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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標
数列の極限関数導関数不定積分定積分
行列1次変換

※高校数学Ⅲの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓定積分の基本
↓定積分の置換積分
↓同(2)
↓定積分の部分積分
↓無理関数の定積分
↓三角関数の定積分-現在地
↓三角関数（絶対値付き）の定積分
↓limΣと定積分（区分求積法）
↓同(2)入試問題
↓閉曲線で囲まれた図形の面積
↓同(2)媒介変数
↓同(3)
↓定積分の漸化式
↓体積,表面積
↓曲線の長さ
↓定積分で定義される関数
応用問題

【基本公式(1)】
※以下，a≠0とする．
(1.1)
${\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}$
(1.2)
${\displaystyle \int \sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C}$
(2.1)
${\displaystyle \int \cos xdx=\sin x+C}$
(2.2)
${\displaystyle \int \cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C}$
(3.1)
${\displaystyle \int \tan xdx=-\log |\cos x|+C}$
(3.2)
${\displaystyle \int \tan (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\log |\cos (ax+b)|+C}$
(4.1)
${\displaystyle \int \cot xdx=\log |\sin x|+C}$
(4.2)
${\displaystyle \int \cot (ax+b)dx=\frac{1}{a}\log |\sin (ax+b)|+C}$

（参考） 生徒によって（高校によって）は，$\cot x$を習わないことがあって，たまに$\cos x$と混同した質問が寄せられることがある．
　高校では「習っていない」で済んでいくが，高専，理工系大学では，これを知らないと馬鹿にされるので，覚えておく方がよい．
　次のように，基本となる三角関数$\sin x,\cos x,\tan x$正弦，余弦，正接の逆数を各々$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x,\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}x$余割，正割，余接で表す．(前から3文字目の逆数と覚えるとよい．)
　$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x=\frac{1}{\sin x},\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x=\frac{1}{\cos x},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}x=\frac{1}{\tan x}$
読み方：コセカント エックス，セカント エックス，コタンジェント エックス
なお，世界的には（特に英米では），$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$の代わりに$\csc x$を使う方が多く，数学用のソフトでは$\csc x$が使えて$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$が使えないことがある･･･$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x$から母音を取り除いて3文字に揃えたものになっている→ $\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}x$

【1.1】
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx=-[\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =-(\cos \frac{\pi }{2}-\cos 0)=-(0-1)=1}$･･･（答）
→解説を隠す←

【1.2】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\sin 2xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\sin 2xdx=-\frac{1}{2}[\cos 2x{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =-\frac{1}{2}(\cos \pi -\cos \frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}\times (-1-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}\times (-\frac{3}{2})}$
${\displaystyle =\frac{3}{4}}$･･･（答）
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【2.1】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\cos xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\cos xdx=[\sin x{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}}$
${\displaystyle =\sin \frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【2.2】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos 4xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos 4xdx=\frac{1}{4}[\sin 4x{]}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}}$
${\displaystyle =\frac{1}{4}(\sin \frac{4\pi }{3}-\sin \pi )=\frac{1}{4}(-\frac{\sqrt{3}}{2}-0)=-\frac{\sqrt{3}}{8}}$･･･（答）
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【3.1】
${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\tan xdx}$

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\tan xdx=-[\log |\cos x|{]}_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}}$
${\displaystyle =-\{\log |\cos \frac{\pi }{3}|-\log |\cos (-\frac{\pi }{6})|\}}$
${\displaystyle =-(\log \frac{1}{2}-\log \frac{\sqrt{3}}{2})=-\log (\frac{1}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}})=-\log \frac{1}{\sqrt{3}}}$
${\displaystyle =\log \sqrt{3}=\frac{1}{2}\log 3}$･･･（答）
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【3.2】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\tan \frac{x}{3}dx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\tan \frac{x}{3}dx=-3[\log |\cos \frac{\pi }{3}|{]}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }}$
${\displaystyle =-3(\log |\cos \frac{\pi }{3}|-\log |\cos \frac{\pi }{6}|)}$
${\displaystyle =-3(\log \frac{1}{2}-\log \frac{\sqrt{3}}{2})=-3\log (\frac{1}{2}\times \frac{2}{\sqrt{3}})}$
${\displaystyle =-3\log \frac{1}{\sqrt{3}}=3\log \sqrt{3}=\frac{3}{2}\log 3}$･･･（答）
→解説を隠す←

