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【例1】
(解答)x=t2−1 , y=−t2+2t+3とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください. [曲線の概形を描く] (1) tの変化に対応したxの増減を調べる. ![]()
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y=−(t+1)(t−3)=0 → t=−1, 3 → x=0, 8
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
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[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
S=8∫−1y1 dx−0∫−1y2 dx
=3∫0 (−t2+2t+3)2t dt−−1∫0 (−t2+2t+3)2t dt
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≪(*)の式でt=0 (x=−1)の区切りを省略してしまったら,
面積が引き算になる話はどうなってしまうのか??≫ −1∫0 (−t2+2t+3)2t dtでピンクの図形の面積を表します だから 0∫−1 (−t2+2t+3)2t dt=−−1∫0 (−t2+2t+3)2t dt が面積の引き算を表すようになるのです. ![]() |
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【例2】
(解答)x=10−t2 , y=−t2+2t+8とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください. [曲線の概形を描く] (1) tの変化に対応したxの増減を調べる. ![]()
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y=−(t+2)(t−4)=0 → t=−2, 4 → x=6, −6
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
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[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
S=10∫−6y1 dx−10∫6y2 dx
=0∫4 (−t2+2t+8)(−2t)dt−0∫−2 (−t2+2t+8)(−2t)dt
=−2∫4 (−t2+2t+8)(−2t)dt …(*)
=24∫−2 (−t2+2t+8)tdt
=24∫−2 (−t3+2t2+8t)dt
=2[ −![]() ![]()
≪繰り返しになるが(*)の式でt=0 (x=10)の区切りを省略してしまったら,面積が引き算になる話はどうなってしまうのか??≫
0∫−2 (−t2+2t+8)(−2t)dt でピンクの図形の面積を表すので +−2∫0 (−t2+2t+8)(−2t)dt が面積の引き算を表すようになるのです. ![]() |
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【例3】
(解答)x=t2−2t−3 , y=t2−4tとx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください. [曲線の概形を描く] (1) tの変化に対応したxの増減を調べる. ![]()
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y=t(t−4)=0 → t=0, 4 → x=−3, 5
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
x軸よりも下にあるので,面積はx2∫x1 (−y)dxの形で計算します. ![]() |
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[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
S=4∫1 (−t2+4t)(2t−2)dt−0∫1 (−t2+4t)(2t−2)dt
=4∫1 (−t2+4t)(2t−2)dt+1∫0 (−t2+4t)(2t−2)dt
=4∫0 (−t2+4t)(2t−2)dt
=24∫0 (−t2+4t)(t−1)dt
=24∫0 (−t3+5t2−4t)dt
=2[ −![]() ![]() ![]() |
【問題1】x=t2 , y=−t2−2t+3とx軸とで囲まれる図形について,各々正しいものを選んでください.
(1)このグラフとx軸との交点の(x)座標は解説 −3, 1 −1 , 3 1 , 9 −1 , −9 |
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y=−t2−2t+3=−(t+3)(t−1)=0 より t=−3 , 1 これをx=t2に代入すると x=9 , 1 |
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(2)曲線の向きについて ア) −3<t<−1の範囲でtが増加するとき 解説 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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イ) t=−1のとき 解説 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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ウ) −1<t<0の範囲でtが増加するとき 解説 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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エ) t=0のとき 解説 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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オ) 0<t<1の範囲でtが増加するとき 解説 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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(6)図のように曲線のうちで上にある部分をy1,下にある部分をy2で表すとき,この曲線とx軸とで囲まれた図形を表す式は![]() 9∫0 y1 dx−1∫0 y2 dx 0∫9 y1 dx−0∫1 y2 dx 0∫−3 y1 dx−0∫1 y2 dx −3∫0 y1 dx−1∫0 y2 dx |
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積分変数がxのときは,積分区間はxの値の範囲とします. 9∫0 y1 dx−1∫0 y2 dx | ||||||||||||||||||||||||
(7)(6)の結果を積分変数をtにして書き換えると,次のどの式になりますか. 解説 0∫−3 (−t2−2t+3)dt−0∫1 (−t2−2t+3)dt −3∫0 (−t2−2t+3)dt−1∫0 (−t2−2t+3)dt 0∫−3 (−t2−2t+3)2t dt−0∫1 (−t2−2t+3)2t dt −3∫0 (−t2−2t+3)2t dt−1∫0 (−t2−2t+3)2t dt |
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被積分関数について y=−t2−2t+3 積分変数について dx=2t dt 積分区間について
のように各々変換すると, −3∫0 (−t2−2t+3)2t dt−1∫0 (−t2−2t+3)2t dt |
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(8)面積は,次のどの値になりますか. 解説 ![]() ![]() ![]() ![]() |
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2−3∫1 (−t2−2t+3)t dt=2−3∫1 (−t3−2t2+3t)dt
=2[ −![]() ![]() ![]() ![]() |
【問題2】x=t2 , y=t2+t−2とx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください
解説![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
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x軸よりも下にあることに注意すると
S=4∫0 (−y1)dx−1∫0 (−y2)dx
=−2∫0 (−t2−t+2)2t dt−1∫0 (−t2−t+2)2t dt
=−2∫0 (−t2−t+2)2t dt+0∫1 (−t2−t+2)2t dt
=−2∫1 (−t2−t+2)2t dt
=2−2∫1 (−t3−t2+2t)dt
=2[ −![]() ![]() ![]() |
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■[個別の頁からの質問に対する回答][閉曲線で囲まれた図形の面積2について/18.8.9]
問題1のオは、左斜めの向きで変化するのでは。t=0のときの座標が(0.3)t=1のときの座標が(1.0)ですから
■[個別の頁からの質問に対する回答][閉曲線で囲まれた図形の面積2について/17.11.20]
=>[作者]:連絡ありがとう.(0,3)→(1, 0)で右下がりなので,元の教材で正しいです.(6)のy2の部分に相当 分かりやすいです。今日からお世話になります
=>[作者]:連絡ありがとう. |
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