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【例1】
(解答)a>0, b>0, 0≦t≦2πのとき,x=acost , y=bsintで囲まれた図形の面積を求めてください. [曲線の概形を描く] (1) tの変化に対応したx, yの増減を調べる. ![]() ![]()
![]() (2) [ x2∫x1 y dxの形で面積を表す] 青で示した部分の面積は a∫−ay1 dx ピンクで示した部分の面積は a∫−a(−y2)dx 求める図形の面積は S=a∫−ay1 dx−a∫−a(−y2 )dx (3) [ 置換積分により変数をtに直して計算する] (被積分関数) : y → bsint (積分変数) : dx=−asintdt (積分区間) :
S=0∫π bsint(−asint)dt−2π∫π bsint(−asint)dt =−ab0∫πsin2dt+ab2π∫πsin2dt =abπ∫0sin2dt+ab2π∫πsin2dt =ab2π∫0sin2dt =ab2π∫0 ![]() ![]() ![]()
a=b(=r)のときは,円になり,S=πr2となります.
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(参考1)
上の方程式は,楕円 ![]() ![]()
(参考2)
![]() というのは,この問題では(上)と(下)は関数形によって区別されるのではなく,(上)(下)の関数形は同じになるため,単純に引き算をすれば消えてなくなってしまいます. (上)であるか(下)であるかはtの積分区間によって区別されています.だから,上図のようにx軸とで囲まれる図形の面積を2つに分けて計算します. |
【例2】
(解答)a>0のとき,x=a(t−sint) , y=a(1−cost)とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください. [曲線の概形を描く] (1) tの変化に対応したx, yの増減を調べる. ![]() ![]()
(2) [ x2∫x1 y dxの形で面積を表す] S=2πa∫0y dx (3) [ 置換積分により変数をtに直して計算する] (被積分関数) : y → a(1−cost) (積分変数) : dx=a(1−cost)dt (積分区間) :
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(参考3)
上のグラフはサイクロイドと呼ばれ,円が直線上を滑らずに回転するときに,円周上の1点が描く軌跡となっています. ![]() |
【問題1】
解説次の途中計算を参考にしてx=sint , y=sin2t(0≦t≦π)で囲まれる図形の面積を求めてください (途中計算) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() グラフは次のようになる. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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三角関数の公式を使って,積を和に直してから積分します.
S=π∫0sin2tcost dt
=![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
【問題2】
解説次の途中計算を参考にしてx=sin2t , y=sin3t(0≦t≦ ![]() (※暗算ではできません.計算用紙が必要です.) (途中計算) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() y=0 ⇔ 3t=0,π ⇔ t=0,π ![]()
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S=1∫0y1 dx−1∫![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
【問題3】x=t2 , y=t3−3tで囲まれる図形の面積を求めてください
解説(※暗算ではできません.計算用紙が必要です.速い人でも10分はかかるでしょう.) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() y=0 ⇔ t(t2−3)=0 ⇔ t=0,± ![]()
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グラフは次のようになる.
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