← PC用は別頁

== 定積分の置換積分法 ==

◇解説◇
　定積分の置換積分では，

(1)　被積分関数

f(x)dx

(2)　積分変数

f(x)dx

(3)　積分区間

f(x)dx

の赤で示した３箇所を書き換えます。
例１

(2x+1)3dx
2x+1=u とおくと

= 2　→　dx =

x 0　→　1
u　1　→　3
(原式)= u3 = = − = =10


※　ax + b = u とおくと，展開しなくてすむ
例２
dx

1 - sin2 x = cos2 x　だから，
cos x > 0 のとき， = cos x
そこで，


dx

→　x = sin u とおくと　 cos u ... du　の形になります．


dx

→　x = a sin u (a > 0) とおくと　a cos u ... du　の形になります．

■　問題　次の空欄を埋めなさい。
○空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．
○分からないときは，準備や計算をクリックすると途中経過などが出ます．

(1)

(x + 2)2(x−1)dx
◇考え方◇ x + 2 = u とおくと展開が簡単になります．
準備
計算
(原式) = − ･･･(答)

(2)

dx
◇考え方◇ 1−x = u とおくと，u になります．
準備
計算
(原式)
= =
(3)


･･･[参考]･･･
◇考え方◇
x=3sinuとおくと， = =3
= 3 |cos u| (cos u > 0 のときは 3 cos u)
準備

x = 3 sin u とおくと， = 3 cos u　→　dx = 3 cos u du
x 　0　→　3
u　 0　→　
計算
(原式)= =

(4)

dx

･･･[参考]･･･
準備
x = 3 sin u とおくと，
x 　0　→　3
u　 0　→　 　　(この区間では cos u > 0)

= = 3 = 3 cos u

= 3 cos u　→　dx = 3 cos u du
計算
(原式)= =



(5)

2x(x2 + 1)3dx
準備
x2+ 1 = u とおくと，
= 2x　→　dx =
x 　0　→　1
u　 1　→　2
計算
(原式) = =

(6)

dx

･･･[別解]･･･
準備
ex+ 1 = u とおくと，
= ex　→　dx =

x 　0　→　1
u　 2　→　e+1
計算
(原式) = = log


(7)

dx
◇考え方◇
　三角関数の公式：1+tan2u= 　を利用して， = cos2u の形にします．

準備
x = tan u とおくと，
= = cos2u

= 　 →　 dx =

x 　0　→　1
u　 0　→　
計算
(原式)= =



［注］直前にPC版から入られた場合は，自動転送でスマホ版に来ていますので，ブラウザの［戻るキー］では戻れません（堂々巡りになる）．下記のリンクを使ってメニューに戻ってください．
...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る