閉曲線で囲まれた図形の面積２（媒介変数表示）

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*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

定積分

同(3)

面積

*** 高卒向け ***

広義積分

重積分

== 閉曲線で囲まれた図形の面積２ ==…（媒介変数表示）

【例１】
　x=t2−1 , y=−t2+2t+3とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください．

（解答）
［曲線の概形を描く］
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる．

dxdtnn=2t

t		0
.dxdtnn	−	0	+
x		−1

(2) tの変化に対応したyの増減を調べる．

dydtnn=−2t+2=−2(t−1)

t		1
.dydtnn	+	0	−
y		4

(3) x軸との交点を調べる．

y=−(t+1)(t−3)=0 → t=−1, 3 → x=0, 8

(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．

t	−1	0	1	3
(x,y)	(0,0)	(−1,3)	(0,4)	(8,0)
向き

次のような図形になります．

［ x2∫x1wwwy dxの形で面積を表す］

青で示した部分の面積は

.8∫−1wwwy1 dx

ピンクで示した部分の面積は

.0∫−1wwwy2 dx

求める図形の面積は

.S=8∫−1wwwy1 dx−0∫−1wwwy2 dx

［置換積分により変数をtに直して計算する］

.S=8∫−1wwwy1 dx−0∫−1wwwy2 dx

.=3∫0www(−t2+2t+3)2t dt−−1∫0www(−t2+2t+3)2t dt

.S=3∫0www(−t2+2t+3)2t dt+0∫−1www(−t2+2t+3)2t dt

.=0∫−1www(−t2+2t+3)2t dt+3∫0www(−t2+2t+3)2t dt

.=3∫−1www(−t2+2t+3)2t dt …(*)

.=23∫−1www(−t3+2t2+3t)dt

.=2[n−.

t44nn+.

23nt3+.

32nt2=……=.

643nn

≪(*)の式でt=0 (x=−1)の区切りを省略してしまったら，
面積が引き算になる話はどうなってしまうのか？？≫

−1∫0www(−t2+2t+3)2t dtでピンクの図形の面積を表します

だから

0∫−1www(−t2+2t+3)2t dt=−−1∫0www(−t2+2t+3)2t dt

が面積の引き算を表すようになるのです．

【例２】
　x=10−t2 , y=−t2+2t+8とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください．

（解答）
［曲線の概形を描く］
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる．

dxdtnn=−2t

t		0
.dxdtnn	+	0	−
x		10

(2) tの変化に対応したyの増減を調べる．

dydtnn=−2t+2=−2(t−1)

t		1
.dydtnn	+	0	−
y		9

(3) x軸との交点を調べる．

y=−(t+2)(t−4)=0 → t=−2, 4 → x=6, −6

(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．

t	−2	0	1	4
(x,y)	(6,0)	(10,8)	(9,9)	(−6,0)
向き

次のような図形になります．

［ x2∫x1wwwy dxの形で面積を表す］

青で示した部分（右端は縦線）の面積は

.10∫−6wwwy1 dx

ピンクで示した部分の面積は

.10∫6wwwy2 dx

求める図形の面積は

.S=10∫−6wwwy1 dx−10∫6wwwy2 dx

［置換積分により変数をtに直して計算する］

S=10∫−6wwwy1 dx−10∫6wwwy2 dx

=0∫4www(−t2+2t+8)(−2t)dt−0∫−2www(−t2+2t+8)(−2t)dt

=−2∫4www(−t2+2t+8)(−2t)dt …(*)

=24∫−2www(−t2+2t+8)tdt

=24∫−2www(−t3+2t2+8t)dt

=2[n−.

t44nn+.

23nt3+4t2=……=72

≪繰り返しになるが(*)の式でt=0 (x=10)の区切りを省略してしまったら，面積が引き算になる話はどうなってしまうのか？？≫

0∫−2www(−t2+2t+8)(−2t)dt

でピンクの図形の面積を表すので

+−2∫0www(−t2+2t+8)(−2t)dt

が面積の引き算を表すようになるのです．

【例３】
　x=t2−2t−3 , y=t2−4tとx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください．

（解答）
［曲線の概形を描く］
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる．

dxdtnn=2(t−1)

t		1
.dxdtnn	−	0	+
x		−4

(2) tの変化に対応したyの増減を調べる．

dydtnn=2t−4=2(t−2)

t		2
.dydtnn	−	0	+
y		−4

(3) x軸との交点を調べる．

y=t(t−4)=0 → t=0, 4 → x=−3, 5

(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．

t	0	1	2	4
(x,y)	(−3,0)	(−4,−3)	(−3,−4)	(5,0)
向き

次のような図形になります．
x軸よりも下にあるので，面積はx2∫x1www(−y)dxの形で計算します．

［ x2∫x1wwwy dxの形で面積を表す］

青で示した部分（左端は縦線）の面積は

.5∫−4www(−y1 )dx

ピンクで示した部分の面積は

.−3∫−4www(−y2 )dx

求める図形の面積は

.S=5∫−4www(−y1 )dx−−3∫−4www(−y2 )dx

［置換積分により変数をtに直して計算する］

.S=4∫1www(−t2+4t)(2t−2)dt−0∫1www(−t2+4t)(2t−2)dt

.=4∫1www(−t2+4t)(2t−2)dt+1∫0www(−t2+4t)(2t−2)dt

.=4∫0www(−t2+4t)(2t−2)dt

.=24∫0www(−t2+4t)(t−1)dt

.=24∫0www(−t3+5t2−4t)dt

.=2[n−.

t44nn+.

