定積分の漸化式

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列 1次変換

※高校数学Ⅲの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓定積分の基本

↓定積分の置換積分
↓同(2)

↓定積分の部分積分
↓無理関数の定積分

↓三角関数の定積分
↓三角関数（絶対値付き）の定積分
↓limΣと定積分（区分求積法）
↓同(2)入試問題

↓閉曲線で囲まれた図形の面積
↓同(2)媒介変数
↓同(3)

↓定積分の漸化式-現在地

↓体積,表面積
↓曲線の長さ

↓定積分で定義される関数

応用問題

*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

定積分

同(3)

面積

*** 高卒向け ***

広義積分

重積分

== 定積分の漸化式 == ※　不定積分の漸化式の項を先に読むこと

○１

　π−2∫0www sinnx dx=In (n≧0) とおくとき，

In= .

n−1nnnnIn−2 (n≧2)

が成り立つ．

I0=π−2∫0www dx=[nx= .

π2n

I1=π−2∫0wwwsin x dx=[n−cos x= 1

だから，上記の漸化式を用いると
ア）　ｎが偶数のとき

In= .

(n−1)(n−3)(n−5)···3·1n(n−2)(n−4)···4·2nnnnnnnnnnnnnnnnn · .

π2n

イ）　ｎが奇数のとき

In= .

(n−1)(n−3)(n−5)···4·2n(n−2)(n−4)···3·1nnnnnnnnnnnnnnnnn

（参考）
wxMaxima（インストール方法，使用例）を使って，これらの結果を確かめると次のようになる．

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} x d x

を求めるには

入力：integrate(sin(x)^2, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{π}{4}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} x d x

を求めるには

入力：integrate(sin(x)^3, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{2}{3}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} x d x

を求めるには

入力：integrate(sin(x)^4, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{3 π}{16}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} x d x

を求めるには

入力：integrate(sin(x)^5, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{8}{15}

……

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{10} x d x

を求めるには

入力：integrate(sin(x)^10, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{63 π}{512}

（証明）
　不定積分の漸化式の項において

　∫wnsinnx dx=In (n= 2, 3, 4, ···)とおくと

In= − .

sinn−1x_cosxnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnIn−2

となっているが，これを用いて区間0≦x≦.

π2nの定積分を考えると，

sin0=0 , cos.

π2n=0

になるので，

π−2∫0www sinnx dx= [n− .

sinn−1x_cosxnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnπ−2∫0www sinn−2x dx

=(−.

sinn−1.

π2ncos.

π2nnnnnnnnnnnnn)−(−.

sinn−10cos0nnnnnnnnnn)+.

n−1nnnnπ−2∫0wwwsinn−2x dx

=0 +.

n−1nnnnπ−2∫0www sinn−2x dx= .

n−1nnnnπ−2∫0www sinn−2x dx

すなわち，In= .

n−1nnnnIn−2

が成り立つ．

○２

　π−2∫0www cosnx dx=In (n≧0) とおくとき，

In= .

n−1nnnnIn−2 (n≧2)

が成り立つ．

I0=π−2∫0www dx=[nx= .

π2n

I1=π−2∫0wwwcos x dx=[nsin x= 1

だから，上記の漸化式を用いると
ア）　ｎが偶数のとき

In= .

(n−1)(n−3)(n−5)···3·1n(n−2)(n−4)···4·2nnnnnnnnnnnnnnnnn · .

π2n

イ）　ｎが奇数のとき

In= .

(n−1)(n−3)(n−5)···4·2n(n−2)(n−4)···3·1nnnnnnnnnnnnnnnnn

（参考）
wxMaxima を使って，これらの結果を確かめると次のようになる．

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} x d x

を求めるには

入力：integrate(cos(x)^2, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{π}{4}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} x d x

を求めるには

入力：integrate(cos(x)^3, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{2}{3}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{4} x d x

を求めるには

入力：integrate(cos(x)^4, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{3 π}{16}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{5} x d x

を求めるには

入力：integrate(cos(x)^5, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{8}{15}

……

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{10} x d x

を求めるには

入力：integrate(cos(x)^10, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{63 π}{512}

（証明）
　不定積分の漸化式の項において

　∫wncosnx dx=In (n= 2, 3, 4, ···)とおくと

In= .

cosn−1x_sinxnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnIn−2

となっているが，これを用いて区間0≦x≦.

