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=== 読者が配色を変更したい場合 ===
◎外側の色を変えるには,次の色をクリック
【問題1】 次の各式において空欄に入る値を下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック) (※暗算ではできません.各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください) 0 1 2 3 4 5
aの式として,b, cを定数とみなして展開すると
0
1
2
3
4
5(a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2 =(a+(b+c))2+(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2 =a2+2(b+c)a+(b+c)2 +a2−2(b+c)a+(b+c)2 +a2−2(b−c)a+(b−c)2 +a2+2(b−c)a+(b−c)2 =4a2+2(b+c)2+2(b−c)2 =4a2+2{b2+2bc+c2+b2−2bc+c2} =4a2+2{2b2+2c2}=4(a2+b2+c2)
初めに次のように2つずつ組み合わせて展開します.
0
2
4
6
8
10{(a+b+c)(b+c−a)}{(c+a−b)(a+b−c)} ={(b+c)2−a2}{a2−(b−c)2} =−{a2−(b+c)2}{a2−(b−c)2} 次にaの式として展開すると =−[a4−{(b+c)2+(b−c)2}a2+(b+c)2(b−c)2] =−[a4−{2b2+2c2}a2+(b2−c2)2] =−[a4−2a2b2−2a2c2+b4+c4−2b2c2] =2(a2b2+b2c2+c2a2)−(a4+b4+c4)
aの式として展開すると
(a+b+c)3=a3+3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3 −(a−(b+c))3=−a3+3a2(b+c)−3a(b+c)2+(b+c)3 (a−(b−c))3=a3−3a2(b−c)+3a(b−c)2−(b−c)3 (a+(b−c))3=a3+3a2(b−c)+3a(b−c)2+(b−c)3 これらを加えるとき,赤青緑黒で着色した項は消えるから 2a3+6a2(b+c)+6a(b−c)2+2(b+c)3 =2a3+6a2b+6a2c+6ab2−12abc+6ac2+2(b3+3b2c+3bc2+c3) =2(a3+b3+c3)+6(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)−12abc |
【問題2】 x+y+z=a, xy+yz+zx=b, xyz=cとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック) (※暗算ではできません.各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
次の因数分解公式を利用する場合:
0
1
2
3
4
5x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)((x+y+z)2−3(xy+yz+zx)) =3c+a3−3ab ※3次方程式の解と係数の関係を利用する場合: t3−at2+bt−c=0の解がx, y, zだから x3−ax2+bx−c=0…(*1) y3−ay2+by−c=0…(*2) z3−az2+bz−c=0…(*3) (*1)(*2)(*3)を辺々加えると x3+y3+z3 =a(x2+y2+z2)−b(x+y+z)+3c =a(a2−2b)−ba+3c=a3−3ab+3c
A2+B2+C2=(A+B+C)2−2(AB+BC+CA)…(*)
にA=x2, B=y2, C=z2を代入すると x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2−2(x2y2+y2z2+z2x2) 右辺の前半には(1)の結果が使える. 右辺の後半には,(*)式においてA=xy, B=yz, C=zxを代入すると x2y2+y2z2+z2x2 =(xy+yz+zx)2−2(xy·yz+yz·zx+zx·xy) =(xy+yz+zx)2−2xyz(x+y+z) 以上から (与式)=(a2−2b)2−2(b2−2ca) =a4−4a2b+4b2−2b2+4ac =a4−4a2b+2b2+4ac 3次方程式の解と係数の関係を使う場合は: t3−at2+bt−c=0の解がx, y, zだから x3−ax2+bx−c=0…(*1) y3−ay2+by−c=0…(*2) z3−az2+bz−c=0…(*3) x4=ax3−bx2+cx…(**1) y4=ay3−by2+cy…(**2) z4=az3−bz2+cz…(**3) (**1)(**2)(**3)より x4+y4+z4=a(x3+y3+z3)−b(x2+y2+z2)+c(x+y+z) (1)(2)の結果を右辺に代入すると a(a3−3ab+3c)−b(a2−2b)+ca =a4−3a2b+3ac−a2b+2b2+ac =a4−4a2b+2b2+4ac |
【問題3】 x=a−b, y=b−c, z=c−aとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック) (※暗算ではできません.各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
(1)の結果を使えば楽になります
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5(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=(−z)2+(−x)2+(−y)2 =c2−2ca+a2+a2−2ab+b2+b2−2bc+c2 =2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)
(1)の結果を使えば楽になります
(x+y)3+(y+z)3+(z+x)3=(−z)3+(−x)3+(−y)3 x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) だから x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) x3+y3+z3=3xyz=3(a−b)(b−c)(c−a) したがって,(与式)=−(x3+y3+z3)=−3(a−b)(b−c)(c−a) |
