PC用は別頁
※高校数学Ⅲの「定積分」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください.  が現在地です.
定積分の基本
定積分の置換積分
同(2)
定積分の部分積分
無理関数の定積分
三角関数の定積分
三角関数(絶対値付き)の定積分-現在地
limΣと定積分(区分求積法)
同(2)入試問題
閉曲線で囲まれた図形の面積
同(2)媒介変数
同(3)
定積分の漸化式
体積,表面積
曲線の長さ
定積分で定義される関数
応用問題

== 三角関数の定積分(絶対値付き) ==

【基本の公式】
.π20wwwsinx dx=1…(1)
.π0wwwsinx dx=2…(2)
.π−πwwwsinx dx=0…(3)
.π−πwwwsinnx dx=0 (n=1,2,3,...)…(4)
(解説)
図で示せば:

Aの部分の面積が1
(1)←
計算で示せば:
.π20wwwsinx dx=[ncosx
.=(−0)−(−1)=1


図で示せば:

ABの面積は等しいから合計は2
(2)←
計算で示せば:
.π0wwwsinx dx=[ncosx
.={−(−1) }−(−1)=2


図で示せば:

A,B,C,Dの面積は等しいが,符号が逆になっておりC=D=−A=−Bだから,これらを単純に足せば0になる
(3)←
計算で示せば:
.π−πwwwsinx dx=[ncosx
.={−(−1) }{−(−1) }=0



(4)←
 はじめに,y=sinnxのグラフはy=sinxのグラフを横方向にn倍に引き延ばしたものではなく,n分の1に縮めたものになることに注意しましょう.
この点について,高校生には思い違いが多いので,詳しく述べると
x 0 .π6n .π4n .π3n .π2n .3nn .4nn .6nn π
sin x 0 .12n ..2√ni2nn ..3√ni2nn 1 ..3√ni2nn ..2√ni2nn .12n 0
2x 0 .π3n .π2n .3nn π .3nn .2nn .3nn
sin 2x 0 ..3√ni2nn 1 ..3√ni2nn 0 ..3√ni2nn −1 ..3√ni2nn 0
3x 0 .π2n .4nn π .2nn .4nn .2nn
sin 3x 0 1 ..2√ni2nn 0 −1 0 1 ..2√ni2nn 0
表のように,
x=.π2nのときsinx=1で山に達しますが
x=.π4nのとき2x=.π2n , sin2x=1となって山に達します
さらに
x=.π6nのとき3x=.π2n , sin3x=1となって山に達します
 一般に,y=sinnxとなっている場合には,nxという角度がn倍速く進むので,y=sinxのグラフを横にn分の1に縮めたものになります.
(4)式に戻ると,−π≦x≦πの区間にn=2の場合は,山と谷が2つずつでき,n=3の場合は,山と谷が3つずつできるので,定積分の値は0になります.一般に,y=sinnxとなっているときも同様です.
計算で示せば:
.π−πwwwsinnx dx=[n.cosnxnnnnnn
nが偶数のとき:(−.1nn)−(−.1nn)=0
nが奇数のとき:(.1nn)−(.1nn)=0
となって,いずれの場合も0になります.

【基本の公式】
.π20wwwcosx dx=1…(5)
.π0wwwcosx dx=0…(6)
.π−πwwwcosx dx=0…(7)
.π−πwwwcosnx dx=0 (n=1,2,3,...)…(8)
(解説)
図で示せば:

Aの部分の面積が1
(1)←
計算で示せば:
.π20wwwcosx dx=[nsinx
.=(1)−(0)=1


図で示せば:

B=−Aだから和は0
(2)←
計算で示せば:
.π0wwwcosx dx=[nsinx
.=(0)−(0)=0


図で示せば:

B=D=−A=−Cだから,これらを単純に足せば0になる
(3)←
計算で示せば:
.π−πwwwcosx dx=[nsinx
.=(0)−(0)=0


(4)←
図で示せば
一般に,y=cosnxとなっている場合には,nxという角度がn倍速く進むので,y=cosxのグラフを横にn分の1に縮めたものになります.

計算で示せば:
.π−πwwwcosnx dx=[n.sinnxnnnnnn=0−0=0

■絶対値付きの定積分■
【例1】
.π0www|cosx|dxの値を求めてください.
(解答)
被積分関数に絶対値が付いているときは,区間を場合分けして絶対値記号を外して計算するのが基本です.
0≦x≦.π2ncosx≧0
.π2n≦x≦πcosx≦0
だから
.π0www|cosx|dx=π20www|cosx|dx+ππ2www|cosx|dx
図のA=1 , B=−1
Bの部分を上にひっくり返してB'=1を使うと,A+B'=2になる.
.=π20wwwcosxdx+ππ2www(−cosx)dx
.=[nsinx+[nsinx
.=(1−0)+(0−(−1))=2
※高校生のごく初歩的な間違いとして
.π0wwwcosxdxを計算してから絶対値を付けようとする
答案がよくありますが,上記の(6)で示したように,これでは0になって消えてしまいます.

