展開公式の応用問題

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== 展開公式の応用問題 ==
【問題１】　次の各式において空欄に入る値を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）
（※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください）

(1)
(a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2
=ア(a2+b2+c2) 解説やり直す

0 1 2 3 4 5

aの式として，b, cを定数とみなして展開すると
(a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2
=(a+(b+c))2+(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2
=a2+2(b+c)a+(b+c)2
+a2−2(b+c)a+(b+c)2
+a2−2(b−c)a+(b−c)2
+a2+2(b−c)a+(b−c)2
=4a2+2(b+c)2+2(b−c)2
=4a2+2{b2+2bc+c2+b2−2bc+c2}
=4a2+2{2b2+2c2}=4(a2+b2+c2)

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(2)
(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
=イ(a2b2+b2c2+c2a2)−(a4+b4+c4)
解説やり直す

0 1 2 3 4 5

初めに次のように２つずつ組み合わせて展開します．
{(a+b+c)(b+c−a)}{(c+a−b)(a+b−c)}
={(b+c)2−a2}{a2−(b−c)2}
=−{a2−(b+c)2}{a2−(b−c)2}
次にaの式として展開すると
=−[a4−{(b+c)2+(b−c)2}a2+(b+c)2(b−c)2]
=−[a4−{2b2+2c2}a2+(b2−c2)2]
=−[a4−2a2b2−2a2c2+b4+c4−2b2c2]
=2(a2b2+b2c2+c2a2)−(a4+b4+c4)

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(3)
(a+b+c)3+(b+c−a)3+(c+a−b)3+(a+b−c)3
=2(a3+b3+c3)+ウ(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)−12abc
解説やり直す

0 2 4 6 8 10

aの式として展開すると
(a+b+c)3=a3+3a2(b+c)+3a(b+c)2+(b+c)3
−(a−(b+c))3=−a3+3a2(b+c)−3a(b+c)2+(b+c)3
(a−(b−c))3=a3−3a2(b−c)+3a(b−c)2−(b−c)3
(a+(b−c))3=a3+3a2(b−c)+3a(b−c)2+(b−c)3
これらを加えるとき，赤青緑黒で着色した項は消えるから
2a3+6a2(b+c)+6a(b−c)2+2(b+c)3
=2a3+6a2b+6a2c+6ab2−12abc+6ac2+2(b3+3b2c+3bc2+c3)
=2(a3+b3+c3)+6(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)−12abc

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【問題２】　x+y+z=a, xy+yz+zx=b, xyz=cとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）
（※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください）

(1)

x2+y2+z2=a2−エb 解説やり直す

0 1 2 3 4 5

この問題は是非できてほしい基本問題です
x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)=a2−2b

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(2)

x3+y3+z3=a3−3ab+オc 解説やり直す

0 1 2 3 4 5

次の因数分解公式を利用する場合：
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)((x+y+z)2−3(xy+yz+zx))
=3c+a3−3ab

※３次方程式の解と係数の関係を利用する場合：
t3−at2+bt−c=0の解がx, y, zだから
x3−ax2+bx−c=0…(*1)
y3−ay2+by−c=0…(*2)
z3−az2+bz−c=0…(*3)
(*1)(*2)(*3)を辺々加えると
x3+y3+z3
=a(x2+y2+z2)−b(x+y+z)+3c
=a(a2−2b)−ba+3c=a3−3ab+3c

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(3)

x4+y4+z4=a4−4a2b+2b2+カac
解説やり直す

0 1 2 3 4 5

A2+B2+C2=(A+B+C)2−2(AB+BC+CA)…(*)
にA=x2, B=y2, C=z2を代入すると
x4+y4+z4=(x2+y2+z2)2−2(x2y2+y2z2+z2x2)
右辺の前半には(1)の結果が使える．
右辺の後半には，(*)式においてA=xy, B=yz, C=zxを代入すると
x2y2+y2z2+z2x2
=(xy+yz+zx)2−2(xy·yz+yz·zx+zx·xy)
=(xy+yz+zx)2−2xyz(x+y+z)
以上から
（与式）=(a2−2b)2−2(b2−2ca)
=a4−4a2b+4b2−2b2+4ac
=a4−4a2b+2b2+4ac