π2nの定積分を考えると，

sin0=0 , cos.

π2n=0

になるので，

π−2∫0www cosnx dx= [n.

cosn−1x_sinxnnnnnnnnnnn+.

n−1nnnnπ−2∫0www cosn−2x dx

=( .

cosn−1.

π2nsin.

π2nnnnnnnnnnnn)−( .

cosn−10sin0nnnnnnnnnnn)+.

n−1nnnnπ−2∫0www cosn−2x dx

=0 +.

n−1nnnnπ−2∫0www cosn−2x dx= .

n−1nnnnπ−2∫0www cosn−2x dx

すなわち，In= .

n−1nnnnIn−2

が成り立つ．

○３

　π−4∫0www tannx dx=In (n≧0) とおくとき，

In= .

1n−1nnn−In−2 (n≧2)

が成り立つ．

（順に次のように求められる）

I0=π−4∫0www dx=[nx= .

π4n

I1=π−4∫0wwwtan x dx=[n−log|cos x|= .

12nlog2

I2=1−I0=1− .

π4n

I3= .

12n−.

12nlog2

（参考）
wxMaxima を使って，これらの結果を確かめると次のようになる．

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} x d x

を求めるには

入力：integrate(tan(x)^2, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

1 - \frac{π}{4}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{3} x d x

を求めるには

入力：integrate(tan(x)^3, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{1}{2} - \frac{\log 2}{2}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{4} x d x

を求めるには

入力：integrate(tan(x)^4, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{π}{4} - \frac{2}{3}

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{5} x d x

を求めるには

入力：integrate(tan(x)^5, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{\log 2}{2} - \frac{1}{4}

……

○

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{10} x d x

を求めるには

入力：integrate(tan(x)^10, x, 0, %pi/2); (Shift+Enter)

結果：

\frac{263}{315} - \frac{π}{4}

（証明）
　不定積分の漸化式の項において

　∫wntannx dx=In (n= 0, 1, 2, ···)とおくと

In= .

tann−1xn−1nnnnnn−In−2 (n= 2, 3, 4, ···)

となっているが，これを用いて区間0≦x≦.

π4nの定積分を考えると，

tan0=0 , tan.

π4n=1

になるので，

π−4∫0www tannx dx= [n.

tann−1xn−1nnnnnn− π−4∫0www tann−2x dx

= .

1n−1nnn−In−2

○４

　e∫1www (log x)n dx=In (n≧0) とおくとき，

In= e−nIn−1 (n≧1)

が成り立つ．

（順に次のように求められる）

I0=e∫1www dx=[nx= e−1

I1=e−I0=e−(e−1)=1

I2=e−2I1=e−2

I3=e−3I2=e−3(e−2)=−2e+6

（参考）
wxMaxima を使って，これらの結果を確かめると次のようになる．

○

\int_{1}^{e} (\log x)^{2} d x

を求めるには

入力：integrate(log(x)^2, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果：

% e - 2

（wxMaxima上では自然対数の底を %e という記号で表す）

○

\int_{1}^{e} (\log x)^{3} d x

を求めるには

入力：integrate(log(x)^3, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果：

6 - 2 % e

○

\int_{1}^{e} (\log x)^{4} d x

を求めるには

入力：integrate(log(x)^4, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果：

9 % e - 24

○

\int_{1}^{e} (\log x)^{5} d x

を求めるには

入力：integrate(log(x)^5, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果：

120 - 44 % e

……

○

\int_{1}^{e} (\log x)^{10} d x

を求めるには

入力：integrate(log(x)^10, x, 1, %e); (Shift+Enter)

結果：

1334961 % e - 3628800

（証明）
　不定積分の漸化式の項において

∫wn (log x)ndx=In (n=0,1,2, ···)とおくと

In= x(log x)n−nIn−1 (n= 1, 2, 3, ···)
となっているが，これを用いて区間1≦x≦eの定積分を考えると，

1(log1)=0 , e log e=e

になるので，

e∫1www (log x)n dx= [nx(log x)n−ne∫1www (log x)n−1 dx

= e−nIn−1

○５

　1∫0www xm(1−x)n dx=In (n≧0) とおくとき，

In= .

nm+n+1nnnnnnnIn−1 (n≧1)

が成り立つ．

（順に次のように求められる）

I0=1∫0wwwxm dx=[n .

