広義積分

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== 広義積分 ==

○積分区間が有界でない場合

.f(x)dxが収束するとき，

これを

.f(x)dx

で表す．

○被積分関数が有界でない場合

　例えば，=+∞となり，関数f(x)=は

x=0において定義されないが，

　 dx=2(1−)=2となり，収束する．

　この場合，

. dx=dx

と書く．

○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）

○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．
　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>）に対して行ってください．

※正しい番号をクリックしてください．

平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-10

　広義積分dxの値は，次のどれか．

11 22 3log2 4log3 5存在しない

解説

dx=(−)dx

=log x−log(x+1)=log

=log 1−log=log1−(log1−log2)=log2

→ 3

平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-7

　広義積分e−xcos x dxの値は，次のどれか．

1 2 3 4 51

解説

S=e−xcos x dxとおく

（つぎの２つの表を参考に，同じ向き置換積分を２回行い，Sが満たす方程式を作る．［(*)のように，SをSで表す］）

f ’=e−xとおく	f=−e−x
g=cos xとおく	g ’=−sin x
f ’g dx=fg−fg ’ dx

=−e−xcos x−e−xsin x dx

ここで|e−tcos t|≦e−t→0 (t→∞)だから

S=(0−(−1))−e−xsin x dx=1−e−xsin x dx

p ’=e−xとおく	p=−e−x
q=sin xとおく	q ’=cos x
p ’q dx=pq−pq ’ dx

S=1−(−e−xsin x−(−e−xcos x)dx)

ここで|e−tsin t|≦e−t→0 (t→∞)だから

S=1−e−xcos x dx=1−S …(*)

2S=1よりS= → 4

平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-6

　(1+x)− dx=が成り立つときaの値は，次のどれか．

15 210 315 420 525

解説

　(1+x)− dx=−2(1+x)−

==0−==

より
=4
1+a=16
a=15 → 3

平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-8

　広義積分dxの値は，次のどれか．

1 2 3 4 5

解説

dx=(x−2)−3dx=(x−2)−2

=−=(−0)−(−)= → 5

平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-9

　広義積分dxの値は，次のどれか．

1 2 3 41 52

解説

dx=(x+1)−3dx=(x+1)−2

=−=(−0)−(−)= → 3

平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-8

　広義積分dxの値は，次のどれか．

1 21 3 42 5

解説

dx=x−dx= x−

=−=(−0)−(−2)=2 → 4

平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-8

　広義積分2xe−x2dxの値は，次のどれか．ただし，

eは自然対数の底とする．

1 21 3 42 5

解説

I=2xe−x2dxとおく

x2=tとおいて置換積分を行う．

x	0→∞
t	0→∞
=2x → dx=

I=2x e−t =e−tdt=−e−t =−

=(−0)−(−1)=1 → 2

平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-7

　広義積分dxの値は，次のどれか．

11 22 33 44 55

解説

dx=x−dx=x

=3=3−0=3 → 3

平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-8

　広義積分dxの値は，次のどれか．

1 2 31 4 5π

解説

I=dxとおく

x=tan tとおいて置換積分を行う．

x	0→∞
t	0→
= → dx=

三角関数の相互関係により

sin2t+cos2t=1→1+tan2t=だから

I=dt=t= → 4

極限計算を要する問題

(1) 有限の区間で，区間の端点で関数が有界でない場合

次の広義積分を求めてください．

【問題1.1】
$\int_0^1\log xdx$

（解答）

　 $\int\log xdx=x\log x-x+ C$ を使う
　さらに，ロピタルの定理を使って， $\lim_{x\rightarrow+ 0}x\log x=0$ を示す

$f(x)=\log x$	$\rightarrow$	$f\apos(x)=\frac{1}{x}$
$g\apos(x)=1$	$\rightarrow$	$g(x)=x$

