maximaの初歩的な操作8･･･多項式・分数関数の不定積分

== maximaの初歩的な操作8･･･多項式・分数関数の不定積分 == ○Xmaxima，wxMaxima のインストール方法，基本操作については［この頁］参照

○Xmaximaでは，数式がアスキーアート風に出力されることが多い．wxMaximaでは数学で通常用いる記号に近い形で結果が示される．以下ではwxMaiximaを用いた場合の積分計算の例と答を示す．

○wxMaximaで関数の不定積分を求めるには，メニューから［微積分］→［積分］を選び，対話型メニューに「関数」「変数」を入力して（定積分にチェックを付けないで）「ＯＫ」ボタンを押すと
integrate(..., x)
のように，入力すべき式が書き込まれるようになっている．画面上で (%inn) の右にある入力欄を直接書き換えてもよい．

　入力に当たっては，2xなどの書き慣れた記号を2*xと書かなければならないことに注意しましょう．

　以下においてはいずれも積分定数は省略されている．

■教科書や問題集でよく出会う公式

【多項式・分数関数の不定積分】

(1)　 $\int x^n dx$

○wxMaximaでの入力例
integrate(x^n, x);
このとき，Is n equal to -1?と表示される．ここでは，No だから n を入力してShift+Enterすると次の「公式」が得られる．
○結果
$\frac{x^{n+ 1}}{n+ 1}$ （積分定数は省略される［以下同様］）

(2)　 $\int \frac{1}{x} dx$

○wxMaximaでの入力例
integrate(x^(-1), x);…(2)
○結果
$\log(x)$
※この問題のように結果が対数関数になる場合に，真数に絶対値記号を付けて表示するには，(2)を実行する前にあらかじめ次のコマンドを実行しておき，logabs変数にtrueを代入しておく．こうすると結果は次のように絶対値記号のついた式になる．
$\log(|x|)$

(3)　 $\int (ax+ b)^n dx$

○wxMaximaでの入力例
integrate((a*x+b)^n,x);
このとき，Is n equal to -1?と表示されるので，その表示の右に n （Yes ならy , No なら n）を入力してShift+Enterすると次の「公式」が得られる．

n=−1のときは不定積分が対数関数になるので，n=−1であるかn≠−1であるかを尋ねている．
ここで，n≠−1としても，この仮定は次の行からの入力に影響しない．
　また，この結果を得るためにはa≠0も必要であるが，こちらの方は問われない．

○結果
$\frac{(ax+ b)^{n+ 1}}{a(n+ 1)}$

(4)　 $\int \frac{1}{ax+ b} dx$

○wxMaximaでの入力例
logabs : true;（←それまでに一度実行していれば省略可能.以下#1で示す）
integrate(1/(a*x+b), x);

この式ではa≠0でなければならないが，省略されている

○結果
$\frac{\log(|ax+ b|)}{a}$

(5)　 $\int \frac{1}{x^2+ a^2} dx$

○wxMaximaでの入力例
integrate(1/(x^2+a^2),x);

Maximaでは逆三角関数arctanxもしくはtan−1xはatan(x)と表示されるので，この式は
$\frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}$ を表す．（a≠0）

○結果
$\frac{\rm{atan}(\frac{x}{a})}{a}$

(6)　 $\int \frac{1}{x^2- a^2} dx$

○wxMaximaでの入力例
logabs : true; ←#1
integrate(1/(x^2-a^2),x);
さらに，次のコマンドを実行すると，得られた式で対数を和差→積商に直すことができる（直前の出力式は単に % で表される）
logcontract(%);

この式ではa≠0でなければならないが，省略されている

○結果
$\frac{\log(|x-a|)}{2a}-\frac{\log(|x+ a|)}{2a}$
$=\frac{\log(\frac{|x-a|}{|x+ a|})}{2a}$

●次の計算を筆算で行う場合は，部分分数分解によって行う

(7)　 $\int \frac{1}{(x+ a)(x+ b)} dx$

○wxMaximaでの入力例
logabs : true; ←#1
integrate(1/((x+a)*(x+b)),x);
さらに，次のコマンドを事項すると，得られた式で対数を和差→積商に直すことができる（直前の出力式は単に % で表される）
logcontract(%);

この式ではa≠bでなければならないが，省略されている

○結果
$\frac{\log(|x+ a|)}{b-a}-\frac{\log(|x+ b|)}{b-a}$
$\frac{\log(\frac{|x+ a|}{|x+ b|})}{b-a}$

(8)　 $\int \frac{x-a}{(x-b)(x-c)} dx$ ［例］　 $\int \frac{x-1}{(x-2)(x-3)} dx$

○wxMaximaでの入力例
logabs : true; ←#1
integrate((x-a)/((x-b)*(x-c)),x);

この式ではc≠bでなければならないが，省略されている

○結果
$\frac{(c-a)\log(|x-c|)}{c-b}-\frac{(b-a)\log(|x-b|)}{c-b}$
［例］logcontract(%);も実行すると
　 $\log(\frac{(x-3)^2}{|x-2|})$

(9)　 $\int \frac{1}{x^3-1} dx$

○wxMaximaでの入力例
logabs : true; ←#1
integrate(1/(x^3-1),x);
○結果
$-\frac{\log(|x^2+ x+ 1|)}{6}+\frac{\log(|x-1|)}{3}-\frac{\rm{atan}(\frac{2x+ 1}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}}$

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