【4.1】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\cot xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\cot xdx=[\log |\sin x|{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}}$
${\displaystyle =\log |\sin \frac{\pi }{4}|-\log |\sin \frac{\pi }{6}|}$
${\displaystyle =\log \frac{\sqrt{2}}{2}-\log \frac{1}{2}=\log (\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2})=\log \sqrt{2}}$
${\displaystyle =\frac{\log 2}{2}}$･･･（答）
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【4.2】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\cot 2xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\cot 2xdx=\frac{1}{2}[\log |\sin 2x|{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}(\log |\sin \frac{\pi }{2}|-\log |\sin \frac{\pi }{3}|)}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}(\log 1-\log \frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\log \frac{\sqrt{3}}{2}}$･･･（答）
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【基本公式(2)】
※以下，a≠0とする．
(5.1)
${\displaystyle \int {\sec }^{2}xdx=\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\tan x+C}$
(5.2)
${\displaystyle \int {\sec }^2(ax+b)dx=\int \frac{dx}{{\cos }^2(ax+b)}=\frac{1}{a}\tan (ax+b)+C}$
(6.1)
${\displaystyle \int {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{2}xdx=\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C}$
(6.2)
${\displaystyle \int {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^2(ax+b)dx=\int \frac{dx}{{\sin }^2(ax+b)}=-\frac{1}{a}\cot (ax+b)+C}$
(7.1)
${\displaystyle \int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C}$
(7.2)
${\displaystyle \int {\tan }^2(ax+b)dx=\frac{1}{a}\tan (ax+b)-x+C}$
(8.1)
${\displaystyle \int {\cot }^{2}xdx=-\cot x-x+C}$
(8.2)
${\displaystyle \int {\cot }^2(ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cot (ax+b)-x+C}$

(7.1)は「見かけ上」${\displaystyle \tan x}$の2次式を積分したら，「次数が下がって」${\displaystyle \tan x}$の1次式になるように「見える」ので，奇妙に見えるが,これで正しい．
taylor級数で言えば
${\displaystyle \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots }$
${\displaystyle \tan x-x=\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots }$
${\displaystyle (\tan x-x{)}^{\prime }=x^2+\frac{2x^4}{3}+\cdots }$
は
${\displaystyle (x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots {)}^2}$
に等しい．