1m+1nnnnxm+1 = .

1m+1nnnn

I1= .

1m+2nnnnI0=.

1(m+2)(m+1)nnnnnnnnnn

In= .

nm+n+1nnnnnnIn−1= .

n(n−1)(n−2)···1(m+n+1)(m+n)(m+n−1)···(m+1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

= .

m!_n!(m+n+1)!nnnnnnnn

（参考）
wxMaxima では，m,nが文字のままでは計算できないので，m,nに具体的な数値を使って計算する．
○例えば，

\int_{0}^{1} x^{3} (1 - x)^{4} d x

を求めるには

入力：integrate(x^3*(1-x)^4, x, 0, 1); (Shift+Enter)

結果：

\frac{1}{280}

○漸化式ではなく，次の表で示したような定積分の値そのものが出力される．（茶色で示したものが上記の結果）

mの値 $╲$ nの値	0	1	2	3	4
0	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{5}$
1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{30}$
2	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{30}$	$\frac{1}{60}$	$\frac{1}{105}$
3	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{60}$	$\frac{1}{140}$	$\frac{1}{280}$
4	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{30}$	$\frac{1}{105}$	$\frac{1}{280}$	$\frac{1}{630}$

（証明）

　In=1∫0www xm(1−x)n dxと見る

f=(1−x)n	f’=n(1−x)n−1(−1)
g=.1m+1nnnnxm+1	g’=xm

部分積分法の公式

∫wnfg’ dx=fg−∫wnf’g dx

を適用すると

1∫0www xm(1−x)n dx

=[n (1−x)n.

1m+1nnnxm+1 +1∫0www n(1−x)n−1.

1m+1nnnxm+1 dx

= .

nm+1nnnn1∫0www (1−x)n−1xm+1 dx

= .

nm+1nnnn1∫0www (1−x)n−1{ xm−xm(1−x) } dx

= .

nm+1nnnn1∫0www{ (1−x)n−1xm−(1−x)nxm } dx

In= .

nm+1nnnn(In−1−In )

(m+1)In= n(In−1−In )
(m+n+1)In= nIn−1

In= .

nm+n+1nnnnnnnIn−1

（他の例）

(6)

I_{m, n} = \int_{a}^{b} (x - a)^{m} (b - x)^{n} d x (m, n = 1, 2, 3, . . .)

とおくと

I_{m, n} = \frac{m}{n + 1} I_{m - 1, n + 1}

･･･(6.1)

I_{m, n} = \frac{n}{m + 1} I_{m + 1, n - 1}

･･･(6.2)

（解説）
(6.1)←
次のようにf(x), g(x)をおいて，部分積分

b∫awwwf(x)g’(x) dx=[nf(x)g(x)−b∫awwwf’(x)g(x) dx

を行う

$f (x) = (x - a)^{m}$	$f^{'} (x) = m (x - a)^{m - 1}$
$g (x) = - \frac{(b - x)^{n + 1}}{n + 1}$	$g^{'} (x) = (b - x)^{n}$

I_{m, n} = \int_{a}^{b} (x - a)^{m} (b - x)^{n} d x

= {[- \frac{(x - a)^{m} (b - x)^{n + 1}}{n + 1}]}_{a}^{b} + \int_{a}^{b} \frac{m}{n + 1} (x - a)^{m - 1} (b - x)^{n + 1} d x

= \frac{m}{n + 1} I_{m - 1, n + 1}

(6.2)←
次のようにf(x), g(x)をおいて，部分積分

b∫awwwf(x)g’(x) dx=[nf(x)g(x)−b∫awwwf’(x)g(x) dx

を行う

$f (x) = \frac{(x - a)^{m + 1}}{m + 1}$	$f^{'} (x) = (x - a)^{m}$
$g (x) = (b - x)^{n}$	$g^{'} (x) = - n (b - x)^{n - 1}$

