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○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）
○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます． 問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>mwm48961@uniteddigital.com）に対して行ってください．
平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-13 複素数zに関する２次方程式z2+2iz−2=0の解は，次のどれか．ただし，i=  √−1とする．11±i 2−1±i 3i±1 4−i±1 5解なし 解説
z=a+bi（a, bは実数）とおく
(a+bi)2+2i(a+bi)−2=0より a2+2abi−b2+2ai−2b−2=0 (a2−b2−2b−2)+2(ab+a)i=0 a, bは実数だから a2−b2−2b−2=0…(1) a(b+1)=0…(2) (2)より,（ア）a=0 （イ）b=−1 （ア）の場合
(1)より−b2−2b−2=0
（イ）の場合b2+2b+2=0 → 実数解をもたないから不適
(1)よりa2−1+2−2=0
≪別解≫a2=1 → a=±1 z=±1−i → 4
◆２次方程式の解の公式◆
解の公式により
z=ax2+bx+c=0 (a≠0) → x= −b±√b2−4ac2a
ax2+2b’x+c=0 (a≠0) → x=−b’±√b’2−aca
は，係数a,b,cが虚数（複素数）の場合でも使えます．ただし，根号の中が虚数になるとき，例えばx=1± √iでは，√iは，その２乗がiとなる数√i=±1+i√2と解釈することになります．
−i±√i2+21=−i±1
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◆１の虚数３乗根ωの性質◆
ω3=1, ω2=−ω−1だから
⇒ 特急券：ω3=1を使えば，次数を３次下げられます． ◎特急券と急行券を組み合わせて，次数を下げられるだけ下げてから，値を求めます． ω= −1±√3i2
を直接代入すると複雑な計算になり，計算間違いが多くなります．直接代入するのを避ける工夫が，上記の特急券と急行券です．
2+ω−ω2−2ω4=2+ω−ω2−2ω =2+ω−(−ω−1)−2ω=2+ω+ω+1−2ω=3 → 4 |
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平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11 x=1−2iのとき，x4+2x3−4x2+22x+5の値は次のどれか．ただし，i= √−1とする．11+2i 21+i 30 41 510 解説
※通常，この形の問題では，与えられた複素数が満たす２次方程式を作り，割り算によって次数を下げて考えます．
x=1−2i ⇔ x−1=−2i → (x−1)2=(−2i)2
そこで，x4+2x3−4x2+22x+5をx2−2x+5で割って，商と余りを求めると，商がx2+4x−1で余りが10となるので⇔ x2−2x+1=−4 ⇔ x2−2x+5=0
x4+2x3−4x2+22x+5
ここで，x=1−2iのとき，x2−2x+5=0だから，
=(x2−2x+5)(x2+4x−1)+10=I
I=10 → 5
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平成19年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-12 ３次方程式2x3−7x2+ax−6=0の１つの解が複素数1+iのとき，実数aの値は次のどれか．ただし，i= √−1とする．12 24 36 48 510 解説
(1+i)2=2i, (1+i)3=−2+2iだから
2x3−7x2+ax−6
このときa=10 → 5
≪別解≫･･･「実係数方程式が複素数解をもつならば，その共役複素数もまた解となる」ことを利用する=2(−2+2i)−7(2i)+a(1+i)−6 =−4+4i−14i+a+ai−6 =(−4+a−6)+(4−14+a)i =(a−10)+(a−10)i=0 実係数方程式が複素数α=1+iを解にもつから，その共役複素数β=1−iもまた解となる 
α+β=2, αβ=2だから，解と係数の関係により，これらは２次方程式x2−2x+2=0 の解となる． 割り算を行うと，右のようになりa=10が条件となる
x=1+iが解となる実係数の２次方程式は，次のように求めてもよい
x=1+i ⇔ x−1=i → (x−1)2=i2 ⇔ x2−2x+1=−1 ⇔ x2−2x+2=0 x=1+iのまま２乗すると虚数の係数が残るが，x−1=iのように右辺をiだけにすると，２乗したときに（２次方程式が）実係数となるところがポイント |
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※幾つか実験してみる
(1+i)1=1+i (1+i)2=1+2i−1=2i (1+i)3=(1+i)2i=−2+2i (1+i)4=(2i)2=−4 だから，n=4 → 4 |
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平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11 複素平面上で，z3=1を満たす複素数を３頂点とする三角形の面積は，次のどれか． 1 2√33
23√34
3√3
44√33
53√32解説
ド・モアブルの定理
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ を用いると，１のｎ乗根についての次の公式が得られます．
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ=1
１のｎ乗根は
cos⇔ nθ=2π, 4π, 6π, ... ⇔ θ= 2πn, 4πn, 6πn, ...
2πn+i sin2πn, cos4πn+i sin4πn, cos6πn+i sin6πn, ...
１の３乗根はcos 2π3+i sin2π3=−1+√3i2
cos4π3+i sin4π3=−1−√3i2
1の３個（右図）だから，三角形の面積は 12√3×32=3√34
→ 2 |
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平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-11 ３次方程式z3+i=0の解でiと異なる複素数解は，次のどれか．ただし，i= √−1である．1± √32+i2
2±√32−i2
312±√324− 12±√32i
5±12−√32i
解説
i3=−iだから
z3−i3=0 (z−i)(z2+zi+i2)=0 (z−i)(z2+zi−1)=0 z=i以外の解を，z2+zi−1=0から解の公式で求めると z= −i±√i2+42=−i±√32 → 2
≪別解≫z=cosθ+i sinθとおいて，ド・モアブルの定理 (cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ を用いると z3=−i=i3 より cos 3θ+i sin 3θ=cos 3π2+i sin3π23θ= 3π2, 3π2+2π, 3π2+4πθ= π2, 7π6, 11π6z=cosθ+i sinθ=i, − √32−i2, √32−i2→ 2 |
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ド・モアブルの定理
(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ はnが負の整数の場合でも成り立つ． 1+i= √2(cosπ4+i sinπ4)
だから
(1+i)−8={ √2(cosπ4+i sinπ4) }−8
=124{cos(−2π)+i sin(−2π)}=124 → 2
≪別解≫(1+i)2=1+2i−1=2i (1+i)4=(2i)2=−4 (1+i)8=(−4)2=16 だから (1+i)−8= 116=124 → 2
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複素数自体を計算しなくても|αβ|=|α|·|β|, |
αβ|=|α||β|
を組み合わせて，絶対値だけ求めるとよい．|1+2i|=|1−2i|, |3−i|= √10, |1+i|=√2だから ( √10√2)2=(√5)2=5 → 2
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