閉曲線で囲まれた図形の面積

...(�ｰ�｣迚�)繝｡繝九Η繝ｼ縺ｫ謌ｻ繧�
*** 遘醍岼 ***
謨ｰ竇�繝ｻ�｡謨ｰ竇｡繝ｻ�｢謨ｰ竇｢鬮伜穀繝ｻ螟ｧ蟄ｦ蛻晏ｹｴ蠎ｦ
*** 蜊伜� ***
隍�ｴ�謨ｰ蟷ｳ髱｢莠梧ｬ｡譖ｲ邱�蟐剃ｻ句､画焚陦ｨ遉ｺ縺ｨ讌ｵ蠎ｧ讓�
謨ｰ蛻励�讌ｵ髯�髢｢謨ｰ蟆朱未謨ｰ荳榊ｮ夂ｩ榊�螳夂ｩ榊�
陦悟�1谺｡螟画鋤

窶ｻ鬮俶�｡謨ｰ蟄ｦ竇｢縺ｮ縲悟ｮ夂ｩ榊�縲�縺ｫ縺､縺�※�後％縺ｮ繧ｵ繧､繝医↓縺ｯ谺｡縺ｮ謨呎攝縺後≠繧翫∪縺呻ｼ�
縺薙�鬆√∈Google繧ШAHOO ! 縺ｪ縺ｩ縺ｮ讀懃ｴ｢縺九ｉ逶ｴ謗･譚･縺ｦ縺励∪縺｣縺溘�縺ｧ縲悟燕謠舌→縺ｪ縺｣縺ｦ縺�ｋ蜀�ｮｹ縺悟�縺九ｉ縺ｪ縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医ｄ縲後％縺ｮ鬆√�蛻�°縺｣縺溘′繧ゅ▲縺ｨ蠢懃畑蝠城｡後ｒ隕九◆縺�阪→縺�≧蝣ｴ蜷医��御ｻ悶�鬆√ｒ隕九※縺上□縺輔＞��縲縺檎樟蝨ｨ蝨ｰ縺ｧ縺呻ｼ�

竊�螳夂ｩ榊�縺ｮ蝓ｺ譛ｬ

竊�螳夂ｩ榊�縺ｮ鄂ｮ謠帷ｩ榊�
竊�蜷�(2)

竊�螳夂ｩ榊�縺ｮ驛ｨ蛻�ｩ榊�
竊�辟｡逅�未謨ｰ縺ｮ螳夂ｩ榊�

竊�荳芽ｧ帝未謨ｰ縺ｮ螳夂ｩ榊�
竊�荳芽ｧ帝未謨ｰ�育ｵｶ蟇ｾ蛟､莉倥″�峨�螳夂ｩ榊�
竊�limﾎ｣縺ｨ螳夂ｩ榊��亥玄蛻�ｱらｩ肴ｳ包ｼ�
竊�蜷�(2)蜈･隧ｦ蝠城｡�

竊�髢画峇邱壹〒蝗ｲ縺ｾ繧後◆蝗ｳ蠖｢縺ｮ髱｢遨�-迴ｾ蝨ｨ蝨ｰ
竊�蜷�(2)蟐剃ｻ句､画焚
竊�蜷�(3)

竊�螳夂ｩ榊�縺ｮ貍ｸ蛹門ｼ�

竊�菴鍋ｩ�,陦ｨ髱｢遨�
竊�譖ｲ邱壹�髟ｷ縺�

竊�螳夂ｩ榊�縺ｧ螳夂ｾｩ縺輔ｌ繧矩未謨ｰ

蠢懃畑蝠城｡�

*** 数学Ⅱ（多項式まで） ***

定積分

同(3)

面積

*** 高卒向け ***

広義積分

重積分

== 閉曲線で囲まれた図形の面積 ==

【基本】
　右図のような図形の面積は，

S=b∫awww{ f(x)−g(x) }dx

で求められます．

【例１】
　円x2+y2=4の面積

　円x2+y2=4の方程式をyについて解くと，
y=±.

