*** 数学�V（三角,無理,指数,対数関数を含む） ***
定積分の基本 定積分の置換積分 同(2)

定積分の部分積分 無理関数の定積分

三角関数（絶対値付き）の定積分

limΣと定積分の関係

閉曲線で囲まれた図形の面積 同(2)媒介変数

同(3) 定積分の漸化式 曲線の長さ

*** 高卒向け ***
回転体の体積 広義積分

重積分 簡単な重積分の計算

積分領域が変数に依存する場合の重積分

積分順序の変更 変数変換：ヤコビ行列式

【解説】　原始関数の１つをF(x)とすると
左辺＝F(b) - F(a)
右辺＝F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)
これらは等しい。

(1) を計算しなさい。

(2)　を計算しなさい。

(1) x<2のとき，|x−2|=−x+2
(2) x≧2のとき，|x−2|=x−2だから
\( \displaystyle \int_{-2}^3\mid x-2\mid dx=\int_{-2}^2(-x+2)dx+\int_{2}^3(x-2)dx \)
\( \displaystyle =\left[-\frac{x^2}{2+2x} \right]_{-2}^2+\left[\frac{x^2}{2}-2x\right]_2^3=2+ 6-\frac{3}{2}+ 2=\frac{17}{2} \) (1) x<−2のとき，|x+2|=−x−2
(2) x≧−2のとき，|x+2|=x+2だから
\( \displaystyle \int_{-2}^3\mid x+ 2\mid dx=\int_{-2}^3(x+ 2)dx \)←ラッキー！一発で！
\( \displaystyle =\left[\frac{x^2}{2}+ 2x\right]_{-2}^3=\frac{9}{3}+6-(2-4)=\frac{25}{2} \) (1) x<−1のとき，|x+1|=−x−1
(2) x≧−1のとき，|x+1|=x+1だから
\( \displaystyle \int_{-2}^3\mid x+ 1\mid dx=\int_{-2}^{-1}(-x-1)dx+\int_{-1}^3(x+ 1)dx \)
\( \displaystyle =\left[-\frac{x^2}{2}-x\right]_{-2}^{-1}+\left[\frac{x^2}{2}+ x\right]_{-1}^3=\frac{1}{2}-0+\frac{15}{2}+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} \) (1) x<1のとき，|x−1|=−x+1
(2) x≧1のとき，|x−1|=x−1だから
\( \displaystyle \int_{-2}^3\mid x-1\mid dx=\int_{-2}^1(-x+ 1)dx+\int_{1}^3(x-1)dx \)
\( \displaystyle =\left[-\frac{x^2}{2}+ x\right]_{-2}^1+\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^3=\frac{1}{2}+ 4+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} \) (1) x<0のとき，|x|=−x
(2) x≧0のとき，|x|=xだから
\( \displaystyle \int_{-2}^3(\mid x\mid -1)dx=\int_{-2}^0(-x-1)dx+\int_{0}^3(x-1)dx \)
\( \displaystyle =\left[-\frac{x^2}{2}-x\right]_{-2}^0+\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^3=\frac{3}{2} \)

【助変数を含むとき】
\( \displaystyle f(x)=\int_{a}^x\mid t-1\mid dt \)…(1)
の積分記号の中では，xは定数，tが変数
積分記号の外では，xが変数，tは存在しない．
\( \displaystyle f(x)=\int_{a}^b\mid t-x\mid dt \)…(2)
の積分記号の中では，xは定数，tが変数
積分記号の外では，xが変数，tは存在しない．

tで積分するときは，xは単なる定数として扱い，できあがったxの式をxの関数とします．

【例】
\( \displaystyle f(x)=\int_{0}^x\mid t-1\mid dt \)
をxの簡単な式で表してください．

ここでは0≦xの図で説明したが，実際には積分区間の上端が下端よりも小さくても構わない（上から下を引くだけの計算だから）から，x<0でもよい．

i) 0≦t<1のとき|t−1|=−t+1
ii) 1≦t≦xのとき|t−1|=t−1

tで積分するときは，xは単なる定数として扱い，できあがったxの式をxの関数とする事情は(1)と同じですが，xが積分区間の中にある場合には，場合分けして積分することになります．

