...(携帯版)メニューに戻る...(PC版)メニューに戻る *** 大区分 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 中区分 *** ベクトル・行列連立方程式複素数関数・数列微分積分微分方程式統計maxima ※高卒から大学初年度レベルの「積分」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. |
○積分区間が有界でない場合
limb→∞b∫a f(x)dxが収束するとき, これを ∞∫a f(x)dx で表す. ○被積分関数が有界でない場合 例えば,limx→+01√x =+∞となり,関数f(x)=1√xは x=0において定義されないが, limt→+0 1∫t1√x dx=limt→+0 2(1−√t )=2となり,収束する. この場合, limt→+0 1∫t1√x dx=1∫01√x dx と書く. |
○この頁に登場する【問題】は,公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です.(=公表された著作物の引用)
○【解説】は個人の試案ですが,Web教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます. 問題や解説についての質問等は,原著作者を煩わせることなく,当Web教材の作成者(<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com)に対して行ってください.
∞∫11x(x+1) dx=∞∫1 (1x −1x+1 )dx
=[log x−log(x+1)=[logxx+1
=log 1−log12 =log1−(log1−log2)=log2
→ 3
|
||||||||||||
S=∞∫0 e−xcos x dxとおく
(つぎの2つの表を参考に,同じ向き置換積分を2回行い,Sが満たす方程式を作る.[(*)のように,SをSで表す])
S=(0−(−1))−∞∫0 e−xsin x dx=1−∞∫0 e−xsin x dx
S=1−∞∫0 e−xcos x dx=1−S …(*) 2S=1よりS=12 → 4 |
||||||||||||
∞∫a (1+x)−32 dx=[ −2(1+x)−12
=[−2√1+x=0−−2√1+a =2√1+a =12
より
√1+a =4 1+a=16 a=15 → 3 |
∞∫31(x−2)3 dx=∞∫3 (x−2)−3dx=[1−2 (x−2)−2
=[ −12(x−2)2=(−0)−(−12 )=12 → 5 |
∞∫01(x+1)3 dx=∞∫0 (x+1)−3dx=[1−2 (x+1)−2
=[ −12(x+1)2=(−0)−(−12 )=12 → 3 |
∞∫11x√x dx=∞∫1 x−32dx=[1−12 x−12
=[ −2√x=(−0)−(−2)=2 → 4 |
I=∞∫0 2xe−x2dxとおく
x2=tとおいて置換積分を行う.
|
||||||
1∫013√x2 dx=1∫0 x−23dx=[113 x13
=[ 33√x=3−0=3 → 3 |
||||||
I=∞∫011+x2 dxとおく
x=tan tとおいて置換積分を行う.
sin2t+cos2t=1→1+tan2t=1cos2tだから I=π−2∫0 dt=[ t=π2 → 4 |
極限計算を要する問題
(1) 有限の区間で,区間の端点で関数が有界でない場合
次の広義積分を求めてください.
【問題1.1】
(解答)
を使う
さらに,ロピタルの定理を使って,を示す により だから ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると したがって, |
【問題1.2】
(解答)により だから ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると したがって, |
【問題1.3】
(解答)のとき だから とおく だから |
「積分区間が有限で区間内の幾つかの点で関数が有界でない場合」「積分区間が無限である場合」を各々広義積分,無限積分と用語を分ける場合もあるが,この教材ではこれらをまとめて広義積分と呼ぶことにする.
(2) 積分区間が無限になっている場合
【問題2.1】
(解答)により だから ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると また, したがって, |
【問題2.2】
(解答)により さらに,もう一度部分積分を行う だから (原式)= ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると したがって, (原式)= |
【問題2.3】
(解答)により だから ここで, はの形の不定形の極限だから,ロピタルの定理 によって変形すると したがって, (原式)= |
■[個別の頁からの質問に対する回答][広義積分について/17.6.29]
【数学】Ⅲ-10
=log 1-log12=0-(1-log2)=log2 ではなく、
=log 1-log12=0-(log1-log2)=log2 ですね。
■[個別の頁からの質問に対する回答][広義積分について/17.3.22]
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. H23のⅢ-7の問題は広義積分なのですか?∞が入ってないのですが、、、
私の勘違いでしたら無視して下さい。
=>[作者]:連絡ありがとう.その頁の先頭にまとめていますように,積分区間が有界でない場合 のような場合だけでなく,積分区間が有界でも被積分関数が有界でない場合 のような場合も広義積分に含めて考えます. (なので,関数f(0)が定義されていない) |
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