３次方程式の解と係数の関係を使う場合は：
t3−at2+bt−c=0の解がx, y, zだから
x3−ax2+bx−c=0…(*1)
y3−ay2+by−c=0…(*2)
z3−az2+bz−c=0…(*3)

x4=ax3−bx2+cx…(**1)
y4=ay3−by2+cy…(**2)
z4=az3−bz2+cz…(**3)
(**1)(**2)(**3)より
x4+y4+z4=a(x3+y3+z3)−b(x2+y2+z2)+c(x+y+z)
(1)(2)の結果を右辺に代入すると
a(a3−3ab+3c)−b(a2−2b)+ca
=a4−3a2b+3ac−a2b+2b2+ac
=a4−4a2b+2b2+4ac

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【問題３】　x=a−b, y=b−c, z=c−aとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）
（※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください）

(1)

x+y+z=キ解説やり直す

0 1 2 3 4 5

これは簡単でしょう
x+y+z=(a−b)+(b−c)+(c−a)=0

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(2)
(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2
=2(a2+b2+c2)−ク(ab+bc+ca) 解説やり直す

0 1 2 3 4 5

(1)の結果を使えば楽になります
(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=(−z)2+(−x)2+(−y)2
=c2−2ca+a2+a2−2ab+b2+b2−2bc+c2
=2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)

→閉じる←

(3)
(x+y)3+(y+z)3+(z+x)3=−ケ(a−b)(b−c)(c−a)
解説やり直す

0 1 2 3 4 5

(1)の結果を使えば楽になります
(x+y)3+(y+z)3+(z+x)3=(−z)3+(−x)3+(−y)3
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
だから
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
x3+y3+z3=3xyz=3(a−b)(b−c)(c−a)
したがって，（与式）=−(x3+y3+z3)=−3(a−b)(b−c)(c−a)

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【問題４】　x=b+c−a, y=c+a−b, z=a+b−cとするとき次の空欄に入る値を下の選択肢から選んでください．（正しいものをクリック）
（※暗算ではできません．各自計算用紙で計算してから選択肢を選んでください）

(1)

x+y+z=コ(a+b+c) 解説やり直す

0 1 2 3 4 5

これは簡単でしょう
x+y+z=(b+c−a)+(c+a−b)+(a+b−c)=a+b+c

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(2)

x2+y2+z2=サ(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)
解説やり直す

0 1 2 3 4 5

単純に展開してもできます
x2+y2+z2
=a2+b2+c2−2ab−2ca+2bc
+a2+b2+c2−2bc−2ab+2ca
+a2+b2+c2−2bc−2ca+2ab
=3(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)

→閉じる←

(3)
x3+y3+z3−3xyz=シ(a3+b3+c3−3abc)
解説やり直す

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(1)(2)の結果を利用するとうまくできます
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)
において
x+y+z=(a+b+c)
x2+y2+z2=3(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ca)
xy+yz+zx
=(c+(b−a))(c−(b−a))
+(a+(b−c))(a−(b−c))
+(b+(a−c))(b−(a−c))
=c2−(b−a)2+a2−(b−c)2+b2−(a−c)2
=a2+b2+c2−{a2+b2−2ab+b2+c2−2bc+c2+a2−2ca}
=2(ab+bc+ca)−(a2+b2+c2)
したがって
x2+y2+z2−xy−yz−zx
=4(a2+b2+c2)−4(ab+bc+ca)
結局
x3+y3+z3−3xyz=(a+b+c){4(a2+b2+c2)−4(ab+bc+ca)}
=4(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
=4(a3+b3+c3−3abc)