【5.1】
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\sec }^{2}xdx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\sec }^{2}xdx=[\tan x{]}_0^{\frac{\pi }{3}}}$
${\displaystyle =\tan \frac{\pi }{3}-0=\sqrt{3}}$･･･（答）
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【5.2】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\sec }^2\frac{x}{2}dx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\sec }^2\frac{x}{2}dx=2[\tan \frac{x}{2}{]}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =2(\tan \frac{\pi }{4}-\tan \frac{\pi }{6})=2(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}$･･･（答）
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【6.1】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{2}xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^{2}xdx=-[\cot x{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =-(0-\sqrt{3})=\sqrt{3}}$･･･（答）
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【6.2】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^2\frac{x}{2}dx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}^2\frac{x}{2}dx=-2[\cot \frac{x}{2}{]}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =-2(\cot \frac{\pi }{4}-\cot \frac{\pi }{6})=-2(1-\sqrt{3})=2(\sqrt{3}-1)}$･･･（答）
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【7.1】
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{2}xdx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{2}xdx=[\tan x-x{]}_0^{\frac{\pi }{4}}}$
${\displaystyle =(\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4})-0=1-\frac{\pi }{4}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【7.2】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\tan }^2\frac{x}{3}dx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\tan }^2\frac{x}{3}dx=[3\tan \frac{x}{3}-x{]}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }}$
${\displaystyle =(3\tan \frac{\pi }{3}-\pi )-(3\tan \frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{2})}$
${\displaystyle =(3\sqrt{3}-\pi )-(\sqrt{3}-\frac{\pi }{2})=2\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【8.1】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot }^{2}xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\cot }^{2}xdx=[-\cot x-x{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =(-\cot \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2})-(-\cot \frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6})}$
${\displaystyle =(-0-\frac{\pi }{2})-(-\sqrt{3}-\frac{\pi }{6})=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【8.2】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\cot }^2\frac{x}{2}dx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\cot }^2\frac{x}{2}dx=[-2\cot \frac{x}{2}-x{]}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }}$
${\displaystyle =(-2\cot \frac{\pi }{2}-\pi )-(-2\cot \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2})}$
${\displaystyle =(0-\pi )-(-2-\frac{\pi }{2})=2-\frac{\pi }{2}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【基本公式(3)】
※以下，a≠0とする．
(9.1)
${\displaystyle \int {\sin }^{2}axdx=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4a}\sin 2ax+C}$
(9.2)
${\displaystyle \int {\cos }^{2}axdx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4a}\sin 2ax+C}$
(9.3)･･･←(7.2)で示されている
${\displaystyle \int {\tan }^{2}axdx=\frac{1}{a}\tan ax-x+C}$
(9.4)･･･←(8.2)で示されている
${\displaystyle \int {\cot }^{2}axdx=-\frac{1}{a}\cot ax-x+C}$

【9.1】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}3xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}3xdx=[\frac{1}{2}x-\frac{\sin 6x}{12}{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =(\frac{\pi }{4}+0)-(\frac{\pi }{12}-0)=\frac{\pi }{6}}$･･･（答）
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【9.2】
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2}4xdx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2}4xdx=[\frac{1}{2}x+\frac{\sin 8x}{16}{]}_0^{\frac{\pi }{4}}}$
${\displaystyle =(\frac{\pi }{8}+0)-(0)=\frac{\pi }{8}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【9.3】
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\tan }^2\frac{x}{2}dx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\tan }^2\frac{x}{2}dx=[2\tan \frac{x}{2}-x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =2\tan \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=2-\frac{\pi }{2}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【9.4】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{\cot }^{2}2xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{\cot }^{2}2xdx=[-\frac{1}{2}\cot 2x-x{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}}$
${\displaystyle =(0-\frac{\pi }{4})-(\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\pi }{12}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【公式(4)】
(10.1)
${\displaystyle \int {\sin }^{3}axdx=\frac{1}{a}(\frac{{\cos }^{3}ax}{3}-\cos ax)+C}$
(10.2)
${\displaystyle \int {\cos }^{3}axdx=\frac{1}{a}(\sin ax-\frac{{\sin }^{3}ax}{3})+C}$
(10.3)
${\displaystyle \int {\tan }^{3}axdx=\frac{1}{2a}{\tan }^{2}ax+\frac{1}{a}\log |\cos ax|+C}$
(10.4)
${\displaystyle \int {\cot }^{3}axdx=-\frac{1}{2a}{\cot }^{2}ax-\frac{1}{a}\log |\sin ax|+C}$

　基本と書いてない【公式】は，覚えなくてもよいのか，覚えなければならないのか，××年前に筆者が高校生だったころには，数学の先生にそう尋ねた．
　筆者の今の考えを言えば「覚えなくてもよいが」「必要になれば作ればよい」．大学入試で時々「6分の1公式」の扱いが話題になる．
${\displaystyle a{\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{a}{6}(\beta -\alpha {)}^3}$
　この問題を出すと，覚えて来た者はすぐにでき，覚えて来なかった者は時間がかかるので，他の問題に割ける時間配分が変わり，実力や思考力と異なる得点分布になってしまうという話．問題の組み合わせを考えずに出題する大学は，期待外れの学生を入れてしまうことになる．
　公式を覚えて来ただけで受かるような数学の試験は，あまり感心しないが，逆に割り切って，簡単な公式を覚えてきたら合格させて，学生数を確保することもありかな．