√22−x2√nnnnni
となるので，この円の面積は

S=2∫−2www{ .

√22−x2√nnnnni−(−.

√22−x2√nnnnni) }dx

=2∫−2www2.

√22−x2√nnnnnidx

で求められますが，結果は4πになります．

【図で考えると楽になる計算…半円の面積】

定数a>0のとき，

.a∫−awww.

√a2−x2√nnnnnidx…(1)

をていねいに計算しようとすると，下記の参考のような計算を行うことになり，この変形を毎回行うのは大変です．

　図で考えると，(1)は右図のような半円の面積を表しており

.a∫−awww.

√a2−x2√nnnnnidx=.

πa22nn

とすることができます．

なお，この計算がこのように簡単になるのは，積分区間が−a≦x≦aという形で，「半円の全部」になっている場合であることに注意してください．

.a/2∫−a/2www.

√a2−x2√nnnnnidx

のような場合は，これほど簡単にはなりません．

（参考）…置換積分によって上記の(1)を計算する方法

変形の要点
1−sin2t=cos2tだから
cost>0のとき，.

√1−sin2t√nnnnnnni=costとなることに目を付けると
x=asintと置けば
.

√a2−a2sin2t√nnnnnnnnni=acostとなって，根号がはずれます．

I=a∫−awww.

√a2−x2√nnnnnidxを計算するために

x=asintとおけば

x	−a→a
t	−.π2n→.π2n

dxdtnn=acost → dx=acostdt

I=π/2∫−π/2www..

√1−sin2t√nnnnnnniacostdt

−.

π2n≦t≦.

π2nのときcost>0だから

I=π/2∫−π/2www.a2cos2tdt=a2π/2∫−π/2www..

1+cos2t2nnnnnnndt=.

πa22nn

【例２】
　閉曲線2x2−2xy+y2=4によって囲まれた図形の面積

y2−2xy+(2x2−4)=0を解の公式を用いてyについて解くと
y=x±.

√(−x)2−(2x2−4)√nnnnnnnnnnnni=x±.

√4−x2√nnnni

となる．

4−x2≧0から定義域は−2≦x≦2
グラフは，y=xに半円y=.

√4−x2√nnnniを足したもの，及び引いたものだから

この閉曲線で囲まれた図形の面積は

S=2∫−2www{ (x+.

√4−x2√nnnni)−(x−.

√4−x2√nnnni) }dx

=22∫−2www.

√4−x2√nnnnidx=4π

となって，【例１】と同じになります．

計算上はxが差し引きで消えてしまうせいです．
図形上は，（上）：x+.

√4−x2√nnnniも（下）：x−.

√4−x2√nnnniも .

√4−x2√nnnniと−.

√4−x2√nnnniから同じ分量xだけ持ち上げているので，面積は元の円と等しいということになります．

（参考）
左で述べた

S=b∫awww{ f(x)−g(x) }dx

は，絶対的なものではありません．右図のように縦に切ると幾つもの区間に場合分けしなければならず，横に切れば場合分けが簡単になるときは
x=の形に解きなおして，右（大きい方）をx=p(y)，左（小さい方）をx=q(y)すると，

S=β∫αwww{ p(y)−q(y) }dy

で求められます．
　【例１】の円では，縦に切っても横に切っても切り口は２本の線になるので，よく使う縦に切る方法で解説しています．

【問題１】
　次の定積分の値を求めてください．

.3∫−3www.

√9−x2√nnnnidx解説

3π .

3π2nn 9π .

9π2nn

右図のような半円の面積が

.3∫−3www.

√9−x2√nnnnidx

だから，.

9π2nn…（答）

置換積分を用いて厳密にていねいに計算してもできるが，（解き方が指定されていなければ）図を見て簡単に求めてもよい．

【問題２】
　閉曲線5x2−4xy+y2=4で囲まれた図形の面積を求めてください．解説

π 2π 4π 8π

y2−4xy+(5x2−4)=0を解の公式を用いてyについて解くと
y=2x±.