※一般にbawww|f(x)|dx |bawwwf(x)dx|は違うので注意
【例2】
.π20www |sinx−cosx|dxの値を求めてください.
(解答)
sin.π4n=cos.π4n=..2√ni2nn
0≦x≦.π4ncosx≧sinx
.π4n≦x≦.π2ncosx≦sinx
.π20www |sinx−cosx|dx
.=π40www (cosx−sinx)dx+π2π4www (sinx−cosx)dx
.=[nsinx−cosx+[ncosx−sinx
.=(..2√ni2nn+..2√ni2nn)−(1)+{ (−1)−(−..2√ni2nn..2√ni2nn) }
.=2.2√ni−2
【例3】
.π20www |3sinx−4cosx|dxの値を求めてください.
(解答)
既知の角度を用いてx>.πnn, x<.πnn
のように書くことができないときでも,その角度を記号定数αなどで表して計算し,結果が出てから戻せばよい.1

◇三角関数の合成とグラフの平行移動が分かる場合
3sinx−4cosx=.32+42√nnnnni(sin.35ncos.45n)
.=5(sin.35ncos.45n)
と変形する.ここで図1のような角αを考えると
図1
.sinα=.45n , cosα=.35n
となるから
3sinx−4cosx=5(sinxcosα−cosxsinα)
.=5sin(x−α)
このグラフは,y=5sinxのグラフを右にαだけ平行移動したものだから,図2(を縦に5倍に引き延ばしたもの)のようになる.
図2
x=α5sin(x−α)=0
0≦x≦α5sin(x−α)≦0
α≦x≦.π2n5sin(x−α)≧0
.π20www |3sinx−4cosx|dx
.=π20www |5sin(x−α)|dx
.=−5α0www sin(x−α)dx+5π2αwww sin(x−α)dx
.=5[ncos(x−α)−5[ncos(x−α)
.=5{cos0−cos(−α)}−5{cos(.π2n−α)−cos0}
ここで
cos0=1,cos(−α)=cosα=.35n,cos(.π2n−α)=sinα=.45n
だから
(原式)=5{1−.35n}−5{.45n−1}=5−3−4+5=3
◇三角関数の合成やグラフの平行移動に自信がない場合
それぞれ図のようなグラフになるから
交点のx座標をαとおくと
.3sinα=4cosαから
.tanα=.43n
上の図1のような三角形で考えると,
.sinα=.45n , cosα=.35n
x=α3sinx=4cosx
0≦x≦α3sinx≦4cosx
α≦x≦.π2n3sinx≧4cosx
(原式)=α0www (−3sinx+4cosx)dx+π2αwww (3sinx−4cosx)dx
=[n3cosx+4sinx+[n−3cosx−4sinx
={(3cosα+4sinα)−(3+0)}+{(0−4)−(−3cosα−4sinα)}
=6cosα+8sinα−7=6×.35n+8×.45n−7=3

次の定積分の値を求めてください.
※正しい選択肢の番号をクリックしてください.
 なお,暗算ではできませんので,別途計算用紙と筆記用具が必要です.
【問題1】
.π20www |sinx−.12n|dx
1.2√ni+.π2n−1 2.2√ni.π2n+1
3.3√ni.π12nn−1 4.3√ni.π12nn+1

【問題2】
.π20www |sinx−sin2x|dx
1.12n 2.13n 3.π2n 4.π3n

【問題3】
.π20www |2sinx−.5√nicosx|dx
12+.5√ni 2−2+.5√ni
34+.5√ni 44−.5√ni


 次のプログラムは,台形公式を使った数値積分によって,コンピュータを使って定積分の値を計算するものです.
 結果は小数第4位までの近似値で示されますが,各自の解答と近い値になれば,よい裏付けと見なせます.
≪付録1≫
.π20www |asinx−bcosx|dx
の値を計算します.a, b (≠0)の値を入力して,[計算する]ボタンを押してください.
(分数は 1/3, -2/3のように記入.平方根の場合は,例えば,.5√niなら2.236のように近似値で記入)
.a=, b=

計算するやり直す
.π20www |asinx−bcosx|dx=
≪付録2≫
.π0www |asinx−bcosx|dx
の値を計算します.(使用方法は1と同様)
.a=, b=

計算するやり直す
.π0www |asinx−bcosx|dx=
≪付録3≫
.βαwww |asinmx+bcosnx|dx
の値を計算します.(使用方法は1と同様)
.α=, β=
.a=, b=
.m=, n=
計算するやり直す
.βαwww |asinmx+bcosnx|dx=
≪付録4≫
.βαwww |asinmx+bsinnx|dx
の値を計算します.(使用方法は1と同様)
.α=, β=
.a=, b=
.m=, n=
計算するやり直す
.βαwww |asinmx+bsinnx|dx=
≪付録5≫
.βαwww |acosmx+bcosnx|dx
の値を計算します.(使用方法は1と同様)
.α=, β=
.a=, b=
.m=, n=
計算するやり直す
.βαwww |acosmx+bcosnx|dx=

...(携帯版)メニューに戻る

...(PC版)メニューに戻る

■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の定積分(絶対値付き)について/18.8.6]
問題1の解説で、積分されていないです。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました.

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△
【 アンケート送信 】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

この頁について,良い所,悪い所,間違いの指摘,その他の感想があれば送信してください.
○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています.
○感想の内で,どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては,可能な限り対応するようにしています.(※なお,攻撃的な文章になっている場合は,それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので,採用しません.)


質問に対する回答の中学版はこの頁,高校版はこの頁にあります