![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「定積分」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓定積分の基本 ↓定積分の置換積分 ↓同(2) ↓定積分の部分積分 ↓無理関数の定積分-現在地 ↓三角関数の定積分 ↓三角関数(絶対値付き)の定積分 ↓limΣと定積分(区分求積法) ↓同(2)入試問題 ↓閉曲線で囲まれた図形の面積 ↓同(2)媒介変数 ↓同(3) ↓定積分の漸化式 ↓体積,表面積 ↓曲線の長さ ↓定積分で定義される関数 応用問題 |
■β∫α
![]()
被積分関数(積分記号の中にある関数)が
![]() の形をしている場合,三角関数の相互関係の公式 1−sin2θ=cos2θ を利用することにより,置換積分で解けます. すなわち,x=sinθとおくことにより, ![]() ![]() になり,次のように積分変数も変換すれば問題が解決します. ![]() ![]() ![]() ![]() =a ![]() =±acosθ(符号は選ぶ) になります.積分変数の変換は係数が変わるだけです. ![]() ![]() |
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なお,次の形の定積分については,a2−x2=tとおく置換積分により,速攻で解くことができます. a∫0 x ![]()
a2−x2=tとおくと
a∫0
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =− ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
a2−x2=tとおくと
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =a2∫0 t− ![]() ![]() |
【例1】
(解答)1∫0 ![]() x=sinθとおく.(次の区間を使うとcosθ≧0となる)
![]() ![]() 積分変数は ![]() ![]() 三角関数の半角公式(2倍角公式)により cos2θ= ![]() ![]() I= ![]() = ![]() ![]() ![]() |
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【例2】
(解答)2∫1 ![]() x=2sinθとおく.(次の区間を使うとcosθ≧0となる)
![]() ![]() ![]() 積分変数は ![]() ![]() =2π−2∫π−6 (1+cos2θ)dθ =2[ θ+ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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【例3】
(解答)3−2∫0 ![]() ![]() x=3sinθとおく.(次の区間を使うとcosθ≧0となる)
![]() ![]() ![]() 積分変数は ![]() ![]() ![]() ![]() =π−6∫0 dθ =[ θ= ![]() |
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【例4】
(解答)2∫0 2x ![]() 4−x2=tとおくと
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =4∫0 t ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
次の定積分の値を求めてください.
※正しい選択肢の番号をクリックしてください.
なお,暗算ではできませんので,別途計算用紙と筆記用具が必要です. |
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x=3sinθとおく.(次の区間を使うとcosθ≧0となる)
![]() ![]() ![]() 積分変数は ![]() ![]() ![]() =9π−2∫− ![]() ![]()
=
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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x=sinθとおく.(次の区間を使うとcosθ≧0となる)
![]() ![]() 積分変数は ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =π−6∫− ![]()
=[ θ=
![]() |
||||||||
2−x2=tとおくと
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() =2∫1 t− ![]() ![]()
=2(
![]() |
【例5】
(解答)2∫1 ![]()
β∫α
2x−x2=1−(x−1)2だから![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1∫0 ![]() ![]()
以下の解説が分かりにくい場合は,一旦x−1=tとおいて,簡単な式に直してから,再度t=sinθの置換積分を行えばよいが,ある程度慣れてきたら,次のように一回の置換で行ってもよい.
x−1=sinθとおく.(次の区間を使うとcosθ≧0となる)
![]() ![]() 積分変数は ![]() =π−2∫0 ( ![]() ![]() =[ ![]() ![]() ![]() |
||||||||
3+2x−x2=4−(x−1)2だから
x−1=2sinθとおく.(次の区間を使うとcosθ≧0となる)
![]() ![]() = ![]() 積分変数は ![]() ![]() ![]() ![]()
=[ θ=
![]()
(参考)
a<bのとき,次の公式が成り立ちます. b∫a ![]() ![]() ![]() π( ![]() = ![]() ⇒この頁の例1,例2,問題1,例5の検算に使えます. |
次の形の不定積分(代入して差を求めれば定積分)は,高校の数学で「覚えるべきものと扱われていない」のが普通です.
・筆算で導くには途中経過がとても長くなる.
理数系の大学生で必要な場面があれば,
・覚えていればできるが,覚えていないと難しい. ・以上の結果,この種の問題を出題すると,数学的な考え方や計算力を問うよりも単なる暗記力を問う側面が強くなる.
「公式を見ながら使えればよい」
ぐらいの考え方でよいと思う.「コンピュータを使って計算できたらよい」 そのためには,
公式は覚えなくてもよいが,
は覚えておく必要がある.
「そういう公式がある」ということ
次の公式においてAは,負の数でもよいが,その場合は根号内が0以上になる区間でのみ積分が定義できる.A=0のときは,式の形が変わる(根号がはずれる)のでA≠0の場合の公式となっている.
∫
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ∫ ![]() ![]() ![]() |
(公式を適用した場合)
b∫a ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() で求めた結果 ⇒
(別ルートで検算した場合)
b∫a ![]() 台形公式(100000分割)の場合 ⇒
※(参考) wxMaxima(インストール方法,使い方の例)を使えば,公式(*1)の計算は,例えば次のようになります.
○1 1∫0
![]() → integrate(sqrt(x^2+1), x, 0, 1); と入力する → 結果は ![]() ![]() (双曲線関数の逆関数で表される) ○2 3∫1 ![]() → integrate(x^2+2, x, 1, 3); と入力する → これもかなり複雑な逆双曲線関数が返される ○1,○2とも結果を小数で求めることもできる.
(公式を適用した場合)
b∫a ![]() ![]() ![]() で求めた結果 ⇒
(別ルートで検算した場合)
b∫a ![]() ![]() 台形公式(100000分割)の場合 ⇒
※(参考)
wxMaximaを使って,公式(*2)の計算を行うこともできます. |
[注]直前にPC版から入られた場合は,自動転送でスマホ版に来ていますので,ブラウザの[戻るキー]では戻れません(堂々巡りになる).下記のリンクを使ってメニューに戻ってください.
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