(10.1)の別の証明：被積分関数を${\displaystyle {\cos }^{n}ax\sin ax}$の形にする．
${\displaystyle \int {\sin }^{3}axdx=\int {\sin }^{2}ax\sin axdx}$
${\displaystyle =\int (1-{\cos }^{2}ax)\sin axdx=I}$とおく
cosax=tとおく置換積分により，
${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-a\sin ax}$
${\displaystyle dx=-\frac{dt}{a\sin ax}}$
${\displaystyle I=\int (1-t^2)\sin ax(-\frac{dt}{a\sin ax})}$
${\displaystyle =-\frac{1}{a}\int (1-t^2)dt=-\frac{1}{a}(t-\frac{t^3}{3})+C}$
${\displaystyle =\frac{1}{a}(\frac{{\cos }^{3}ax}{3}-\cos ax)+C}$

(10.2)の別の証明：被積分関数を${\displaystyle {\sin }^{n}ax\cos ax}$の形にする．
${\displaystyle \int {\cos }^{3}axdx=\int {\cos }^{2}ax\cos axdx}$
${\displaystyle =\int (1-{\sin }^{2}ax)\cos axdx=I}$とおく
sin ax=tとおく置換積分により，
${\displaystyle \frac{dt}{dx}=a\cos ax}$
${\displaystyle dx=\frac{dt}{a\cos ax}}$
${\displaystyle I=\int (1-t^2)\cos ax(\frac{dt}{a\cos ax})}$
${\displaystyle =\frac{1}{a}\int (1-t^2)dt=\frac{1}{a}(t-\frac{t^3}{3})+C}$
${\displaystyle =\frac{1}{a}(\sin ax-\frac{{\sin }^{3}ax}{3})+C}$

n≧2のとき
${\displaystyle I_n=\int {\tan }^{n}axdx=\int {\tan }^{2}ax{\tan }^{n-2}axdx}$
${\displaystyle 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}$だから
${\displaystyle I_n=\int (\frac{1}{{\cos }^{2}ax}-1){\tan }^{n-2}axdx}$
${\displaystyle =\int \frac{{\tan }^{n-2}ax}{{\cos }^{2}ax}dx-\int {\tan }^{n-2}axdx=J-I_{n-2}}$

とおく
Jはtan ax=tとおく置換積分により，次の形になる．
${\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{a}{{\cos }^{2}ax}}$
${\displaystyle J=\int \frac{t^{n-2}}{{\cos }^{2}ax}\times \frac{{\cos }^{2}axdt}{a}=\frac{t^{n-1}}{a(n-1)}+C_1}$
${\displaystyle =\frac{{\tan }^{n-1}ax}{a(n-1)}+C_1}$
よって
${\displaystyle I_n=\frac{{\tan }^{n-1}ax}{a(n-1)}-I_{n-2}}$（${\displaystyle I_n}$は定数項を含む）

n≧2のとき
${\displaystyle I_n=\int {\cot }^{n}axdx=\int {\cot }^{2}ax{\cot }^{n-2}axdx}$
${\displaystyle 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }}$だから
${\displaystyle =\int (\frac{1}{{\sin }^{2}ax}-1){\cot }^{n-2}axdx}$
${\displaystyle =\int \frac{{\cot }^{n-2}ax}{{\sin }^{2}ax}dx-\int {\cot }^{n-2}axdx=J-I_{n-2}}$
とおく
Jはcot ax=tとおく置換積分により，次の形になる．
${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-\frac{a}{{\sin }^{2}ax}}$
${\displaystyle J=\int \frac{t^{n-2}}{{\sin }^{2}ax}\times (-\frac{{\sin }^{2}axdt}{a})=-\frac{t^{n-1}}{a(n-1)}+C_1}$
${\displaystyle =-\frac{{\cot }^{n-1}ax}{a(n-1)}+C_1}$
よって
${\displaystyle I_n=-\frac{{\cot }^{n-1}ax}{a(n-1)}-I_{n-2}}$（${\displaystyle I_n}$は定数項を含む）

