 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓定積分の基本 ↓定積分の置換積分 ↓同(2) ↓定積分の部分積分 ↓無理関数の定積分 ↓三角関数の定積分 ↓三角関数（絶対値付き）の定積分 ↓limΣと定積分（区分求積法） ↓同(2)入試問題 ↓閉曲線で囲まれた図形の面積 ↓同(2)媒介変数 ↓同(3)-現在地 ↓定積分の漸化式 ↓体積,表面積 ↓曲線の長さ ↓定積分で定義される関数 応用問題 |
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【例１】
（解答）a>0, b>0, 0≦t≦2πのとき，x=acost , y=bsintで囲まれた図形の面積を求めてください． ［曲線の概形を描く］ (1) tの変化に対応したx, yの増減を調べる．  dxdt=−asint, dydt=bcostだから
 (2) ［ x2∫x1y dxの形で面積を表す］ 青で示した部分の面積は a∫−ay1 dx ピンクで示した部分の面積は a∫−a(−y2)dx 求める図形の面積は S=a∫−ay1 dx−a∫−a(−y2 )dx (3) ［ 置換積分により変数をtに直して計算する］ （被積分関数） ： y → bsint （積分変数） ： dx=−asintdt （積分区間） ：
S=0∫πbsint(−asint)dt−2π∫πbsint(−asint)dt =−ab0∫πsin2dt+ab2π∫πsin2dt =abπ∫0sin2dt+ab2π∫πsin2dt =ab2π∫0sin2dt =ab2π∫0 1−cos2t2dt
=ab[t2−sin2t4=πab
a=b(=r)のときは，円になり,S=πr2となります．
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（参考１）
上の方程式は，楕円 x2a2+y2b2=1
の媒介変数表示になっています．
（参考２）
 というのは，この問題では（上）と（下）は関数形によって区別されるのではなく，（上）（下）の関数形は同じになるため，単純に引き算をすれば消えてなくなってしまいます． （上）であるか（下）であるかはtの積分区間によって区別されています．だから，上図のようにx軸とで囲まれる図形の面積を２つに分けて計算します． |
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【例２】
（解答）a>0のとき，x=a(t−sint) , y=a(1−cost)とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください． ［曲線の概形を描く］ (1) tの変化に対応したx, yの増減を調べる． dxdt=a(1−cost)≧0, dydt=asintだから
(2) ［ x2∫x1y dxの形で面積を表す］ S=2πa∫0y dx (3) ［ 置換積分により変数をtに直して計算する］ （被積分関数） ： y → a(1−cost) （積分変数） ： dx=a(1−cost)dt （積分区間） ：
1+cos2t2)dt
=a2[32t−2sint+sin2t4=3πa2
面積が円のちょうど３倍S=3·πa2になるのは，興味深いことです．
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（参考３）
上のグラフはサイクロイドと呼ばれ，円が直線上を滑らずに回転するときに，円周上の１点が描く軌跡となっています．  |
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【問題１】
解説次の途中計算を参考にしてx=sint , y=sin2t(0≦t≦π)で囲まれる図形の面積を求めてください （途中計算） dxdt=cost , dxdt=0 ⇔ t=π2dydt=2cos2t , dydt=0 ⇔ t=π4,3π4
π2,πグラフは次のようになる．   32
43
54
65
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三角関数の公式を使って，積を和に直してから積分します．
S=π∫0sin2tcost dt
=12π∫0{ sin3t+sint }dt
=12[−cos3t3−cost
=12{ (13+1)−(−13−1) }=43
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【問題２】
解説次の途中計算を参考にしてx=sin2t , y=sin3t(0≦t≦ π3)で囲まれる図形の面積を求めてください（※暗算ではできません．計算用紙が必要です．） （途中計算） dxdt=2cos2t , dxdt=0 ⇔ 2t=π2 ⇔ t=π4dydt=3cos3t , dydt=0 ⇔ 3t=π2 ⇔ t=π6y=0 ⇔ 3t=0,π ⇔ t=0,π π3
 23
34
35
45
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S=1∫0y1 dx−1∫√3−2y2 dx
=π−4∫0sin3t·2cos2t dt−π−4∫π−3sin3t·2cos2t dt
=π−4∫0sin3t·2cos2t dt+π−3∫π−4sin3t·2cos2t dt
=π−3∫0sin3t·2cos2t dt
三角関数の公式を使って，積を和に直してから積分します．
S=π−3∫0(sin5t+sint)dt
=[−cos5t5−cost
={ (−110−12)−(−15−1) }=610=35
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【問題３】x=t2 , y=t3−3tで囲まれる図形の面積を求めてください
解説（※暗算ではできません．計算用紙が必要です．速い人でも10分はかかるでしょう．） 83√3
103√3
125√3
245√3
dxdt=2t , dxdt=0 ⇔ t=0dydt=3t2−3t , dydt=0 ⇔ t=±1y=0 ⇔ t(t2−3)=0 ⇔ t=0,± √3
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グラフは次のようになる．
 √3∫0(t3−3t)2t dt+√3∫0(−t3+3t)2t dt
=−√3∫0(t3−3t)2t dt+0∫√3(t3−3t)2t dt
=−√3∫√3(t3−3t)2t dt
=2−√3∫√3(t4−3t2)dt
被積分関数は偶関数だから，右半分(0≦t≦√3)を計算して2倍すればよい
=40∫√3(t4−3t2)dt
=4[t55−t3=4{ 0−(9√35−3√3) }=245√3
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