![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「定積分」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓定積分の基本 ↓定積分の置換積分 ↓同(2) ↓定積分の部分積分 ↓無理関数の定積分 ↓三角関数の定積分 ↓三角関数(絶対値付き)の定積分-現在地 ↓limΣと定積分(区分求積法) ↓同(2)入試問題 ↓閉曲線で囲まれた図形の面積 ↓同(2)媒介変数 ↓同(3) ↓定積分の漸化式 ↓体積,表面積 ↓曲線の長さ ↓定積分で定義される関数 応用問題 |
【基本の公式】
(解説)π−2∫0sinx dx=1…(1) π∫0sinx dx=2…(2) π∫−πsinx dx=0…(3) π∫−πsinnx dx=0 (n=1,2,3,...)…(4)
図で示せば:
(1)←![]() Aの部分の面積が1 計算で示せば: π−2∫0sinx dx=[ −cosx =(−0)−(−1)=1
図で示せば:
(2)←![]() AとBの面積は等しいから合計は2 計算で示せば: π∫0sinx dx=[ −cosx ={−(−1) }−(−1)=2
図で示せば:
(3)←![]() A,B,C,Dの面積は等しいが,符号が逆になっておりC=D=−A=−Bだから,これらを単純に足せば0になる 計算で示せば: π∫−πsinx dx=[ −cosx ={−(−1) }−{−(−1) }=0 |
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(4)← はじめに,y=sinnxのグラフはy=sinxのグラフを横方向にn倍に引き延ばしたものではなく,n分の1に縮めたものになることに注意しましょう.
この点について,高校生には思い違いが多いので,詳しく述べると
(4)式に戻ると,−π≦x≦πの区間にn=2の場合は,山と谷が2つずつでき,n=3の場合は,山と谷が3つずつできるので,定積分の値は0になります.一般に,y=sinnxとなっているときも同様です.
x= ![]() x= ![]() ![]() さらに x= ![]() ![]() ![]() ![]() 計算で示せば: π∫−πsinnx dx=[ − ![]()
nが偶数のとき:(−
となって,いずれの場合も0になります.
![]() ![]() nが奇数のとき:( ![]() ![]() |
【基本の公式】
(解説)π−2∫0cosx dx=1…(5) π∫0cosx dx=0…(6) π∫−πcosx dx=0…(7) π∫−πcosnx dx=0 (n=1,2,3,...)…(8)
図で示せば:
(1)←![]() Aの部分の面積が1 計算で示せば: π−2∫0cosx dx=[sinx =(1)−(0)=1
図で示せば:
(2)←![]() B=−Aだから和は0 計算で示せば: π∫0cosx dx=[sinx =(0)−(0)=0 |
図で示せば:
(3)←![]() B=D=−A=−Cだから,これらを単純に足せば0になる 計算で示せば: π∫−πcosx dx=[sinx =(0)−(0)=0 (4)← 図で示せば ![]()
一般に,y=cosnxとなっている場合には,nxという角度がn倍速く進むので,y=cosxのグラフを横にn分の1に縮めたものになります.
計算で示せば:
π∫−πcosnx dx=[![]() |
■絶対値付きの定積分■
【例1】
(解答)π∫0|cosx|dxの値を求めてください.
被積分関数に絶対値が付いているときは,区間を場合分けして絶対値記号を外して計算するのが基本です.
![]() ![]() ![]() だから π∫0|cosx|dx=π−2∫0|cosx|dx+π∫π−2|cosx|dx
図のA=1 , B=−1
=π−2∫0cosxdx+π∫π−2 (−cosx)dxBの部分を上にひっくり返してB'=1を使うと,A+B'=2になる. =[sinx+[ −sinx =(1−0)+(0−(−1))=2
※高校生のごく初歩的な間違いとして
π∫0cosxdxを計算してから絶対値を付けようとする 答案がよくありますが,上記の(6)で示したように,これでは0になって消えてしまいます. ※一般にb∫a|f(x)|dx ![]() |
【例2】
(解答)π−2∫0 |sinx−cosx|dxの値を求めてください. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 0≦x≦ ![]() ![]() ![]() π−2∫0 |sinx−cosx|dx =π−4∫0 (cosx−sinx)dx+π−2∫π−4 (sinx−cosx)dx =[sinx−cosx+[ −cosx−sinx =( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =2 ![]() |
【例3】
(解答)π−2∫0 |3sinx−4cosx|dxの値を求めてください.