→閉じる←

【追加問題】･･･次の各式を展開してください．
（各自計算用紙で計算してから［解説を見る］をクリックして，解説・解答を読んでください．コンピュータによる採点はありません．）

(1)
　(x+2)(x−2)(x2+2x+4)(x2−2x+4)

［解説を見る］

初めに手を組む相手を選ぶ
(x+2)(x2−2x+4)=x3+8
(x−2)(x2+2x+4)=x3−8
（原式）=(x3+8)(x3−8)=x6−64･･･（答）
→解説を隠す←

(2)
　(x+1)3(x−1)3

［解説を見る］

初めにかけてから，後で3乗する
{(x+1)(x−1)}3=(x2−1)3
=x6−3x4+3x2−1･･･（答）
→解説を隠す←

(3)
　(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)(x4−x2y2+y4)

［解説を見る］

初めの２つを先に展開する
(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)={(x2+y2)2−(xy)2
=x4+2x2y2+y4−x2y2
=x4+x2y2+y4
（原式）=(x4+x2y2+y4)(x4−x2y2+y4)
={(x4+y4)2−(x2y2)2
=x8+2x4y4+y8−x4y4
=x8+x4y4+y8･･･（答）
→解説を隠す←

(4)
　(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

［解説を見る］

同じものが登場するような組み合わせを考えます
(x+1)(x+4)=x2+5x+4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6
x2+5x=Aとおくと
（原式）=(A+4)(A+6)=A2+10A+24
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+24
=x4+10x3+25x2+10x2+50x+24
=x4+10x3+35x2+50x+24･･･（答）
→解説を隠す←

(5)
　(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)

［解説を見る］

同じものが登場するような組み合わせを考えます
(x+1)(x+6)=x2+6+7x
(x+2)(x+3)=x2+6+5x
x2+6=Aとおくと
（原式）=(A+7x)(A+5x)=A2+12xA+35x2
=(x2+6)2+12x(x2+6)+35x2
=x4+12x2+36+12x3+72x+35x2
=x4+123+47x2+72x+36･･･（答）
→解説を隠す←

(6)･･･やや難
　(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)+(a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
+(a+b+c)(a+b−c)(−a+b+c)−(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

［解説を見る］

a+b+c=S, −a+b+c=A, a−b+c=B, a+b−c=Cとおく
（原式）=SAB+SBC+SAC−ABC
=SA(B+C)+BC(S−A)
B+C=2a, S−A=2aだから
（原式）=SA×2a+BC×2a=2a(SA+BC)
SA=(b+c)2−a2=b2+2bc+c2−a2
BC=a2−(b−c)2=a2−b2+2bc−c2
SA+BC=4bc
ゆえに，（原式）=2a×4bc=8abc･･･（答）
→解説を隠す←

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.8.8］

問題3の(2)の解説部分について本文では(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=(－z)2+(－x)2+(－y)2とありますが(x+y)2+(y+z)2+(z+x)2=x2+y2+z2ではないでしょうか。(符合がマイナスになっている。)私の指摘が間違っているようでしたら、なぜそれが間違いなのかの解説もいただけると助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの指摘は間違っています．その原因は問題を読んでいないからです．
x=a−b, y=b−c, z=c−aのときx+y=a−c=−zです.したがって，(x+y)²=(−z)²=z²．以下同様マイナスがあってもなくても2乗すれば正です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.6.30］

問題3の③解説について x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx) から x3+y3+z3=3xyz=3(a－b)(b－c)(c－a) までの過程がわかりませんでした x3+y3+z3=3xyz となる解説をお願いします。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題にx=a−b, y=b−c, z=c−aと書いてあるのだから，x+y+z=0です

