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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓定積分
↓同(2)-現在地
↓同(3)
↓定積分で定義される関数
↓面積
↓絶対値付き関数の積分
↓曲線で囲まれた図形の面積(1)
↓曲線で囲まれた図形の面積(2)
↓曲線で囲まれた図形の面積(3)
体積

*** 数学Ⅲ（三角,無理,指数,対数関数を含む） ***
定積分の基本 定積分の置換積分 同(2)

定積分の部分積分 無理関数の定積分

三角関数（絶対値付き）の定積分

limΣと定積分の関係

閉曲線で囲まれた図形の面積 同(2)媒介変数

同(3) 定積分の漸化式 曲線の長さ

*** 高卒向け ***
回転体の体積 広義積分

重積分 簡単な重積分の計算

積分領域が変数に依存する場合の重積分

積分順序の変更 変数変換：ヤコビ行列式

１

２

f(x)Δx＜ΔS＜f(x+Δx)Δx
ゆえに

（この結果はf(x)が増加関数でなくても成り立つ）

※初めて学ぶ人向けの注意※

■　そのまま代入して引くのでなく，(１つの)原始関数(不定積分のCを取ったもの)に代入して引くこと。
　　
■　 F(上) - F(下)　の引く順序を間違わないこと。

■　不定積分に登場する定数Cは定積分では不要：
　(F(b) +C) - (F(a) + C)　としても，引くと消えるので
　F(b) -F(a) となり同じこと。Cがない方がよい。

■　不定積分については，次の公式を使う。
${\displaystyle \int x^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{n+1}}{x}^{n+1}+C}$
と書くこともあります．（同じことを表しています）

【例1】
${\displaystyle {\int }_1^{2}xdx}$

(1) まず，１つの原始関数を求めます（Ｃ＝０の形でよい）
⇒ この問題では${\displaystyle \int xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+0}$
(2) 次に，その原始関数に上端の値，下端の値を代入して引きます．
⇒ ${\displaystyle \frac{4}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

【例2】
${\displaystyle {\int }_0^2{x}^{2}dx}$

(1) まず，１つの原始関数を求めます（Ｃ＝０の形でよい）
⇒ この問題では${\displaystyle \int x^{2}dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+0}$
(2) 次に，その原始関数に上端の値，下端の値を代入して引きます．
⇒ ${\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{0}{3}}$

【例3】
${\displaystyle {\int }_{-1}^1(2x-3)dx}$

(1) まず，１つの原始関数を求めます（Ｃ＝０の形でよい）
⇒ この問題では ${\displaystyle \int (2x-3)dx=x^2-3x+0}$
(2) 次に，その原始関数に上端の値，下端の値を代入して引きます．
⇒ $(1-3)-(1+3)$

【例4】
${\displaystyle {\int }_0^1(x^2-5)dx}$

(1) まず，１つの原始関数を求めます（Ｃ＝０の形でよい）
⇒ この問題では
${\displaystyle \int (x^2-5)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-5x+0}$
(2) 次に，その原始関数に上端の値，下端の値を代入して引きます．
⇒ $({\displaystyle \frac{1^3}{3}}-5)-(0-0)$

クリックして解答すれば採点結果と解説が表示されます．解答しなければ解説は出ません．

(1)
${\displaystyle {\int }_0^{2}3dx}$

解説 やり直す

0 2 4 6

${\displaystyle {\int }_0^{2}3dx=[3x{]}_0^2=6-0=6}$…（答）

(2)
${\displaystyle {\int }_1^{2}xdx}$

解説 やり直す

$1$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ $2$ ${\displaystyle \frac{5}{2}}$

${\displaystyle {\int }_1^{2}xdx=[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}{]}_1^2=2-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}}$…（答）

(3)
${\displaystyle {\int }_{-1}^{2}3x^{2}dx}$

解説 やり直す

6 7 8 9

${\displaystyle {\int }_{-1}^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_{-1}^2=8-(-1)=9}$…（答）

(4)
${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{3}dx}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ ${\displaystyle \frac{3}{4}}$

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{3}dx=[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}{]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{4}}-0={\displaystyle \frac{1}{4}}}$…（答）

(1)
${\displaystyle {\int }_1^2(3x^2-2)dx}$

解説 やり直す

2 3 4 5

${\displaystyle {\int }_1^2(3x^2-2)dx=[x^3-2x{]}_1^2=(8-4)-(1-2)=5}$…（答）

(2)
${\displaystyle {\int }_0^3(2x-5)dx}$

解説 やり直す

−6 −5 −4 −3

${\displaystyle {\int }_0^3(2x-5)dx=[x^2-5x{]}_0^3=(9-15)-(0)=-6}$…（答）

(3)
${\displaystyle {\int }_1^2(x^3-2x)dx}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{4}}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ ${\displaystyle \frac{4}{3}}$

${\displaystyle {\int }_1^2(x^3-2x)dx=[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-x^2{]}_1^2=({\displaystyle \frac{16}{4}}-4)-({\displaystyle \frac{1}{4}}-1)}$
$={\displaystyle \frac{3}{4}}$ …（答）

(4)
${\displaystyle {\int }_{-1}^1(x^2-x+1)dx}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{5}{3}}$ ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ ${\displaystyle \frac{11}{3}}$

${\displaystyle {\int }_{-1}^1(x^2-x+1)dx=[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+x{]}_{-1}^1}$
$=({\displaystyle \frac{1}{2}}+1)-(-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-1)={\displaystyle \frac{8}{3}}$ …（答）

wxMaximaを使って積分計算の検算を行う方法

i) 不定積分（原始関数）の形を確かめるには
メニュー画面から，微積分→積分と選び，関数の欄に x^2-2*x と書き込む
（2x ではなく 2*x と書く←間違いやすい）
OKボタンをクリック
⇒ ${\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2$になる

ii) さらに，区間 1≦x≦2 の定積分を求めるには
上記の入力欄 %i1 などにカーソルを合わせて，第３引数の1と第４引数の2を追加する
integrate(x^2-2*x, x,1,2);
としてから，Shift+Enter
⇒ $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$になる

※原始関数の形を確かめる必要がなければ，上記の手順を１つにまとめて
メニュー画面から，微積分→積分と選び，関数の欄に x^2-2*x と書き込み，
定積分の欄にチェックを入れる→下端 1，上端 2　としてOKボタンをクリック