 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓定積分の基本 ↓定積分の置換積分-現在地 ↓同(2) ↓定積分の部分積分 ↓無理関数の定積分 ↓三角関数の定積分 ↓三角関数（絶対値付き）の定積分 ↓limΣと定積分（区分求積法） ↓同(2)入試問題 ↓閉曲線で囲まれた図形の面積 ↓同(2)媒介変数 ↓同(3) ↓定積分の漸化式 ↓体積,表面積 ↓曲線の長さ ↓定積分で定義される関数 応用問題 |
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○ ある定積分がそのままの形では計算しにくいときに、計算しやすい形に変数を変換するのが定積分の置換積分 ○ 定積分の置換積分の公式・その証明は右の通りであるが、この公式を丸暗記しても問題が解けるとは限らない。 実際に問題を解くためには、次のように(1) 定積分の区間, (2) 被積分関数, (3) 微分 の３つの部分に分けて、各々等しいものに置き換えるとよい。
(1) ある変換によって
(2) x=g(t)の変数変換によって 被積分関数f(x)をtで表す：f(g(t)) (3) 微分の部分dxをdtで表す：g’(t)dt (1)(2)(3)により、b∫af(x)dx=β∫αf(g(t))g’(t)dtとする。 |
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【定積分の置換積分の公式】
≪証明≫x=g(t) , a=g(α), b=g(β)のとき b∫af(x)dx=β∫αf(g(t))g’(t)dt f(x)の不定積分の１つをF(x)とするとき （左辺）=F(b)−F(a) 右辺については、まず合成関数微分法により  ddt F(g(t))=F’(g(t))g’(t)=f(g(t))g’(t)すなわち、∫f(g(t))g’(t)dt=F(g(t)+Cに注意すると （右辺）=β∫αf(g(t))g’(t)dt=[F(g(t))=F(g(β))−F(g(α)) =F(b)−F(a) これらは等しい。 ※ 多くの場合この公式を用いて左辺→右辺とするが、右辺→左辺の形も使う。（特に意識しなくてもできる。下記の例5参照） |
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例1
1∫0(2x+1)3dx
(2x+1)3を展開すれば計算できるが、３乗を展開するのは大変→2x+1=tとおけばt3になって展開しなくて済む。
2x+1=tとおくと
dtdx =2 → dx= dt2dt2 =[t48= 818 − 18 = 10※一般に、被積分関数がf(ax+b)の形になっているとき、ax+b=tとおくと簡単になる。 |
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例2
1∫0x
√x+1dxx+1=tまたは
≪解１≫√x+1=tとおくとできる。√x+1=tの方ができる範囲が広い。
x+1=tとおくと
dtdx =1 → dx=dt√x+1=2∫1(t−1)t12dt =2∫1(t32−t12)dt=[ 25t52−23t32=( 25 4√2− 23 2√2 )−( 25 − 23 )= 415 (√2+1)≪解２≫ √x+1=tとおくとx+1=t2 , x=t2−1
dxdt =2t → dx=2tdt√x+1dx=√2∫1(t2−1)t·2tdt =√2∫1(2t4−2t2)dt=[ 25t5−23t3=( 25 4√2− 23 2√2 )−( 25 − 23 )= 415 (√2+1) |
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例3
1∫0
√1−x2dx√1−x2の根号をはずすには、1−sin2x=cos2xを利用して √1−sin2x=√cos2x=|cosx|または √1−cos2x=√sin2x=|sinx|と変形するのが定石。積分の区間によって √()2の符号を決める。
√1−x2=√1−sin2t=√cos2t
dxdt =cos t → dx=cost dt0≦t≦ π2においてはcos t≧0だから√cos2t=cos t
1∫0 √1−x2dx=π−2∫0cost cost dt=π−2∫0cos2tdt=π−2∫0 1+cos2t2 dt=[t2 + sin2t4=( π4 + 0)−(0+0)= π4 |
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例4
2∫0
x=2sin tとおくと、
dx√4−x2
√4−x2=√4−4sin2t=2√cos2t0≦t≦ π2においてはcos t≧0だから2 √cos2t=2cos t
dxdt =2cos t → dx=2cost dt
2∫0 dx√4−x2=π−2∫012cost 2cost dt=π−2∫0dt=[t= π2※この問題において、x：0→2のとき、t：0→ π2でなければならないということではない。
 π2とするのが最も簡単でよいが、1）t：π→π2でもよく、2）t：−π→π2でもよい。1)のときの計算は次のようになる： x=2sin tとおくと、
√4−x2=√4−4sin2t=2√cos2tπ2 ≦t≦πにおいてはcos t≦0だから2 √cos2t=−2cos t
dxdt =2cos t → dx=2cost dt
2∫0 dx√4−x2=−π−2∫π12cost2cost dt=−π−2∫πdt=−[t=−( π2 −π)= π22)のように単調増加（減少）でなく増減のある区間を用いて変換するのは不気味であるが計算は一致する。なお。左の例3についても同様にtの区間には他の取り方もある。
例5
1∫0
dxx2+1
三角関数の公式
tan2θ+1=
x=tan tとおくと、
1cos2θを利用すると1tan2θ+1 =cos2θになる。
dxdt = 1cos2t → dx= dtcos2tdxx2+1=
π−4∫0cos2t dtcos2t =[t = π4 |
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例6
1∫0x(x2+1)2dx
一般に∫f(g(x))g’(x)dx → g(x)=tとおくと∫f(t)dtになる
x2+1=tとおくと、
dtdx =2x → dx= dt2x（2x dx=dtという書き方を好む人もある。） dt2x = 12[t33 = 12 ( 83 − 13 )= 76 |
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例7
π−2∫0
cosx1+sinx dx
一般に∫
1+sinx=tとおくと、
f’(x)f(x) dx → f(x)=tとおくと∫ 1t dt=log|t|+Cになる。【特急券あり】
dtdx =cosx → dx= dtcosx（cosx dx=dtという書き方を好む人もある。） cosx1+sinx dx=2∫1 cosxt dtcosx = [log|t|=log2 |
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■問題 次の定積分を計算せよ。 （初めに問題を選び、続いて下の選択肢から解答を選べ。間違ったときは問題を選び直すことから始めること。暗算では無理なので計算用紙が必要） (1)0∫−1(x+2)4dx help (2)0∫−1x √x+2dx
help(3)3∫−3 √9−x2dx
help(4)3−2∫0 dx√9−x2
help(5)2∫0 dxx2+4
help(6)1∫0 exex+1 dx
help |
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［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.8.18］
例3がわかりやすくて、非常によかった
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.6.11］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． 証明のF(g(t)+Cに注意するとのところとその上の式の ↑の)が足りない気がします
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.6.9］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．かっこが抜けていましたので訂正しました． いつも参考にさせて頂いております。証明に「（左辺）=F(b)−F(b)」とありますが、（左辺）=F(b)−F(a)」の誤植だと思います。参考になれば幸いです。読者Ｎより。
■［個別の頁からの質問に対する回答］[定積分の置換積分について／17.6.6］
＝＞［作者］：連絡ありがとう． 例4で∫dx/√(4-x^2)dx
と書かれているがdx多くね？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．dxが多かったので訂正しました． |
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定積分