【10.1】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin }^{3}2xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\sin }^{3}2xdx=\frac{1}{2}[\frac{{\cos }^{3}2x}{3}-\cos 2x{]}_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}\{(-\frac{1}{24}+\frac{1}{2})-(\frac{1}{24}-\frac{1}{2})\}=\frac{11}{24}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【10.2】
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{3}4xdx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{3}4xdx=\frac{1}{4}[\sin 4x-\frac{{\sin }^{3}4x}{3}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=0}$･･･（答）
→解説を隠す←

【10.3】
${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\tan }^3\frac{x}{2}dx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\tan }^3\frac{x}{2}dx=[{\tan }^2\frac{x}{2}+2\log |\cos \frac{x}{2}|{]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =(1+2\log \frac{1}{\sqrt{2}})-(0-0)=1-\log 2}$･･･（答）
→解説を隠す←

【10.4】
${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\cot }^{3}2xdx}$

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\cot }^{3}2xdx=[-\frac{1}{4}{\cot }^{2}2x-\frac{1}{2}\log |\sin 2x|{]}_0^{\frac{\pi }{2}}}$
${\displaystyle =(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{2}\log \frac{\sqrt{3}}{2})-(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{2}\log \frac{\sqrt{3}}{2})=0}$･･･（答）
→解説を隠す←

【公式(5)】
(11.1)
${\displaystyle \int {\sin }^{4}axdx=\frac{3}{8}x-\frac{\sin 2ax}{4a}+\frac{\sin 4ax}{32a}+C}$
(11.2)
${\displaystyle \int {\cos }^{4}axdx=\frac{3}{8}x+\frac{\sin 2ax}{4a}+\frac{\sin 4ax}{32a}+C}$
(11.3)
${\displaystyle \int {\tan }^{4}axdx=\frac{1}{3a}{\tan }^{3}ax-\frac{1}{a}\tan ax+x+C}$
(11.4)
${\displaystyle \int {\cot }^{4}axdx=-\frac{1}{3a}{\cot }^{3}ax+\frac{1}{a}\cot ax+x+C}$

n≧2のとき
${\displaystyle I_n=\int {\sin }^{n}axdx=\int {\sin }^{n-1}ax\sin axdx}$とおく
次の変換により，部分積分を行う

${\displaystyle f(x)={\sin }^{n-1}ax}$	${\displaystyle \to }$	${\displaystyle f^{\prime }(x)=(n-1){\sin }^{n-2}ax\cdot (a\cos ax)}$
${\displaystyle g(x)=-\frac{\cos ax}{a}}$	${\displaystyle \leftarrow }$	${\displaystyle g^{\prime }(x)=\sin ax}$

${\displaystyle I_n=\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx}$
${\displaystyle =-\frac{{\sin }^{n-1}ax\cos ax}{a}}$
${\displaystyle +(n-1)\int {\sin }^{n-2}ax\times a\cos ax\times \frac{-\cos ax}{a}dx}$
${\displaystyle =-\frac{{\sin }^{n-1}ax\cos ax}{a}+(n-1)\int {\sin }^{n-2}ax{\cos }^{2}axdx}$
${\displaystyle =-\frac{{\sin }^{n-1}ax\cos ax}{a}+(n-1)\int {\sin }^{n-2}ax(1-{\sin }^{2}ax)dx}$
${\displaystyle =-\frac{{\sin }^{n-1}ax\cos ax}{a}+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n}$
${\displaystyle n{I}_n=-\frac{{\sin }^{n-1}ax\cos ax}{a}+(n-1)I_{n-2}}$
${\displaystyle I_n=-\frac{{\sin }^{n-1}ax\cos ax}{na}+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}}$･･･(11.1**)