【例】
\( \displaystyle f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt \)
をxの簡単な式で表してください．

xは定数だから値が固定されている．
xに先に手を出させてから，tは「後出しジャンケン」をする

i) 0≦t<xのとき，t<xだから|t−x|=−t+x
ii) x≦t≦1のとき，t≧xだから|t−x|=t−x

t, xは実数とする．関数f(t)を\( f(t)=2\hspace{2px}\mid\hspace{2px}t-1\hspace{2px}\mid +t+ 1 \)
と定義し，\( \displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt \)とおく．
(2) 関数F(x)を求めよ．
(1)(3)(4) 略

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t<1のとき|t−1|=−t+1
t≧1のとき|t−1|=t−1
だから
(ア) x<1のとき積分区間0≦t≦xに入るどのtの値に対しても
|t−1|=−t+1
となるから
\( \displaystyle F(x)=\int_{0}^x\left(2\mid t-1\mid + t+ 1\right)dt=\int_{0}^x(-t+3)dt \)
\( \displaystyle =\left[-\frac{t^2}{2}+ 3t\right]_0^x=-\frac{x^2}{2}+ 3x \)
(イ) 1≦xのとき積分区間0≦t≦xは，次の2つの区間に分けられる．
\( \displaystyle F(x)\!=\!\int_{0}^1(\!-\!2t\!+\! 2\!+\! t\!+\! 1)dt\!+\!\int_{1}^x(2t\!-\!2\!+\! t\!+\! 1)dt \)
\( \displaystyle =\int_{0}^1(-t+ 3)dt+\int_{1}^x(3t-1)dt \)
\( \displaystyle =\left[-\frac{t^2}{2}+ 3t\right]_0^1+\left[\frac{3t^2}{2}-t\right]_1^x \)
\( \displaystyle =-\frac{1}{2}+ 3-0+ (\frac{3x^2}{2}-x)-(\frac{3}{2}-1) \)
\( \displaystyle =\frac{3x^2}{2}-x+ 2 \)

　実数xに対して，関数f(x)を\( \displaystyle f(x)=\int_0^2\mid\hspace{2px}t-x\hspace{2px}\mid dt \)
とおく．次の問いに答えよ．
(1)　関数f(x)を求め，そのグラフをかけ．
(2)(3) 略

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(ア) x<0のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるどのtの値もt−x>0を満たすから
\( \displaystyle f(x)=\int_{0}^2\mid t-x\mid dt=\int_{0}^2(t-x)dt \)
\( \displaystyle =\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_0^2=(2-2x)-(0-0)=2-2x \)
(イ) 0≦x<2のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるtの値のうち

\( \displaystyle f(x)\!=\!\int_{0}^2\!\mid\! t\!-\!x\mid\!dt\!=\!\int_{0}^x\!(\!-\!t+\!x)dt+\int_x^2(t\!-\!x)dt \)
\( \displaystyle =\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^x+\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_x^2 \)
\( \displaystyle =-\frac{x^2}{2}+ x^2-0+(2-2x)-(\frac{x^2}{2}-x^2) \)
\( =x^2-2x+2 \)
(ウ) x≧2のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるどのtの値もt−x≦0を満たすから
\( \displaystyle f(x)=\int_{0}^2\mid t-x\mid dt=\int_{0}^2(-t+ x)dt \)
\( \displaystyle =\left[-\frac{t^2}{2}+xt\right]_0^2=2x-2 \)
グラフは右図

短時間でこなせるように、難易度の低い問題から中程度の問題に遷移する形で、問題数を増やしてほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューが易しいものから難しいものへの順に並んでいますので,活用してください．