I_{m, n} = \int_{a}^{b} (x - a)^{m} (b - x)^{n} d x

= {[\frac{(x - a)^{m + 1} (b - x)^{n}}{m + 1}]}_{a}^{b} + \int_{a}^{b} \frac{n}{m + 1} (x - a)^{m + 1} (b - x)^{n - 1} d x

= \frac{n}{m + 1} I_{m + 1, n - 1}

　実際に使う場合には,(6.1)(6.2)の左辺を右辺に変形できるのは，m, n=1, 2, 3, ...のときですが，そのときの右辺には，m, n=0 の場合が登場します．
　結局，m=0 または n=0 が登場するまでは変形できるが，m=0 または n=0 が登場したら，もう漸化式は使えないということです．

m $╲$ n	0	1	2	3	4	5	6	7
0								$I_{0, 7}$
1							$I_{1, 6}$	$↗$
2						$I_{2, 5}$	$↗$
3					$I_{3, 4}$	$↗$
4				$I_{4, 3}$	$↗$
5			$I_{5, 2}$	$↙$
6		$I_{6, 1}$	$↙$
7	$I_{7, 0}$	$↙$

　例えば，上の表の

I_{4, 3} = \int_{a}^{b} (x - a)^{4} (b - x)^{3} d x

は，(6.1)の漸化式を適用して，「mを1減，nを1増」させる変形を行うと，赤色で示した値をたどって，

I_{0, 7}

に至る．

この

I_{0, 7}

は，漸化式を使った変形をそれ以上行えないが，積分の値を直接計算できる．

I_{0, 7} = \int_{a}^{b} (x - a)^{0} (b - x)^{7} d x = \int_{a}^{b} (b - x)^{7} d x

= {[- \frac{(b - x)^{8}}{8}]}_{a}^{b} = \frac{(b - a)^{8}}{8}

I_{4, 3} = \frac{4}{4} I_{3, 4}

I_{3, 4} = \frac{3}{5} I_{2, 5}

I_{2, 5} = \frac{2}{6} I_{1, 6}

I_{1, 6} = \frac{1}{7} I_{0, 7}

I_{0, 7} = \frac{(b - a)^{8}}{8}

I_{4, 3} = \frac{4}{4} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{7} \times \frac{(b - a)^{8}}{8} = \frac{4! 3!}{8!} (b - a)^{8}

(6.2)の漸化式を適用して，「mを1増，nを1減」させる変形を行うと，青色で示した値をたどって，

I_{7, 0}

に至る．

この

I_{7, 0}

も，積分の値を直接計算できる．

I_{7, 0} = \int_{a}^{b} (x - a)^{7} (b - x)^{0} d x = \int_{a}^{b} (x - a)^{7} d x

= {[\frac{(x - a)^{8}}{8}]}_{a}^{b} = \frac{(b - a)^{8}}{8}

I_{4, 3} = \frac{3}{5} I_{5, 2}

I_{5, 2} = \frac{2}{6} I_{6, 1}

I_{6, 1} = \frac{1}{7} I_{7, 0}

I_{7, 0} = \frac{(b - a)^{8}}{8}

I_{4, 3} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{6} \times \frac{1}{7} \times \frac{(b - a)^{8}}{8} = \frac{4! 3!}{8!} (b - a)^{8}

※一般に，上記の形で定義された

I_{m, n} = \int_{a}^{b} (x - a)^{m} (b - x)^{n} d x (m, n = 1, 2, 3, . . .)

は，次の式にまとめられます．

I_{m, n} = \frac{m! n!}{(m + n + 1)!} (b - a)^{m + n + 1}

《広義積分》

(#1) 定積分の下端や上端の値が有限で，端の点で関数の値が（正負の）無限になる場合

　例えば，

y = \frac{1}{\sqrt{x}}

は，次の定積分の下端において無限大になるが，右辺の極限値が定まる場合には，その極限値をもって定積分の値とする.

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = lim_{a \to + 0} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = 2

(#2) 定積分の下端または上端が有限でない場合

例えば，次の定積分の上端は無限大であるが，右辺の極限値が定まる場合には，その極限値をもって定積分の値とする.

