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※高校数学Ⅲの「定積分」について,このサイトには次の教材があります.
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定積分の基本
定積分の置換積分
同(2)
定積分の部分積分
無理関数の定積分
三角関数の定積分
三角関数(絶対値付き)の定積分
limΣと定積分(区分求積法)
同(2)入試問題
閉曲線で囲まれた図形の面積
同(2)媒介変数
同(3)-現在地
定積分の漸化式
体積,表面積
曲線の長さ
定積分で定義される関数
応用問題

== 閉曲線で囲まれた図形の面積3 ==…(媒介変数表示)
【例1】
 a>0, b>0, 0≦t≦2πのとき,x=acost , y=bsintで囲まれた図形の面積を求めてください.
(解答)
[曲線の概形を描く]
(1) tの変化に対応したx, yの増減を調べる.
.dxdtnn=−asint, .dydtnn=bcostだから
t 0
.π2n
π
.2nn
.dxdtnn 0 0 + + + 0
.dydtnn + + 0 0 + +
(x,y) (a,0)
(0,b)
(−a,0)
(0,−b)
(a,0)
向き
次のような図形になります.

(2) [ x2x1wwwy dxの形で面積を表す]
青で示した部分の面積は
.a−awwwy1 dx
ピンクで示した部分の面積は
.a−awww(−y2)dx
求める図形の面積は
S=a−awwwy1 dx−a−awww(−y2 )dx

(3) [ 置換積分により変数をtに直して計算する]
(被積分関数) : ybsint
(積分変数) : dx=−asintdt
(積分区間) : 
(上):y1について
x −a a
t π 0
(下):y2について
x −a a
t π

S=0πwwwbsint(−asint)dt−πwwwbsint(−asint)dt
=−ab0πwwwsin2dt+abπwwwsin2dt
=abπ0wwwsin2dt+abπwwwsin2dt
=ab0wwwsin2dt
=ab0www..1−cos2t2nnnnnnndt
=ab[n.t2n.sin2t4nnnnn=πab
a=b(=r)のときは,円になり,S=πr2となります.
(参考1)
 上の方程式は,楕円
.x2a2nn+.y2b2nn=1
の媒介変数表示になっています.

(参考2)
図のような図形の面積は,通常
S=x2x1www{f(x)−g(x) }dx
によって計算しますが,この問題では無理です.
 というのは,この問題では(上)と(下)は関数形によって区別されるのではなく,(上)(下)の関数形は同じになるため,単純に引き算をすれば消えてなくなってしまいます.
 (上)であるか(下)であるかはtの積分区間によって区別されています.だから,上図のようにx軸とで囲まれる図形の面積を2つに分けて計算します.

【例2】
 a>0のとき,x=a(t−sint) , y=a(1−cost)x軸とで囲まれた図形の面積を求めてください.
(解答)
[曲線の概形を描く]
(1) tの変化に対応したx, yの増減を調べる.
.dxdtnn=a(1−cost)≧0, .dydtnn=asintだから
t 0
π
.dxdtnn 0 + + + 0
.dydtnn + + 0
(x,y) (0,0)
(πa,2a)
(2πa,0)
向き
図(参考3)のような図形になります.

(2) [ x2x1wwwy dxの形で面積を表す]
S=2πa0wwwy dx

(3) [ 置換積分により変数をtに直して計算する]
(被積分関数) : ya(1−cost)
(積分変数) : dx=a(1−cost)dt
(積分区間) : 
x 0 2πa
t 0
S=0wwwa(1−cost)·a(1−cost)dt
=a20www(1−2cost+cos2t)dt
=a20www(1−2cost+.1+cos2t2nnnnnnn)dt
=a2[n.32nt−2sint+.sin2t4nnnnn=3πa2
 面積が円のちょうど3倍S=3·πa2になるのは,興味深いことです.
(参考3)
 上のグラフはサイクロイドと呼ばれ,円が直線上を滑らずに回転するときに,円周上の1点が描く軌跡となっています.

【問題1】
次の途中計算を参考にしてx=sint , y=sin2t(0≦t≦π)で囲まれる図形の面積を求めてください
(途中計算)
.dxdtnn=cost , .dxdtnn=0t=.π2n
.dydtnn=2cos2t , .dydtnn=0t=.π4n,.4nn
t 0
.π4n
.π2n
.4nn
π
.dxdtnn + + + + 0
.dydtnn + + 0 0 + +
(x , y) (0,0)
(..2√ni2nn,1)
(1,0)
(..2√ni2nn,−1)
(0,0)
向き

y=0t=0,.π2n
グラフは次のようになる.
S=10wwwy1 dx+10www(−y2 )dx
=π20wwwsin2tcost dt+π2πwww(−sin2tcost)dt
=π20wwwsin2tcost dt+ππ2wwwsin2tcost dt
=π0wwwsin2tcost dt


.32n .43n .54n .65n

【問題2】
次の途中計算を参考にしてx=sin2t , y=sin3t(0≦t≦.π3n)で囲まれる図形の面積を求めてください
(※暗算ではできません.計算用紙が必要です.)
(途中計算)
.dxdtnn=2cos2t , .dxdtnn=02t=.π2nt=.π4n
.dydtnn=3cos3t , .dydtnn=03t=.π2nt=.π6n
y=03t=0,πt=0,π.π3n
t 0
.π6n
.π4n
.π3n
.dxdtnn
+ + + 0
.dydtnn
+ 0
(x , y) (0,0)
(..3√ni2nnn,1)
(1,..2√ni2nnn)
(..3√ni2nnn,0)
向き

グラフは次のようになる.


.23n .34n .35n .45n

【問題3】x=t2 , y=t3−3tで囲まれる図形の面積を求めてください
(※暗算ではできません.計算用紙が必要です.速い人でも10分はかかるでしょう.)


.83n.3√ni .103nn.3√ni .125nn.3√ni .245nn.3√ni

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