√(−2x)2−(5x2−4)√nnnnnnnnnnnnni=2x±.

√4−x2√nnnni (−2≦x≦2)

となる．

4−x2≧0から定義域は−2≦x≦2

この閉曲線で囲まれた図形の面積は

S=2∫−2www{ (2x+.

√4−x2√nnnni)−(2x−.

√4−x2√nnnni) }dx

=22∫−2www.

√4−x2√nnnnidx

となって，【例１】と同様に，原点を中心とする半径2の円の面積だから4πになります．

【問題３】
　閉曲線2x2+2xy+y2=1で囲まれた図形の面積を求めてください．解説

π 2π 4π 8π

y2+2xy+(2x2−1)=0を解の公式を用いてyについて解くと
y=−x±.

√1−x2√nnnni (−1≦x≦1)

となる．

1−x2≧0から定義域は−1≦x≦1

この閉曲線で囲まれた図形の面積は

S=1∫−1www{ (−x+.

√1−x2√nnnni)−(−x−.

√1−x2√nnnni) }dx

=21∫−1www.

√1−x2√nnnnidx

となって，原点を中心とする半径1の円の面積だからπになります．

【例３】
S=4∫−2www.

√8+2x−x2√nnnnnnnnidx

この問題のように，xの項を含む場合は，平方完成により

S=4∫−2www.

√−(x2−2x)+8√nnnnnnnnnnidx

=4∫−2www.

√−{(x−1)2−1}+8√nnnnnnnnnnnnnidx

=4∫−2www.

√9−(x−1)2√nnnnnnnnidx

と変形すると

x−1=tとおく置換積分により

x	−2→2
t	−3→3

dxdtnn=1 → dx=dt

S=3∫−3www.

√9−t2√nnnnidtとなって，

原点を中心とする半径3の上半円の面積になるから

S=.

9π2nnと求められます．

【例４】

S=**∫**www.

√c+bx−a2x2√nnnnnnnnnnidx (a>0)

この問題のように，x2の項に係数が付いている場合は

S=a**∫**www.

√e+dx−x2√nnnnnnnnidx

と変形することにより，左の【例３】と同様に（半）円の面積と結びつけることができます．

S=0∫−2www.

√−8x−4x2√nnnnnnnidxを求めるには

S=20∫−2www.

√−2x−x2√nnnnnnidx=20∫−2www.

√−(x2+2x)√nnnnnnnnidx

=20∫−2www.

√−{(x+1)2−1}√nnnnnnnnnnnidx

=20∫−2www.

√1−(x+1)2√nnnnnnnnidx

x+1=tとおく置換積分により

x	−2→0
t	−1→1

dxdtnn=1 → dx=dt

S=21∫−1www.

√1−t2√nnnnidt=π

【問題４】
　次の定積分の値を求めてください．

.5∫1www.

√−x2+6x−5√nnnnnnnnnidx解説

π 2π 3π 4π

5∫1www.

√−x2+6x−5√nnnnnnnnnidx=5∫1www.

√−(x2−6x)−5√nnnnnnnnnnnidx

=5∫1www.

√−{(x−3)2−9}−5√nnnnnnnnnnnnnidx=5∫1www.

√4−(x−3)2√nnnnnnnnidx=Iとおく

x−3=tとおくと置換積分により

x	1→5
t	−2→2

dxdtnn=1 → dx=dt

I=2∫−2www.

√4−t2√nnnnidt（半径2の円の上半分だから）=2π

【問題５】
　閉曲線5x2+2xy+y2−16x+12=0で囲まれた図形の面積を求めてください．解説

π 2π 4π 8π

y2+2xy+(5x2−16x+12)=0を解の公式を用いてyについて解くと，y=−x±.

√−4x2+16x−12√nnnnnnnnnnnni=−x±2.

√−x2+4x−3√nnnnnnnnni
　定義域は，−x2+4x−3≧0から1≦x≦3
この閉曲線で囲まれた図形の面積は

S=3∫1www{ (−x+2.