\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{- x} d x = lim_{b \to \infty} [- e^{- x}]_{0}^{b}

= lim_{b \to \infty} (- e^{- b} + 1) = 1

(7)

I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m} (\log x)^{n} d x (m > - 1)

とおくと

I_{m, n} = - \frac{n}{m + 1} I_{m, n - 1}

（解説）
　この積分は，上記の広義積分の解説において，(#1)の場合になっています．（

x \to + 0

のとき，

\log x \to - \infty

）
次のようにf(x), g(x)をおいて，部分積分

b∫awwwf(x)g’(x) dx=[nf(x)g(x)−b∫awwwf’(x)g(x) dx

を行う

$f (x) = (\log x)^{n}$	$f^{'} (x) = n (\log x)^{n - 1} \cdot \frac{1}{x}$
$g (x) = \frac{x^{m + 1}}{m + 1}$	$g^{'} (x) = x^{m}$

I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m} (\log x)^{n} d x

= {[\frac{x^{m + 1} (\log x)^{n}}{m + 1}]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{n}{m + 1} x^{m} (\log x)^{n - 1} d x

lim_{x \to + 0} x^{α} \log x (α > 0)

とおくと

= lim_{x \to + 0} \frac{\log x}{x^{- α}}

これは,∞/∞の場合のロピタルの定理により

= lim_{x \to + 0} \frac{1}{- α x^{- α}} = lim_{x \to + 0} \frac{x^{α}}{- α} = 0

ゆえに

lim_{x \to + 0} x^{α} \log x = 0

･･･(*1)

m, n > 0

のとき

t = x^{\frac{m}{n}} \log x

とおくと

x \to + 0, t \to + 0, t^{n} \to + 0

だから

lim_{x \to + 0} x^{m} (\log x)^{n} = 0

･･･(*2)

ところで，

{[\frac{x^{m + 1} (\log x)^{n}}{m + 1}]}_{0}^{1}

= 0 - lim_{x \to + 0} \frac{x^{m + 1} (\log x)^{n}}{m + 1} = 0

I_{m, n} = - \frac{n}{m + 1} I_{m, n - 1}

(8)

I_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- x} d x (n = 1, 2, 3, . . .)

とおくと

I_{n} = n I_{n - 1}

（解説）
　この積分は，上記の広義積分の解説において，(#2)の場合になっています．
次のようにf(x), g(x)をおいて，部分積分

b∫awwwf(x)g’(x) dx=[nf(x)g(x)−b∫awwwf’(x)g(x) dx

を行う

$f (x) = x^{n}$	$f^{'} (x) = n x^{n - 1}$
$g (x) = - e^{- x}$	$g^{'} (x) = e^{- x}$

I_{n} = \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- x} d x = - [x^{n} e^{- x}]_{0}^{\infty} + n \int_{0}^{\infty} x^{n - 1} e^{- x} d x

lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{e^{x}}

は,∞/∞の場合のロピタルの定理により

= lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n - 1}}{e^{x}}

この変形を繰り返すと

= lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^{x}} = 0

･･･(*3)

ところで

[x^{n} e^{- x}]_{0}^{\infty} = lim_{x \to \infty} x^{n} e^{- x} - 0

上記の(*3)により，第1項は0になるから

[x^{n} e^{- x}]_{0}^{\infty} = 0

I_{n} = n I_{n - 1}

この変形を繰り返すと

I_{n} = n!

《よく登場する極限》
○1　指数関数

e^{x}

は，どんなn次式に対しても

x \to \infty

の極限において，

\frac{\infty}{\infty}

の争いで勝てる

lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{e^{x}} = 0

○2　対数関数

\log x

は，どんなn次式に対しても

x \to \infty

の極限において，

\frac{\infty}{\infty}

の争いで負ける

lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^{n}} = 0

○3　対数関数

\log x

の

x \to + 0

の極限にある穴は，

x

1枚に対して

0 \times (- \infty)

の争いで負ける

lim_{x \to + 0} (x \times \log x) = 0

\log x

が束になってかかっても，負ける

lim_{x \to + 0} {x \times (\log x)^{n}} = 0

もちろん，

x

が束になっている場合は，当然負ける

lim_{x \to + 0} {x^{m} \times (\log x)^{n}} = 0

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