部分積分の公式
$\int f(x)g\apos(x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos(x)g(x)dx$
により
$\int\log x\cdot 1dx=x\log x-\int\frac{x}{x}dx$
$=x\log x-\int 1dx=x\log x-x+ C$
だから
$\lim_{c\rightarrow+ 0}\int_c^1\log xdx=\lim_{c\rightarrow+ 0}\big[x\log x-x\big]_c^1$
$=\lim_{c\rightarrow+ 0}\{(-1)-(c\log c-c)\}$
ここで， $\lim_{c\rightarrow+ 0}c\log c=\lim_{c\rightarrow+ 0}\frac{\log c}{\frac{1}{c}}$
は $\frac{-\infty}{\infty}$ の形の不定形の極限だから，ロピタルの定理
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\apos(x)}{f\apos(x)}$
によって変形すると
$\lim_{c\rightarrow+ 0}\frac{\log c}{\frac{1}{c}}=\lim_{c\rightarrow+ 0}\frac{\frac{1}{c}}{-\frac{1}{c^2}}=\lim_{c\rightarrow+ 0}(-c)=0$
したがって，
$\lim_{c\rightarrow+ 0}\{(-1)-(c\log c-c)\}=-1$

【問題1.2】
$\int_0^1 x\log xdx$

（解答）

$f(x)=\log x$	$\rightarrow$	$f\apos(x)=\frac{1}{x}$
$g\apos(x)=x$	$\rightarrow$	$g(x)=\frac{x^2}{2}$

部分積分の公式
$\int f(x)g\apos(x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos(x)g(x)dx$
により
$\int\log x\cdot xdx=\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx$
$=\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x}{2}dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+ C$
だから
$\lim_{c\rightarrow+ 0}\int_c^1 x\log xdx=\lim_{c\rightarrow+ 0}\big[\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}\big]_c^1$
$=\lim_{c\rightarrow+ 0}\{(-\frac{1}{4})-(\frac{c^2}{2}\log c-\frac{c^2}{4})\}$
ここで， $\lim_{c\rightarrow+ 0}c^2\log c=\lim_{c\rightarrow+ 0}\frac{\log c}{\frac{1}{c^2}}$
は $\frac{-\infty}{\infty}$ の形の不定形の極限だから，ロピタルの定理
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{g\apos(x)}{f\apos(x)}$
によって変形すると
$\lim_{c\rightarrow+ 0}\frac{\log c}{\frac{1}{c^2}}=\lim_{c\rightarrow+ 0}\frac{\frac{1}{c}}{-2\frac{1}{c^3}}=\lim_{c\rightarrow+ 0}(-\frac{c^2}{2})=0$
したがって，
$\lim_{c\rightarrow+ 0}\{(-\frac{1}{4})-(\frac{c^2}{2}\log c-\frac{c^2}{4})\}=-\frac{1}{4}$

【問題1.3】
$\int_1^e\frac{dx}{x\log x}$

（解答）
$x\gt 0$ のとき
$\int\frac{dx}{x\log x}=\int\frac{\frac{1}{x}}{\log x}dx=\int\frac{(\log x)\apos}{\log x}dx$
$=\log\mid\log x\mid+ C$ だから
$\int_1^e\frac{dx}{x\log x}=\lim_{c\rightarrow+ 1}\big[\log\mid\log x\mid\big]_c^e$
$=\lim_{c\rightarrow+ 1}\{\log 1-\log(\log c)\}=I$ とおく
$\lim_{c\rightarrow+ 1}\log(\log c)=\lim_{t\rightarrow+ 0}\log t=-\infty$ だから
$I=0+\infty=\infty$

「積分区間が有限で区間内の幾つかの点で関数が有界でない場合」「積分区間が無限である場合」を各々広義積分，無限積分と用語を分ける場合もあるが，この教材ではこれらをまとめて広義積分と呼ぶことにする．

(2) 積分区間が無限になっている場合

【問題2.1】
$\int_0^{\infty}xe^{-x}dx$

（解答）

$f(x)=x$	$\rightarrow$	$f\apos(x)=1$
$g\apos(x)=e^{-x}$	$\rightarrow$	$g(x)=-e^{-x}$

部分積分の公式
$\int f(x)g\apos(x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos(x)g(x)dx$
により
$\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx$
$=xe^{-x}-e^{-x}+ C$
だから
$\lim_{c\rightarrow\infty}\int_0^c xe^{-x}dx=\lim_{c\rightarrow\infty}\big[xe^{-x}-e^{-x}\big]_0^c$
$=\lim_{c\rightarrow\infty}\{(-c^e^{-c}-e^{-c})-(0-1)\}$
ここで， $\lim_{c\rightarrow\infty}ce^{-c}=\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{c}{e^c}$
は $\frac{\infty}{\infty}$ の形の不定形の極限だから，ロピタルの定理
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g\apos(x)}{f\apos(x)}$
によって変形すると
$\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{c}{e^c}=\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{1}{e^{c}}=0$
また， $\lim_{c\rightarrow\infty}e^{-c}=0$
したがって，
$\int_0^{\infty}xe^{-x}dx=\lim_{c\rightarrow\infty}\{(-c^e^{-c}-e^{-c})-(0-1)=1$