√−x2+4x−3√nnnnnnnnni)−(−x−2.

√−x2+4x−3√nnnnnnnnni) }dx

=43∫1www.

√−x2+4x−3√nnnnnnnnnidx=43∫1www.

√−(x2−4x)−3√nnnnnnnnnnnidx

=43∫1www.

√−{(x−2)2−4)−3√nnnnnnnnnnnnnidx=43∫1www.

√1−(x−2)2√nnnnnnnnidx

x−2=tとおくと置換積分により

x	1→3
t	−1→1

dxdtnn=1 → dx=dt

43∫1www.

√1−(x−2)2√nnnnnnnnidx=41∫−1www.

√1−t2√nnnnidt

となって，原点を中心とする半径1の半円の面積×4=2πになります．

【問題６】（少し難しい）
　a<bのとき，次の定積分の値を求めてください．

.b∫awww.

√(x−a)(b−x)√nnnnnnnnnnidx解説

π(b−a)2 .

12nπ(b−a)2 .

14nπ(b−a)2 .

18nπ(b−a)2

（図形的な意味）
次の図において
∠AQB=90°, △APQ∽△QPB → AP:PQ=PQ:PBとなることから
(x−a):y=y:(b−x)

y=.

√(x−a)(b−x)√nnnnnnnnnni

になり，与えられた積分はx=a, x=bを直径の両端とする半円の面積になります．

　半径r=.

b−a2nnnの半円の面積になるから

S=.

12nπ(.

b−a2nnn)2=.

π8n(b−a)2

（式の変形だけで示すには，かなり長い変形を要します･･･以下は要点）

S=b∫awww.

√(x−a)(b−x)√nnnnnnnnnnidx

とおき，根号内を平方完成します．
(x−a)(b−x)=−x2+(a+b)x−ab=−{x2−(a+b)x}−ab

=−{(x−.

a+b2nnn)2−(.

a+b2nnn)2}−ab=−(x−.

a+b2nnn)2+(.

b−a2nnn)2

ここで

a+b2nnn=p , .

b−a2nnn=r

とおくと

S=b∫awww.

√r2−(x−p)2√nnnnnnnnidx

x−p=tの置換積分により

S=r∫−rwww.

√r2−t2√nnnnnidt

となって，半径r=.

b−a2nnnの半円の面積になるから

S=.

12nπ(.

b−a2nnn)2=.

π8n(b−a)2

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積について／18.8.8］

問題5の定義域は、1≦x≦3ではなく、-1≦x≦-3では。そのため、答えも異なるので問題の訂正が必要かと

＝＞［作者］：連絡ありがとう．-1≦x≦-3ということはありません（-1が-3よりも小さい［以下］ということはない）．左図のようになりますので，元の答案で正しいです．2次不等式の解き方があなたの弱点ですので簡単に復習しておくとよいでしょう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[閉曲線で囲まれた図形の面積について／18.8.7］

例1のS=の式で、-(-√2^2-x^2なのに、-(√2^2-x^2になっています
＝＞［作者］：連絡ありがとう．元のままだと消えてなくなりますので，訂正しました．

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�ｵ郢ｧ�､郢昜ｺ･�ｽ邵ｺ�ｮGoogle隶諛�ｽｴ�｢隨�ｿｽ

隨�ｽｳ邵ｺ阮呻ｿｽ郢晏｣ｹ�ｽ郢ｧ�ｸ邵ｺ�ｮ陷育｣ｯ�ｽ�ｭ邵ｺ�ｫ隰鯉ｽｻ郢ｧ驫辟｡邵ｲ�ｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晉｣ｯﾂ竏ｽ�ｿ�｡邵ｲ�ｽ
… 邵ｺ阮呻ｿｽ郢ｧ�｢郢晢ｽｳ郢ｧ�ｱ郢晢ｽｼ郢晏現�ｽ隰ｨ蜻取駁隰ｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｽ陷ｿ繧環�ｽ竊鍋ｸｺ霈披雷邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ髦ｪ竏ｪ邵ｺ�ｽ