【問題4】 x=b+c−a, y=c+a−b, z=a+b−cとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください.(正しいものをクリック) (※暗算ではできません.各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください) 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
単純に展開してもできます
0
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5x2+y2+z2 =a2+b2+c2−2ab−2ca+2bc +a2+b2+c2−2bc−2ab+2ca +a2+b2+c2−2bc−2ca+2ab =3(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)
(1)(2)の結果を利用するとうまくできます
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx) において x+y+z=(a+b+c) x2+y2+z2=3(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca) xy+yz+zx =(c+(b−a))(c−(b−a)) +(a+(b−c))(a−(b−c)) +(b+(a−c))(b−(a−c)) =c2−(b−a)2+a2−(b−c)2+b2−(a−c)2 =a2+b2+c2−{a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+c2+a2−2ca} =2(ab+bc+ca)−(a2+b2+c2) したがって x2+y2+z2−xy−yz−zx =4(a2+b2+c2)−4(ab+bc+ca) 結局 x3+y3+z3−3xyz=(a+b+c){4(a2+b2+c2)−4(ab+bc+ca)} =4(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) =4(a3+b3+c3−3abc) |
【追加問題】・・・次の各式を展開してください. (各自計算用紙で計算してから[解説を見る]をクリックして,解説・解答を読んでください.コンピュータによる採点はありません.)
(1)
[解説を見る](x+2)(x−2)(x2+2x+4)(x2−2x+4)
(2)
[解説を見る](x+1)3(x−1)3
(3)
[解説を見る](x2+xy+y2)(x2−xy+y2)(x4−x2y2+y4)
初めの2つを先に展開する
(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)={(x2+y2)2−(xy)2 =x4+2x2y2+y4−x2y2 =x4+x2y2+y4 (原式)=(x4+x2y2+y4)(x4−x2y2+y4) ={(x4+y4)2−(x2y2)2 =x8+2x4y4+y8−x4y4 =x8+x4y4+y8・・・(答) |
(4)
[解説を見る](x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
同じものが登場するような組み合わせを考えます
(x+1)(x+4)=x2+5x+4 (x+2)(x+3)=x2+5x+6 x2+5x=Aとおくと (原式)=(A+4)(A+6)=A2+10A+24 =(x2+5x)2+10(x2+5x)+24 =x4+10x3+25x2+10x2+50x+24 =x4+10x3+35x2+50x+24・・・(答)
(5)
[解説を見る](x+1)(x+2)(x+3)(x+6)
同じものが登場するような組み合わせを考えます
(x+1)(x+6)=x2+6+7x (x+2)(x+3)=x2+6+5x x2+6=Aとおくと (原式)=(A+7x)(A+5x)=A2+12xA+35x2 =(x2+6)2+12x(x2+6)+35x2 =x4+12x2+36+12x3+72x+35x2 =x4+123+47x2+72x+36・・・(答)
(6)・・・やや難
[解説を見る](a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)+(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c) +(a+b+c)(a+b−c)(−a+b+c)−(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
a+b+c=S, −a+b+c=A, a−b+c=B, a+b−c=Cとおく
(原式)=SAB+SBC+SAC−ABC =SA(B+C)+BC(S−A) B+C=2a, S−A=2aだから (原式)=SA×2a+BC×2a=2a(SA+BC) SA=(b+c)2−a2=b2+2bc+c2−a2 BC=a2−(b−c)2=a2−b2+2bc−c2 SA+BC=4bc ゆえに,(原式)=2a×4bc=8abc・・・(答) |
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■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/18.8.8]
問題3の(2)の解説部分について 本文では(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=(-z)2+(-x)2+(-y)2とありますが(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=x2+y2+z2ではないでしょうか。(符合がマイナスになっている。)私の指摘が間違っているようでしたら、なぜそれが間違いなのかの解説もいただけると助かります。
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/18.6.30]
=>[作者]:連絡ありがとう.あなたの指摘は間違っています.その原因は問題を読んでいないからです. x=a−b, y=b−c, z=c−aのときx+y=a−c=−zです.したがって,(x+y)2=(−z)2=z2.以下同様マイナスがあってもなくても2乗すれば正です. 問題3の③解説について
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
から
x3+y3+z3=3xyz=3(a-b)(b-c)(c-a)
までの過程がわかりませんでした