既知の角度を用いてx>
![]() ![]() のように書くことができないときでも,その角度を記号定数αなどで表して計算し,結果が出てから戻せばよい.1 ◇三角関数の合成とグラフの平行移動が分かる場合 3sinx−4cosx= ![]() ![]() ![]() =5(sinx× ![]() ![]() と変形する.ここで図1のような角αを考えると
図1
sinα=![]() ![]() ![]() となるから 3sinx−4cosx=5(sinxcosα−cosxsinα) =5sin(x−α) このグラフは,y=5sinxのグラフを右にαだけ平行移動したものだから,図2(を縦に5倍に引き延ばしたもの)のようになる.
図2
![]()
x=α→5sin(x−α)=0
π−2∫0 |3sinx−4cosx|dx0≦x≦α→5sin(x−α)≦0 α≦x≦ ![]() =π−2∫0 |5sin(x−α)|dx =−5α∫0 sin(x−α)dx+5π−2∫α sin(x−α)dx =5[cos(x−α)−5[cos(x−α) =5{cos0−cos(−α)}−5{cos( ![]() ここで cos0=1,cos(−α)=cosα= ![]() ![]() ![]() だから (原式)=5{1− ![]() ![]() |
◇三角関数の合成やグラフの平行移動に自信がない場合![]() 交点のx座標をαとおくと 3sinα=4cosαから tanα= ![]() 上の図1のような三角形で考えると, sinα= ![]() ![]()
x=α→3sinx=4cosx
(原式)=α∫0 (−3sinx+4cosx)dx+π−2∫α (3sinx−4cosx)dx0≦x≦α→3sinx≦4cosx α≦x≦ ![]() =[ 3cosx+4sinx+[ −3cosx−4sinx ={(3cosα+4sinα)−(3+0)}+{(0−4)−(−3cosα−4sinα)} =6cosα+8sinα−7=6× ![]() ![]() |
次の定積分の値を求めてください.
※正しい選択肢の番号をクリックしてください.
なお,暗算ではできませんので,別途計算用紙と筆記用具が必要です. |
![]() ![]() ![]() 0≦x≦ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() だからsinxと ![]() π−2∫0 |sinx− ![]() =π−6∫0 ( ![]() ![]() =[ ![]() ![]()
={(
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() |
![]() sinx=sin2x→sinx=2sinxcosx sinx(2cosx−1)=0 cosx= ![]() ![]() 0≦x≦ ![]() ![]() ![]() だから π−2∫0 |sinx−sin2x|dx =π−3∫0 (sin2x−sinx)dx+π−2∫π−3 (sinx−sin2x)dx =[ − ![]() ![]()
=
![]() |
![]() ![]() 2sinx= ![]() ![]() ![]() (tanα= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 0≦x≦α→2sinx≦ ![]() α≦x≦ ![]() ![]() だから π−2∫0 |2sinx− ![]() =α∫0 ( ![]() ![]() =[ ![]() ![]() ={( ![]() +{(−0− ![]() ![]() =2 ![]() ![]()
=2
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =4− ![]() |
次のプログラムは,台形公式を使った数値積分によって,コンピュータを使って定積分の値を計算するものです. 結果は小数第4位までの近似値で示されますが,各自の解答と近い値になれば,よい裏付けと見なせます. ![]()
≪付録1≫
π−2∫0 |asinx−bcosx|dx の値を計算します.a, b (≠0)の値を入力して,[計算する]ボタンを押してください. (分数は 1/3, -2/3のように記入.平方根の場合は,例えば, ![]()
≪付録2≫
π∫0 |asinx−bcosx|dx の値を計算します.(使用方法は1と同様) |
≪付録3≫
β∫α |asinmx+bcosnx|dx の値を計算します.(使用方法は1と同様)
≪付録4≫
β∫α |asinmx+bsinnx|dx の値を計算します.(使用方法は1と同様)
≪付録5≫
β∫α |acosmx+bcosnx|dx の値を計算します.(使用方法は1と同様) |
![]() ![]() |
■[個別の頁からの質問に対する回答][三角関数の定積分(絶対値付き)について/18.8.6]
問題1の解説で、積分されていないです。
=>[作者]:連絡ありがとう.訂正しました. |
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