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※高校数学Ⅲの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
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↓定積分の基本
↓定積分の置換積分
↓同(2)-現在地
↓定積分の部分積分
↓無理関数の定積分
↓三角関数の定積分
↓三角関数（絶対値付き）の定積分
↓limΣと定積分（区分求積法）
↓同(2)入試問題
↓閉曲線で囲まれた図形の面積
↓同(2)媒介変数
↓同(3)
↓定積分の漸化式
↓体積,表面積
↓曲線の長さ
↓定積分で定義される関数
応用問題

== 定積分の置換積分法 ==

◇解説◇
　定積分の置換積分では，

(1)　被積分関数

b∫awwwf(x)dx

(2)　積分変数

b∫awwwf(x)dx

(3)　積分区間

b∫awwwf(x)dx

の赤で示した３箇所を書き換えます。
例１

1∫0www(2x+1)3dx
2x+1=u とおくと

.dudxnn = 2　→　dx = .du2nn

x ||||| 0　→　1
────── u　1　→　3
(原式)= 3∫1www u3 .du2nn =[n .12n .u44nn = .818nn −.18n = .808nn =10


※　ax + b = u とおくと，展開しなくてすむ
例２
?∫?www .√1−x2√nnnni dx

1 - sin2 x = cos2 x　だから，
cos x > 0 のとき， .√1−sin2x√nnnnnni = cos x
そこで，

─────────────────────────
?∫?www .√1−x2√nnnni dx

→　x = sin u とおくと　β∫αwww cos u ... du　の形になります．

─────────────────────────
?∫?www .√a2−x2√nnnnni dx

→　x = a sin u (a > 0) とおくと　β∫αwwwa cos u ... du　の形になります．

─────────────────────────

■　問題　次の空欄を埋めなさい。
○空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．
○分からないときは，準備や計算をクリックすると途中経過などが出ます．

(1)

1∫-2www(x + 2)2(x−1)dx
◇考え方◇ x + 2 = u とおくと展開が簡単になります．
準備
計算
(原式) = − .nnnn･･･(答)

(2)

1∫0www.√1−x√nnnnidx
◇考え方◇ 1−x = u とおくと，u.12n になります．
準備
計算
(原式)
= =.nn
(3)

3∫0www.dx.√9−x2√nnnninnnnn

･･･[参考]･･･
◇考え方◇
x=3sinuとおくと， .√9−x2√nnnni = .√9−9sin2u√nnnnnnnni =3 .√1−sin2u√nnnnnni
= 3 |cos u| (cos u > 0 のときは 3 cos u)
準備

x = 3 sin u とおくと， .dxdunn = 3 cos u　→　dx = 3 cos u du
x |||||　0　→　3
──────── u　 0　→　.π2n
計算
(原式)= = .πnn

(4)

3∫0www.√9−x2√nnnni dx

･･･[参考]･･･
準備
x = 3 sin u とおくと，
x |||||　0　→　3
──────── u　 0　→　.π2n 　　(この区間では cos u > 0)

.√9−x2√nnnni = .√9−9sin2u√nnnnnnnni = 3 .√1−sin2u√nnnnnni = 3 cos u

.dxdunn = 3 cos u　→　dx = 3 cos u du
計算
(原式)= = .πnn



(5)

1∫0www 2x(x2 + 1)3dx
準備
x2+ 1 = u とおくと，
.dudxnn = 2x　→　dx = .du2xnn
x |||||　0　→　1
──────── u　 1　→　2
計算
(原式) = = .nnn

(6)

1∫0www .exex+1nnnn dx

･･･[別解]･･･
準備
ex+ 1 = u とおくと，
.dudxnn = ex　→　dx = .duexnn

x |||||　0　→　1
──────── u　 2　→　e+1
計算
(原式) = = log .e+nnnn
(7)

1∫0www .11+x2nnnn dx
◇考え方◇
　三角関数の公式：1+tan2u= .1cos2unnnnn　を利用して， .11+tan2unnnnnnn = cos2u の形にします．

準備
x = tan u とおくと，
.11+x2nnnn = .11+tan2unnnnnnn = cos2u

.dxdunn = .1cos2unnnn 　 →　 dx = .ducos2unnnn

x |||||　0　→　1
──────── u　 0　→　.π4n
計算
(原式)= = .πnn

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