 ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る*** 科目 *** 数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です． ↓定積分の基本 ↓定積分の置換積分 ↓同(2) ↓定積分の部分積分 ↓無理関数の定積分 ↓三角関数の定積分 ↓三角関数（絶対値付き）の定積分 ↓limΣと定積分（区分求積法） ↓同(2)入試問題 ↓閉曲線で囲まれた図形の面積 ↓同(2)媒介変数-現在地 ↓同(3) ↓定積分の漸化式 ↓体積,表面積 ↓曲線の長さ ↓定積分で定義される関数 応用問題 |
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【例１】
（解答）x=t2−1 , y=−t2+2t+3とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください． ［曲線の概形を描く］ (1) tの変化に対応したxの増減を調べる．  dxdt=2t
dydt=−2t+2=−2(t−1)
y=−(t+1)(t−3)=0 → t=−1, 3 → x=0, 8
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．
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［ 置換積分により変数をtに直して計算する］
S=8∫−1y1 dx−0∫−1y2 dx
=3∫0(−t2+2t+3)2t dt−−1∫0(−t2+2t+3)2t dt
 t44+23t3+32t2=……=643
≪(*)の式でt=0 (x=−1)の区切りを省略してしまったら，
面積が引き算になる話はどうなってしまうのか？？≫ −1∫0(−t2+2t+3)2t dtでピンクの図形の面積を表します だから 0∫−1(−t2+2t+3)2t dt=−−1∫0(−t2+2t+3)2t dt が面積の引き算を表すようになるのです．  |
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【例２】
（解答）x=10−t2 , y=−t2+2t+8とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください． ［曲線の概形を描く］ (1) tの変化に対応したxの増減を調べる． dxdt=−2t
dydt=−2t+2=−2(t−1)
y=−(t+2)(t−4)=0 → t=−2, 4 → x=6, −6
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．
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［ 置換積分により変数をtに直して計算する］
S=10∫−6y1 dx−10∫6y2 dx
=0∫4(−t2+2t+8)(−2t)dt−0∫−2(−t2+2t+8)(−2t)dt
=−2∫4(−t2+2t+8)(−2t)dt …(*)
=24∫−2(−t2+2t+8)tdt
=24∫−2(−t3+2t2+8t)dt
=2[−t44+23t3+4t2=……=72
≪繰り返しになるが(*)の式でt=0 (x=10)の区切りを省略してしまったら，面積が引き算になる話はどうなってしまうのか？？≫
0∫−2(−t2+2t+8)(−2t)dt でピンクの図形の面積を表すので +−2∫0(−t2+2t+8)(−2t)dt が面積の引き算を表すようになるのです．  |
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【例３】
（解答）x=t2−2t−3 , y=t2−4tとx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください． ［曲線の概形を描く］ (1) tの変化に対応したxの増減を調べる． dxdt=2(t−1)
dydt=2t−4=2(t−2)
y=t(t−4)=0 → t=0, 4 → x=−3, 5
(4) tの変化に対応した曲線の動き調べる．
x軸よりも下にあるので，面積はx2∫x1(−y)dxの形で計算します．  |
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［ 置換積分により変数をtに直して計算する］
S=4∫1(−t2+4t)(2t−2)dt−0∫1(−t2+4t)(2t−2)dt
=4∫1(−t2+4t)(2t−2)dt+1∫0(−t2+4t)(2t−2)dt
=4∫0(−t2+4t)(2t−2)dt
=24∫0(−t2+4t)(t−1)dt
=24∫0(−t3+5t2−4t)dt
=2[−t44+53t3−2t2=……=643
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【問題１】x=t2 , y=−t2−2t+3とx軸とで囲まれる図形について，各々正しいものを選んでください．
(1)このグラフとx軸との交点の（x）座標は解説 −3, 1 −1 , 3 1 , 9 −1 , −9 |
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y=−t2−2t+3=−(t+3)(t−1)=0 より t=−3 , 1 これをx=t2に代入すると x=9 , 1 |
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(2)曲線の向きについて ア） −3<t<−1の範囲でtが増加するとき 解説 
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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イ） t=−1のとき 解説
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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ウ） −1<t<0の範囲でtが増加するとき 解説
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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エ） t=0のとき 解説
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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オ） 0<t<1の範囲でtが増加するとき 解説
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dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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(6)図のように曲線のうちで上にある部分をy1，下にある部分をy2で表すとき，この曲線とx軸とで囲まれた図形を表す式は 9∫0y1 dx−1∫0y2 dx 0∫9y1 dx−0∫1y2 dx 0∫−3y1 dx−0∫1y2 dx −3∫0y1 dx−1∫0y2 dx |
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| 積分変数がxのときは，積分区間はxの値の範囲とします． 9∫0y1 dx−1∫0y2 dx | ||||||||||||||||||||||||
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(7)(6)の結果を積分変数をtにして書き換えると，次のどの式になりますか． 解説 0∫−3(−t2−2t+3)dt−0∫1(−t2−2t+3)dt −3∫0(−t2−2t+3)dt−1∫0(−t2−2t+3)dt 0∫−3(−t2−2t+3)2t dt−0∫1(−t2−2t+3)2t dt −3∫0(−t2−2t+3)2t dt−1∫0(−t2−2t+3)2t dt |
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被積分関数について y=−t2−2t+3 積分変数について dx=2t dt 積分区間について
のように各々変換すると， −3∫0(−t2−2t+3)2t dt−1∫0(−t2−2t+3)2t dt |
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(8)面積は，次のどの値になりますか． 解説  323
643
325
645
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2−3∫1(−t2−2t+3)t dt=2−3∫1(−t3−2t2+3t)dt
=2[−t44−23t3+32t2 =……=643
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【問題2】x=t2 , y=t2+t−2とx軸とで囲まれる図形の面積を求めてください
解説92
94
98
916
dxdt=2t , dydt=−2(t+1)だから
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x軸よりも下にあることに注意すると
S=4∫0(−y1)dx−1∫0(−y2)dx
=−2∫0(−t2−t+2)2t dt−1∫0(−t2−t+2)2t dt
=−2∫0(−t2−t+2)2t dt+0∫1(−t2−t+2)2t dt
=−2∫1(−t2−t+2)2t dt
=2−2∫1(−t3−t2+2t)dt
=2[−t44−13t3+t2=……=92
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積２について／18.8.9］
問題1のオは、左斜めの向きで変化するのでは。t=0のときの座標が(0.3)t=1のときの座標が(1.0)ですから
■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積２について／17.11.20］
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(0,3)→(1, 0)で右下がりなので，元の教材で正しいです．(6)のy2の部分に相当 分かりやすいです。今日からお世話になります
＝＞［作者］：連絡ありがとう． |
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定積分