x3+y3+z3=3xyz
となる解説をお願いします。
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/18.6.27]
=>[作者]:連絡ありがとう.問題にx=a−b, y=b−c, z=c−aと書いてあるのだから,x+y+z=0です 問題3(3)の解説の
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
x3+y3+z3=3xyz
なぜこうなるのか解りません。
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/18.4.1]
=>[作者]:連絡ありがとう.問題を読まないと解けません:x=a−b, y=b−c, z=c−a だからx+y+z=0です. 僕は問題を他の少し時間がかかる方法でできたのですが、解説のようなやり方でできるようにならないとだめですか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/18.2.19]
=>[作者]:連絡ありがとう.解き方は自由です.別解を何通りも書けるようになると力が着きます. 【問題2】 (2)ですが、解説がx3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)の公式をつかっていましたが、x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)から
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)((x+y+z)2-3(xy+yz+zx))になる理由がわかりません。教えて下さい。
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/18.2.15]
=>[作者]:連絡ありがとう. このページに出ていますように, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca は,公式並みによく使われるものなので,いつでも使えるようにしておくとよいでしょう. そうすると a2+b2+c2−ab−bc−ca =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca−3(ab+bc+ca) =(a+b+c)2−3(ab+bc+ca) になります 問題2ですが、{(a +b +c)(b +c -a)}{(c +a -b)(a +b -c)}この組み合わせがベストだと予め分かる理由は何でしょうか
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/17.12.04]
=>[作者]:連絡ありがとう.問題2には4題ありますが,そういうことは書いてありません.問題1(2)には書いてありますが,質問の意味が通じません.問題がそうなっていたらその問題を解くのは当然で,ベストもなにもありません.全くこの惑星の住人は,言っていることがわからん. 全然わかんないちんぷんかんぷん
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/17.11.08]
=>[作者]:連絡ありがとう.基本問題を先にやってから,応用問題に進みましょう. 問題4(3)の解説で
x3+y3+z3-3xyz=(a+b+c){4(a2+b2+c2)-4(ab+bc+ca)}
=4(a+b+c)(a2+b2+c2ab+bc+ca)
=4(a3+b3+c3-3abc)
2行目が
=4(a+b+c)((a2+b2+c2-(ab+bc+ca))
かと思います
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/17.10.18]
=>[作者]:連絡ありがとう.下から2行目でコピペに失敗しているようですので訂正しました. 暗算で解けるのが一番良いのですか?
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/17.4.9]
=>[作者]:連絡ありがとう.質問の意味が通じません.そろばんの足し算,掛け算のように,機械的な操作でできることを,イメージの中で行うことを暗算というとすれば,高校数学の中で暗算で行えることは,よく使う公式を覚えていて,それに数値を代入して答を出すような場合が考えられます.しかし,この頁に登場するような問題は,一時的な記憶に置いておいてそれらを足したり引いたりしなければならないので,暗算は無理でしょう. 問題1の(1)の解説部分について
本文では
(a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2
=(a+(b+c))2+(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2
とありますが
(a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2
=(a+(b+c))2-(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2
ではないでしょうか。(1回目の因数分解をした後の式で、2つめの()で括られている部分の符号が違う)
私の指摘が間違っているようでしたら、なぜそれが間違いなのかの解説もいただけると助かります。
■[個別の頁からの質問に対する回答][展開公式の応用問題について/17.4.6]
=>[作者]:連絡ありがとう.まず,かっこの中の符号が変わっても2乗の結果は変わらないことに注意しましょう.
(b−a)2=b2−2ab+a2=(a−b)2
もし,マイナスの符号を前に出して考えるのなら
これと同様にして (b+c−a)2={a−(b+c)}2
(b−a)2={−(a−b)}2=(−1)2(a−b)2=(a−b)2
ところが,あなたの変形では
これと同様にして (b+c−a)2=[−{a−(b+c)}]2=(−1)2{a−(b+c)}2={a−(b+c)}2
(b+c−a)2=−{a−(b+c)}2
としているので,マイナスが2乗されておらず,符号が逆になっています.これは元の簡単な例で言えば
(b−a)2=b2−2ab+a2
に対して −(a−b)2=−(a2−2ab+b2) が等しいと述べていることになり,符号を間違っています. わかりにくい・・・。
=>[作者]:連絡ありがとう.応用問題から始めるのでなく,基本問題から始めるとよい. |
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