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.6.27］

問題3（3）の解説のｘ3+ｙ3+ｚ3＝3ｘｙｚ+（ｘ+ｙ+ｚ）（ｘ2+ｙ2+ｚ2-ｘｙ-ｙｚ-ｚｘ）ｘ3+ｙ3+ｚ3＝3ｘｙｚなぜこうなるのか解りません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を読まないと解けません：x=a−b, y=b−c, z=c−a だからx+y+z=0です．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.4.1］

僕は問題を他の少し時間がかかる方法でできたのですが、解説のようなやり方でできるようにならないとだめですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解き方は自由です．別解を何通りも書けるようになると力が着きます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.2.19］

【問題２】　（２）ですが、解説がx3+y3+z3－3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)の公式をつかっていましたが、x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)から x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)((x+y+z)2－3(xy+yz+zx))になる理由がわかりません。教えて下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
このページに出ていますように， (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
は，公式並みによく使われるものなので，いつでも使えるようにしておくとよいでしょう．
そうすると
a2+b2+c2−ab−bc−ca
=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca−3(ab+bc+ca)
=(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)
になります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／18.2.15］

問題2ですが、{(a +b +c)(b +c －a)}{(c +a －b)(a +b －c)}この組み合わせがベストだと予め分かる理由は何でしょうか
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題2には4題ありますが，そういうことは書いてありません．問題1(2)には書いてありますが，質問の意味が通じません．問題がそうなっていたらその問題を解くのは当然で，ベストもなにもありません．全くこの惑星の住人は，言っていることがわからん．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.12.04］

全然わかんないちんぷんかんぷん
＝＞［作者］：連絡ありがとう．基本問題を先にやってから，応用問題に進みましょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.11.08］

問題4（3）の解説で x3+y3+z3－3xyz=(a+b+c){4(a2+b2+c2)－4(ab+bc+ca)} =4(a+b+c)(a2+b2+c2ab+bc+ca) =4(a3+b3+c3－3abc) 2行目が =4(a+b+c)((a2+b2+c2-(ab+bc+ca)) かと思います
＝＞［作者］：連絡ありがとう．下から２行目でコピペに失敗しているようですので訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.10.18］

暗算で解けるのが一番良いのですか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．質問の意味が通じません．そろばんの足し算，掛け算のように，機械的な操作でできることを，イメージの中で行うことを暗算というとすれば，高校数学の中で暗算で行えることは，よく使う公式を覚えていて，それに数値を代入して答を出すような場合が考えられます．しかし，この頁に登場するような問題は，一時的な記憶に置いておいてそれらを足したり引いたりしなければならないので，暗算は無理でしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.4.9］

問題1の(1)の解説部分について本文では (a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2 =(a+(b+c))2+(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2 とありますが (a+b+c)2+(b+c−a)2+(c+a−b)2+(a+b−c)2 =(a+(b+c))2-(a−(b+c))2+(a−(b−c)2+(a+(b−c))2 ではないでしょうか。(1回目の因数分解をした後の式で、2つめの()で括られている部分の符号が違う) 私の指摘が間違っているようでしたら、なぜそれが間違いなのかの解説もいただけると助かります。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．まず，かっこの中の符号が変わっても２乗の結果は変わらないことに注意しましょう．

(b−a)2=b2−2ab+a2=(a−b)2
これと同様にして
(b+c−a)2={a−(b+c)}2

もし，マイナスの符号を前に出して考えるのなら

(b−a)2={−(a−b)}2=(−1)2(a−b)2=(a−b)2
これと同様にして
(b+c−a)2=[−{a−(b+c)}]2=(−1)2{a−(b+c)}2={a−(b+c)}2

ところが，あなたの変形では

(b+c−a)2=−{a−(b+c)}2

としているので，マイナスが2乗されておらず，符号が逆になっています．これは元の簡単な例で言えば

(b−a)2=b2−2ab+a2
に対して
−(a−b)2=−(a2−2ab+b2)
が等しいと述べていることになり，符号を間違っています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式の応用問題について／17.4.6］

わかりにくい・・・。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．応用問題から始めるのでなく，基本問題から始めるとよい．