\( \small{=(c+ d)(3a^2+ 6ab+ 3b^2+ 3ac+ 3ad+ 3bc+ 3bd} \)
\( + c^2+ 2cd + d^2)-(c+ d)(c^2-cd+ d^2) \)
\( \small{=(c+ d)(3a^2+ 6ab+ 3b^2+ 3ac+ 3ad+ 3bc+ 3bd+ 3cd)} \)
\( \small{=3(c+ d)\{a^2+ 2ab+ b^2+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd\}} \)
{ }内ではdが1次だから，dで整理する
\( \small{\{\hspace{20px}\}=d(a+ b+ c)+(a^2+ 2ab+ b^2+ ac+ bc)} \)
\( =d(a+ b+ c)+(a+ b)^2+ c(a+ b) \)
\( =d(a+ b+ c)+(a+ b)(a+ b+ c) \)
\( =(a+ b+ c)(d+ a+ b) \)
（原式）\( =3(c+ d)(a+ b+ c)(d+ a+ b) \)…（答）
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(4.1)
\( x^4-7x^2+ 9 \)

（解答）
\( x^4-7x^2+ 9=(x^2-3)^2-x^2 \)
\( =(x^2+ x-3)(x^2-x-3) \)…（答）
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(4.2)
\( x^4+4y^4 \)

（解答）
\( x^4+ 4y^4=(x^2+ 2y^2)^2-4x^2y^2 \)
\( =(x^2+ 2xy+ 2y^2)(x^2-2xy+ 2y^2) \)…（答）
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(4.3)
\( x^4+ 5x^2y^2+ 9y^4 \)

（解答）
\( x^4+ 5x^2y^2+ 9y^4=(x^2+ 3y^2)^2-x^2y^2 \)
\( =(x^2+ xy+ 3y^2)(x^2-xy+ 3y^2) \)…（答）
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(4.4)
\( (a+ b)^4-3(a+ b)^2(a-b)^2+ (a-b)^4 \)

（解答）
\( (a+ b)^4-3(a+ b)^2(a-b)^2+ (a-b)^4 \)
\( =\{(a+ b)^2-(a-b)^2\}^2-(a+ b)^2(a-b)^2 \)
\( =\{(a+ b)^2-(a-b)^2+(a+ b)(a-b)\} \)
\( \times\{(a+ b)^2-(a-b)^2-(a+ b)(a-b)\} \)
\( =(4ab+ a^2-b^2)(4ab-a^2+ b^2) \)
\( =-(a^2+ 4ab-b^2)(a^2-4ab-b^2) \)…（答）
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