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※高校数学Ⅲの「定積分」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
定積分の基本
定積分の置換積分
同(2)
定積分の部分積分
無理関数の定積分
三角関数の定積分
三角関数(絶対値付き)の定積分
limΣと定積分(区分求積法)
同(2)入試問題
閉曲線で囲まれた図形の面積
同(2)媒介変数-現在地
同(3)
定積分の漸化式
体積,表面積
曲線の長さ
定積分で定義される関数
応用問題

== 閉曲線で囲まれた図形の面積2 ==…(媒介変数表示)
【例1】
 x=t2−1 , y=−t2+2t+3x軸とで囲まれた図形の面積を求めてください.
(解答)
[曲線の概形を描く]
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる.
.dxdtnn=2t
t
0
.dxdtnn 0 +
x −1
(2) tの変化に対応したyの増減を調べる.
.dydtnn=−2t+2=−2(t−1)
t
1
.dydtnn + 0
y 4
(3) x軸との交点を調べる.
y=−(t+1)(t−3)=0 → t=−1, 3 → x=0, 8
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
t −1
0
1
3
(x,y) (0,0)
(−1,3)
(0,4)
(8,0)
向き

次のような図形になります.
x2x1wwwy dxの形で面積を表す]
青で示した部分の面積は
.8−1wwwy1 dx
ピンクで示した部分の面積は
.0−1wwwy2 dx
求める図形の面積は
.S=8−1wwwy1 dx−0−1wwwy2 dx
[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
.S=8−1wwwy1 dx−0−1wwwy2 dx
.=30www(−t2+2t+3)2t dt−−10www(−t2+2t+3)2t dt
.S=30www(−t2+2t+3)2t dt+0−1www(−t2+2t+3)2t dt
.=0−1www(−t2+2t+3)2t dt+30www(−t2+2t+3)2t dt
.=3−1www(−t2+2t+3)2t dt …(*)
.=23−1www(−t3+2t2+3t)dt
.=2[n.t44nn+.23nt3+.32nt2=……=.643nn
≪(*)の式でt=0 (x=−1)の区切りを省略してしまったら,
面積が引き算になる話はどうなってしまうのか??≫

−10www(−t2+2t+3)2t dtでピンクの図形の面積を表します
だから
0−1www(−t2+2t+3)2t dt=−−10www(−t2+2t+3)2t dt
が面積の引き算を表すようになるのです.
【例2】
 x=10−t2 , y=−t2+2t+8x軸とで囲まれた図形の面積を求めてください.
(解答)
[曲線の概形を描く]
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる.
.dxdtnn=−2t
t
0
.dxdtnn + 0
x 10
(2) tの変化に対応したyの増減を調べる.
.dydtnn=−2t+2=−2(t−1)
t
1
.dydtnn + 0
y 9
(3) x軸との交点を調べる.
y=−(t+2)(t−4)=0 → t=−2, 4 → x=6, −6
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
t −2
0
1
4
(x,y) (6,0)
(10,8)
(9,9)
(−6,0)
向き

次のような図形になります.
x2x1wwwy dxの形で面積を表す]
青で示した部分(右端は縦線)の面積は
.10−6wwwy1 dx
ピンクで示した部分の面積は
.106wwwy2 dx
求める図形の面積は
.S=10−6wwwy1 dx−106wwwy2 dx
[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
S=10−6wwwy1 dx−106wwwy2 dx
=04www(−t2+2t+8)(−2t)dt−0−2www(−t2+2t+8)(−2t)dt
=−24www(−t2+2t+8)(−2t)dt …(*)
=24−2www(−t2+2t+8)tdt
=24−2www(−t3+2t2+8t)dt
=2[n.t44nn+.23nt3+4t2=……=72
≪繰り返しになるが(*)の式でt=0 (x=10)の区切りを省略してしまったら,面積が引き算になる話はどうなってしまうのか??≫
0−2www(−t2+2t+8)(−2t)dt
でピンクの図形の面積を表すので
+−20www(−t2+2t+8)(−2t)dt
が面積の引き算を表すようになるのです.
【例3】
 x=t2−2t−3 , y=t2−4tx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください.
(解答)
[曲線の概形を描く]
(1) tの変化に対応したxの増減を調べる.
.dxdtnn=2(t−1)
t
1
.dxdtnn 0 +
x −4
(2) tの変化に対応したyの増減を調べる.
.dydtnn=2t−4=2(t−2)
t
2
.dydtnn 0 +
y −4
(3) x軸との交点を調べる.
y=t(t−4)=0 → t=0, 4 → x=−3, 5
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる.
t 0
1
2
4
(x,y) (−3,0)
(−4,−3)
(−3,−4)
(5,0)
向き

次のような図形になります.
x軸よりも下にあるので,面積はx2x1www(−y)dxの形で計算します.
x2x1wwwy dxの形で面積を表す]
青で示した部分(左端は縦線)の面積は
.5−4www(−y1 )dx
ピンクで示した部分の面積は
.−3−4www(−y2 )dx
求める図形の面積は
.S=5−4www(−y1 )dx−−3−4www(−y2 )dx
[ 置換積分により変数をtに直して計算する]
.S=41www(−t2+4t)(2t−2)dt−01www(−t2+4t)(2t−2)dt
.=41www(−t2+4t)(2t−2)dt+10www(−t2+4t)(2t−2)dt
.=40www(−t2+4t)(2t−2)dt
.=240www(−t2+4t)(t−1)dt
.=240www(−t3+5t2−4t)dt
.=2[n.t44nn+.53nt3−2t2=……=.643nn

【問題1】x=t2 , y=−t2−2t+3x軸とで囲まれる図形について,各々正しいものを選んでください.
(1)このグラフとx軸との交点の(x)座標は


−3, 1 −1 , 3 1 , 9 −1 , −9
(2)曲線の向きについて
ア) −3<t<−1の範囲でtが増加するとき


イ) t=−1のとき


ウ) −1<t<0の範囲でtが増加するとき


エ) t=0のとき


オ) 0<t<1の範囲でtが増加するとき


(6)図のように曲線のうちで上にある部分をy1,下にある部分をy2で表すとき,この曲線とx軸とで囲まれた図形を表す式は


.90wwwy1 dx−10wwwy2 dx .09wwwy1 dx−01wwwy2 dx
.0−3wwwy1 dx−01wwwy2 dx .−30wwwy1 dx−10wwwy2 dx
(7)(6)の結果を積分変数をtにして書き換えると,次のどの式になりますか.


.0−3www(−t2−2t+3)dt−01www(−t2−2t+3)dt
.−30www(−t2−2t+3)dt−10www(−t2−2t+3)dt
.0−3www(−t2−2t+3)2t dt−01www(−t2−2t+3)2t dt
.−30www(−t2−2t+3)2t dt−10www(−t2−2t+3)2t dt
(8)面積は,次のどの値になりますか.


.323nn .643nn .325nn .645nn

【問題2】x=t2 , y=t2+t−2x軸とで囲まれる図形の面積を求めてください


.92n .94n .98n .916nn

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■[個別の頁からの質問に対する回答][閉曲線で囲まれた図形の面積2について/18.8.9]
問題1のオは、左斜めの向きで変化するのでは。t=0のときの座標が(0.3)t=1のときの座標が(1.0)ですから
=>[作者]:連絡ありがとう.(0,3)→(1, 0)で右下がりなので,元の教材で正しいです.(6)のy2の部分に相当
■[個別の頁からの質問に対する回答][閉曲線で囲まれた図形の面積2について/17.11.20]
分かりやすいです。今日からお世話になります
=>[作者]:連絡ありがとう.

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