【問題2.2】
$\int_0^{\infty}x^2e^{-x}dx$

（解答）

$f(x)=x^2$	$\rightarrow$	$f\apos(x)=2x$
$g\apos(x)=e^{-x}$	$\rightarrow$	$g(x)=-e^{-x}$

部分積分の公式
$\int f(x)g\apos(x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos(x)g(x)dx$
により
$\int x^2e^{-x}dx=-x^2e^{-x}+ 2\int xe^{-x}dx$
さらに，もう一度部分積分を行う

$p(x)=x$	$\rightarrow$	$p\apos(x)=1$
$q\apos(x)=e^{-x}$	$\rightarrow$	$q(x)=-e^{-x}$

$\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx$
$=-xe^{-x}-e^{-x}+ C$
だから
$\int x^2e^{-x}dx=-x^2e^{-x}+ 2(-xe^{-x}-e^{-x})+ C$
$=e^{-x}(-x^2-2x-2)+ C$
（原式）= $\lim_{c\rightarrow\infty}\int_0^c x^2e^{-x}dx=\lim_{c\rightarrow\infty}\big[e^{-x}(-x^2-2x-2)\big]_0^c$
$=\lim_{c\rightarrow\infty}\{e^{-c}(-c^2-2c-2)-1\cdot(-2)\}$
ここで， $\lim_{c\rightarrow\infty}e^{-c}(c^2+ 2c+ 2)=\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{c^2+ 2c+ 2}{e^c}$
は $\frac{\infty}{\infty}$ の形の不定形の極限だから，ロピタルの定理
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g\apos(x)}{f\apos(x)}$
によって変形すると
$\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{c^2+ 2c+ 2}{e^c}=\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{2c+ 2}{e^{c}}=\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{2}{e^{c}}=0$
したがって，
（原式）= $2$

【問題2.3】
$\int_1^{\infty}\frac{\log x}{x^3}dx$

（解答）

$f(x)=\log x$	$\rightarrow$	$f\apos(x)=\frac{1}{x}$
$g\apos(x)=x^{-3}$	$\rightarrow$	$g(x)=-\frac{1}{2x^2}$

部分積分の公式
$\int f(x)g\apos(x)dx=f(x)g(x)-\int f\apos(x)g(x)dx$
により
$\int \frac{\log x}{x^3}dx=-\frac{\log x}{2x^2}+\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^3}dx$
$=-\frac{\log x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}+ C$
だから
$\int_1^{\infty}\frac{\log x}{x^3}dx=\lim_{c\rightarrow\infty}\big[-\frac{\log x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}\big]_1^{c}$
$=\lim_{c\rightarrow\infty}\{(-\frac{\log c}{2c^2})-(-\frac{1}{4})\}$
ここで， $\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{\log c}{2c^2}$
は $\frac{\infty}{\infty}$ の形の不定形の極限だから，ロピタルの定理
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{g\apos(x)}{f\apos(x)}$
によって変形すると
$\lim_{c\rightarrow\infty}\frac{1}{4c^2}=0$
したがって，
（原式）= $\frac{1}{4}$

■［個別の頁からの質問に対する回答］[広義積分について／17.6.29］

【数学】Ⅲ-10 =log 1－log12=0－(1－log2)=log2 ではなく、 =log 1－log12=0－(log1－log2)=log2 ですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[広義積分について／17.3.22］

H23のⅢ-7の問題は広義積分なのですか？∞が入ってないのですが、、、私の勘違いでしたら無視して下さい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁の先頭にまとめていますように，積分区間が有界でない場合
$\int_a^{\infty}f(x)dx$
のような場合だけでなく，積分区間が有界でも被積分関数が有界でない場合
$\int_0^1\hspace{5}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$
のような場合も広義積分に含めて考えます．
（ $\lim_{x\rightarrow + 0}\frac{1}{\sqrt{x}}=\infty$ なので，関数f(0)が定義されていない）

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