← PC用は別頁

== 閉曲線で囲まれた図形の面積３ ==…（媒介変数表示）
【例１】
　a>0, b>0, 0≦t≦2πのとき，x=acost , y=bsintで囲まれた図形の面積を求めてください．
（解答）
［曲線の概形を描く］
(1) tの変化に対応したx, yの増減を調べる．
=−asint, =bcostだから
t 0

π

2π
0 − − − 0 + + + 0
+ + 0 − − − 0 + +
(x,y) (a,0)
(0,b)
(−a,0)
(0,−b)
(a,0)
向き
次のような図形になります．

(2) ［ y dxの形で面積を表す］
青で示した部分の面積は
.y1 dx
ピンクで示した部分の面積は
.(−y2)dx
求める図形の面積は
S=y1 dx−(−y2 )dx

(3) ［ 置換積分により変数をtに直して計算する］
（被積分関数）　：　y → bsint
（積分変数）　：　dx=−asintdt
（積分区間）　：　
（上）：y1について
x −a → a
t π → 0
（下）：y2について
x −a → a
t π → 2π

S=bsint(−asint)dt−bsint(−asint)dt
=−absin2dt+absin2dt
=absin2dt+absin2dt
=absin2dt
=ab.dt
=ab−=πab
a=b(=r)のときは，円になり,S=πr2となります．
（参考１）
　上の方程式は，楕円
+=1
の媒介変数表示になっています．

（参考２）
図のような図形の面積は，通常
S={f(x)−g(x) }dx
によって計算しますが，この問題では無理です．
　というのは，この問題では（上）と（下）は関数形によって区別されるのではなく，（上）（下）の関数形は同じになるため，単純に引き算をすれば消えてなくなってしまいます．
　（上）であるか（下）であるかはtの積分区間によって区別されています．だから，上図のようにx軸とで囲まれる図形の面積を２つに分けて計算します．

【例２】
　a>0のとき，x=a(t−sint) , y=a(1−cost)とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください．
（解答）
［曲線の概形を描く］
(1) tの変化に対応したx, yの増減を調べる．
=a(1−cost)≧0, =asintだから
t 0
π
2π
0 + + + 0
+ + 0 − −
(x,y) (0,0)
(πa,2a)
(2πa,0)
向き
図（参考３）のような図形になります．

(2) ［ y dxの形で面積を表す］
S=y dx

(3) ［ 置換積分により変数をtに直して計算する］
（被積分関数）　：　y → a(1−cost)
（積分変数）　：　dx=a(1−cost)dt
（積分区間）　：　
x 0 → 2πa
t 0 → 2π
S=a(1−cost)·a(1−cost)dt
=a2(1−2cost+cos2t)dt
=a2(1−2cost+)dt
=a2t−2sint+=3πa2
　面積が円のちょうど３倍S=3·πa2になるのは，興味深いことです．
（参考３）
　上のグラフはサイクロイドと呼ばれ，円が直線上を滑らずに回転するときに，円周上の１点が描く軌跡となっています．

【問題１】
次の途中計算を参考にしてx=sint , y=sin2t(0≦t≦π)で囲まれる図形の面積を求めてください
（途中計算）
=cost , =0 ⇔ t=
=2cos2t , =0 ⇔ t=,
t 0



π
+ + + + 0 − − − −
+ + 0 − − − 0 + +
(x , y) (0,0)
(,1)
(1,0)
(,−1)
(0,0)
向き

y=0 ⇔ t=0,,π
グラフは次のようになる．
S=y1 dx+(−y2 )dx
=sin2tcost dt+(−sin2tcost)dt
=sin2tcost dt+sin2tcost dt
=sin2tcost dt



【問題２】
次の途中計算を参考にしてx=sin2t , y=sin3t(0≦t≦)で囲まれる図形の面積を求めてください
（※暗算ではできません．計算用紙が必要です．）
（途中計算）
=2cos2t , =0 ⇔ 2t= ⇔ t=
=3cos3t , =0 ⇔ 3t= ⇔ t=
y=0 ⇔ 3t=0,π ⇔ t=0,π
t 0



+ + + 0 −

+ 0 − − −
(x , y) (0,0)
(,1)
(1,)
(,0)
向き

グラフは次のようになる．



【問題３】x=t2 , y=t3−3tで囲まれる図形の面積を求めてください
（※暗算ではできません．計算用紙が必要です．速い人でも10分はかかるでしょう．）



［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る