数列の和の極限

　次の図において，ｙ＝ｘ^２，x軸，ｘ＝１の直線で囲まれた図形の面積を求めることを考えます．この図形は，長方形でもなく，三角形でもなく，円でもないので，小中学校で習った面積の求め方では求められません．むしろ，そのような面積が定義できるのか？と疑うことが，ここで扱うテーマを理解する早道です．
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　そもそも，１×１の正方形の面積が１です（下図）．これより小さい図形は，0.1の長方形が何個入るかに応じて，次の桁を決めます．以下同様にして，0.01，0.001，．．．の正方形・長方形を入るだけ埋めて，求める図形がちょうど埋まるまで繰り返します．
　素朴に考えれば，境界線がｙ＝ｘ^２のような曲線では，正方形や長方形をどう並べても埋まりそうもありません．

■　右図のように，少し大き目の長方形の和（上組）と少し小さ目の長方形の和（下組）を考えます．もし，求める図形に面積Ｓがあるとすれば，

＜Ｓ＜となるはずです．
■　長方形の横幅を小さくしていったとき（→０），もしとの面積が一致したら，その一致した値を面積Ｓの定義とすることは合理的です．

≪はさみうち論法≫
an<S<bnで

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = A

ならば

S = A

を用いると，下組と上組の極限が等しくなっとき，その等しい値を「面積」と定義します．

■　下組

= (\frac{0}{n})^{2} \frac{1}{n} + (\frac{1}{n})^{2} \frac{1}{n} + \dots + (\frac{k - 1}{n})^{2} \frac{1}{n} + \dots + (\frac{n - 1}{n})^{2} \frac{1}{n}

＝

＝　→　（ｎ→∞のとき）
■　上組

= (\frac{1}{n})^{2} \frac{1}{n} + (\frac{2}{n})^{2} \frac{1}{n} + \dots + (\frac{k}{n})^{2} \frac{1}{n} + \dots + (\frac{n}{n})^{2} \frac{1}{n}

＝

＝　→　（ｎ→∞のとき）
■　以上により，S=・・・これが，求める図形の面積です．

定積分と面積の関係

　上の図形の面積は，定積分で表わされます．
　これらを比較すると，

(\frac{1}{n})^{2} \frac{1}{n} + (\frac{2}{n})^{2} \frac{1}{n} + \dots + (\frac{k}{n})^{2} \frac{1}{n} + \dots (\frac{n - 1}{n})^{2} \frac{1}{n} + (\frac{n}{n})^{2} \frac{1}{n}

= \int_{0}^{1} x^{2} d x

すなわち，

上組と下組は等しいので，　も成立します．

数列の和の極限を定積分に直す方法

■　数列の和の極限を定積分に直すには，次のような図を考えます．

≪公式≫･･･次のように対応させて覚える

■この公式を使うには，「各部品」を正確に対応させることが大切です．（初めは，大変難しいものです．）

＜要点＞
１　まず，Δｘ（通常は１／ｎ）を分離すること
→これがｄｘになります．
(Σ記号の初項から末項までの項数ｎ個の等分となっている)
２　ｘ_ｋを決める　→　ｆ（ｘ_ｋ）を決める　→　ｆ（ｘ）を決める．
３　limΣ→∫　とします．
４　ｘ_０＝ａ，ｘ_ｎ＝ｂ　とします．
　　ｂ－ａ＝１でない場合は１の段階でΔｘを調整します．

(例１)　次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．

(考え方)

【ポイント：Δｘの役割】

１／ｎ＝Δｘがなければ積分できません．なければ作ります．このために，１／ｎでくくります．（区間の幅は１）

ｋ／ｎ＝ｘ_ｋ　→　ｆ（ｘ_ｋ）＝　→　ｆ（ｘ）＝　とします．

ｋ／ｎ＝ｘ_ｋ　→　ａ＝ｘ_０＝０，　ｂ＝ｘ_ｎ＝１（区間の幅は１でよい．）

limΣを∫にします．