53nt3−2t2=……=.

643nn

【問題１】x=t2 , y=−t2−2t+3とx軸とで囲まれる図形について，各々正しいものを選んでください．

(1)このグラフとx軸との交点の（x）座標は
解説

−3, 1 −1 , 3 1 , 9 −1 , −9

y=−t2−2t+3=−(t+3)(t−1)=0
より
t=−3 , 1
これをx=t2に代入すると
x=9 , 1

(2)曲線の向きについて
ア）　−3<t<−1の範囲でtが増加するとき
解説

dxdtnn=2t , .

dydtnn=−2(t+1)だから

t	−3		−1		0		1
.dxdtnn=2t	−	−	−	−	0	+	+
.dydtnn=−(t+3)(t−1)	+	+	0	−	−	−	−

表により，−3<t<−1のとき，

イ）　t=−1のとき
解説

dxdtnn=2t , .

dydtnn=−2(t+1)だから

t	−3		−1		0		1
.dxdtnn=2t	−	−	−	−	0	+	+
.dydtnn=−(t+3)(t−1)	+	+	0	−	−	−	−

表により，t=−1のとき，

ウ）　−1<t<0の範囲でtが増加するとき
解説

dxdtnn=2t , .

dydtnn=−2(t+1)だから

t	−3		−1		0		1
.dxdtnn=2t	−	−	−	−	0	+	+
.dydtnn=−(t+3)(t−1)	+	+	0	−	−	−	−

表により，−1<t<0のとき，

エ）　t=0のとき
解説

dxdtnn=2t , .

dydtnn=−2(t+1)だから

t	−3		−1		0		1
.dxdtnn=2t	−	−	−	−	0	+	+
.dydtnn=−(t+3)(t−1)	+	+	0	−	−	−	−

表により，t=0のとき，

オ）　0<t<1の範囲でtが増加するとき
解説

dxdtnn=2t , .

dydtnn=−2(t+1)だから

t	−3		−1		0		1
.dxdtnn=2t	−	−	−	−	0	+	+
.dydtnn=−(t+3)(t−1)	+	+	0	−	−	−	−

表により，0<t<1のとき，

(6)図のように曲線のうちで上にある部分をy1，下にある部分をy2で表すとき，この曲線とx軸とで囲まれた図形を表す式は

解説

.9∫0wwwy1 dx−1∫0wwwy2 dx .0∫9wwwy1 dx−0∫1wwwy2 dx

.0∫−3wwwy1 dx−0∫1wwwy2 dx .−3∫0wwwy1 dx−1∫0wwwy2 dx

積分変数がxのときは，積分区間はxの値の範囲とします．

.9∫0wwwy1 dx−1∫0wwwy2 dx

(7)(6)の結果を積分変数をtにして書き換えると，次のどの式になりますか．
解説

.0∫−3www(−t2−2t+3)dt−0∫1www(−t2−2t+3)dt

.−3∫0www(−t2−2t+3)dt−1∫0www(−t2−2t+3)dt

.0∫−3www(−t2−2t+3)2t dt−0∫1www(−t2−2t+3)2t dt

.−3∫0www(−t2−2t+3)2t dt−1∫0www(−t2−2t+3)2t dt

被積分関数について
.y=−t2−2t+3
積分変数について
.dx=2t dt
積分区間について

x	0	→	9
t	0	→	−3

x	0	→	1
t	0	→	1

のように各々変換すると，

−3∫0www(−t2−2t+3)2t dt−1∫0www(−t2−2t+3)2t dt

(8)面積は，次のどの値になりますか．
解説

.

2−3∫1www(−t2−2t+3)t dt=2−3∫1www(−t3−2t2+3t)dt

=2[n−.

t44n−.

23nt3+.

32nt2 =……=.

643nn

【問題2】x=t2 , y=t2+t−2とx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください

解説

.

dxdtnn=2t , .

dydtnn=−2(t+1)だから

t	−3		−1		0		1
.dxdtnn=2t	−	−	−	−	0	+	+
.dydtnn=−(t+3)(t−1)	+	+	0	−	−	−	−
(x , y)	(4 , 0)		(.14n,−.94n)		(0,−2)		(1,0)
向き

x軸よりも下にあることに注意すると

S=4∫0www(−y1)dx−1∫0www(−y2)dx

=−2∫0www(−t2−t+2)2t dt−1∫0www(−t2−t+2)2t dt

=−2∫0www(−t2−t+2)2t dt+0∫1www(−t2−t+2)2t dt

=−2∫1www(−t2−t+2)2t dt

=2−2∫1www(−t3−t2+2t)dt

=2[n−.

t44n−.

13nt3+t2=……=.

92n

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積２について／18.8.9］

問題1のオは、左斜めの向きで変化するのでは。t=0のときの座標が(0.3)t=1のときの座標が(1.0)ですから
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(0,3)→(1, 0)で右下がりなので，元の教材で正しいです．(6)のy2の部分に相当

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積２について／17.11.20］

分かりやすいです。今日からお世話になります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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