隨�ｿｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯��竊鍋ｸｺ�､邵ｺ�ｽ窶ｻ�ｽ迹壽�邵ｺ�ｽ蝨抵ｿｽ譴ｧ縺檎ｸｺ�ｽ蝨抵ｿｽ遒∽ｿ｣鬩戊ｼ費ｼ樒ｸｺ�ｮ隰厄ｿｽ驕ｭ�ｽ蠕娯落邵ｺ�ｮ闔画じ�ｽ隲｢貊鳶ｦ邵ｺ蠕娯旺郢ｧ蠕鯉ｿｽ鬨ｾ竏ｽ�ｿ�｡邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ荳岩味邵ｺ霈費ｼ橸ｿｽ�ｽ

隨ｳ蛹ｺ譫夐��ｽ邵ｺ�ｮ陟厄ｽ｢郢ｧ蛛ｵ��邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖ｫ｢貊鳶ｦ邵ｺ�ｯ陷茨ｽｨ鬩幢ｽｨ髫ｱ�ｭ邵ｺ�ｾ邵ｺ蟶吮ｻ郢ｧ繧�ｽ臥ｸｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ�ｽ
隨ｳ蛹ｺ笏隲��ｳ邵ｺ�ｮ陷�ｽ縲抵ｿｽ蠕娯�邵ｺ�ｮ陜�蝓趣ｽ｡蠕娯ｲ邵ｺ�ｩ邵ｺ�ｽ縲堤ｸｺ繧�夢邵ｺ貅伉ｰ郢ｧ蜻茨ｽｭ�｣驕抵ｽｺ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｧ闔ｨ譏ｴ竏ｴ邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ笳�ｸｺ�ｽ邵ｺ�ｽ笳�ｬｾ�ｹ陜滂ｿｽ�ｦ竏ｵ謔咲ｸｺ�ｫ陝�ｽｾ邵ｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｯ�ｽ謔溷ｺ�妙�ｽ邵ｺ�ｪ鬮ｯ闊鯉ｽ願汞�ｾ陟｢諛岩�郢ｧ荵晢ｽ育ｸｺ�ｽ竊鍋ｸｺ蜉ｱ窶ｻ邵ｺ�ｽ竏ｪ邵ｺ蜻ｻ�ｼ雜｣�ｼ驕ｺﾂ�ｻ邵ｺ�ｪ邵ｺ螂�ｽｼ譴ｧ蛻､隰ｦ�ｽ蝎ｪ邵ｺ�ｪ隴�ｿｽ�ｫ�ｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ邵ｺ�｣邵ｺ�ｦ邵ｺ�ｽ�玖撻�ｴ陷ｷ蛹ｻ�ｽ�ｽ蠕娯落郢ｧ蠕鯉ｽ定怦�ｬ鬮｢荵昶�郢ｧ荵昶�驕ｲ�ｽﾂ�ｽ笆｡邵ｺ莉｣縲堤ｸｺ�ｪ邵ｺ蜑ｰ�ｪ�ｭ髢��ｽ�る坡�ｭ郢ｧﾂ邵ｺ阮吮�邵ｺ�ｫ邵ｺ�ｪ郢ｧ鄙ｫ竏ｪ邵ｺ蜷ｶ�ｽ邵ｺ�ｧ�ｽ譴ｧ豐ｻ騾包ｽｨ邵ｺ蜉ｱ竏ｪ邵ｺ蟶呻ｽ難ｿｽ雜｣�ｼ�ｽ

髮会ｽｪ陜�荳岩�陝�ｽｾ邵ｺ蜷ｶ�玖摎讓抵ｽｭ譁撰ｿｽ闕ｳ�ｭ陝�ｽｦ霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ�ｽ遒�ｽｫ菫ｶ�ｽ�｡霑壼現�ｽ邵ｺ阮呻ｿｽ鬯�ｿｽ邵ｺ�ｫ邵ｺ繧�ｽ顔ｸｺ�ｾ邵ｺ�ｽ