...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る
*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　 が現在地です．
↓定積分
↓同(2)
↓同(3)
↓定積分で定義される関数-現在地
↓面積
↓絶対値付き関数の積分
↓曲線で囲まれた図形の面積(1)
↓曲線で囲まれた図形の面積(2)
↓曲線で囲まれた図形の面積(3)
体積

*** 数学Ⅲ（三角,無理,指数,対数関数を含む） ***
定積分の基本 定積分の置換積分 同(2)

定積分の部分積分 無理関数の定積分

三角関数（絶対値付き）の定積分

limΣと定積分の関係

閉曲線で囲まれた図形の面積 同(2)媒介変数

同(3) 定積分の漸化式 曲線の長さ

*** 高卒向け ***
回転体の体積 広義積分

重積分 簡単な重積分の計算

積分領域が変数に依存する場合の重積分

積分順序の変更 変数変換：ヤコビ行列式

$(x^2{)}^{\prime }=2x$
これは次のように書かれることもあります．
${\displaystyle \frac{d}{dx}}(x^2)=2x$

$(x^2+1{)}^{\prime }=2x$
$(x^2+2{)}^{\prime }=2x$
………

$x^2+C$（Cは定数）

${\displaystyle \int f(x)dx}$

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$（Cは任意定数）

【まとめ】
〇F'(x)=f(x)のとき，F(x)をf(x)の原始関数という．
〇f(x)の原始関数全体の集合
${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$（Cは任意定数）
をf(x)の不定積分という．

　上で述べたように，原始関数はF(x)+Cの形の関数でCの値が何であってもよいのですが，
定積分の計算は引き算になるので
${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x)+C{]}_a^b}$
$=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}=F(b)-F(a)$
のようにCを付けていても「引き算で消えてしまいます」．
　そこで，不定積分の話をするときには，積分定数Cを忘れないように！と教えておきながら，定積分の話をするときにはC=0の形，すなわちCが付いていない形F(x)を使います．

よい子の皆さんに，なぜ無駄なCを教えたんだよ～
定積分ではCは消えますが，他の場面ではよく使います．Cは無駄ではありません

※■用語と言い回し方■
(1) 現行の（平成30年告示）高等学校学習指導要領数学には，原始関数という用語は登場しない．
(2) 大学数学の教科書では，原始関数という用語を使わず，不定積分と定積分という用語だけで書かれることが多い．
(3) 高校数学Ⅱ，Ⅲの教科書では，ほとんどの場合(感覚的には99%以上！)「f(x)の原始関数の1つをF(x)とする」と表現し，「f(x)の1つの原始関数をF(x)とする」とは言わない．（この例外を，平成25年発行のS社数学Ⅱ 199頁で1箇所だけ見たことがある）
「f(x)の原始関数の一つをF(x)とする」とも書かない．
※なぜかという理由は，この教材の筆者には言えない．ただ，事実としてそうなっているのです．

【例１】
a, bを定数とするとき
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{b}f(t)dt}$
を求めるには

【例２】
aを定数とするとき
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{x}f(t)dt}$
を求めるには

（参考）
　積分変数tと被積分関数f(t)が変数として対応していれば原始関数F(t)は求められます．
　定積分では，求めた原始関数F(t)に，積分区間の上端の値bと下端の値aを代入して引くので，結果として変数tは残りません．
　だから「問題が他の積分変数で書かれていても」同じ答えになります．
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{x}f(y)dy={\displaystyle \frac{d}{dx}}\{F(x)-F(a)\}=f(x)}$
　実は，積分変数と積分区間の上端が同じ文字xを使って問題が書かれていても，同じ結果になります．
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{x}f(x)dx={\displaystyle \frac{d}{dx}}\{F(x)-F(a)\}=f(x)}$
これに対して，微分する変数と積分区間の上端が無関係な変数である場合
${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{t}f(x)dx={\displaystyle \frac{d}{dx}}\{F(t)-F(a)\}}$
において，F(t)−F(a)はxの関数ではないから，これをxで微分すると０になります．
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{t}f(x)dx={\displaystyle \frac{d}{dx}}\{F(t)-F(a)\}=0}$

【重要】
a, bを定数とするとき
(1) 定積分
${\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)}$
は，積分区間の上端xの関数になる．
　積分変数tの関数ではない．
(2) 定積分
${\displaystyle {\int }_t^{b}f(x)dx=F(b)-F(t)}$
は，下端tの関数になる．
　積分変数xの関数ではない．

【例３】
bを定数とするとき
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_x^{b}f(t)dt}$
を求めるには

(1)
a, bを定数とするとき
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{b}f(t)dt}$
を求めてください．

解説 やり直す

0 f(x) F(x) f’(x)

f(t)の原始関数の1つをF(t)とおくと
${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)dt=[F(t){]}_a^b=F(b)-F(a)}$
ここで，a, bは定数だから，F(b)−F(a)は定数．
定数を微分すると０になるから
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{b}f(t)dt={\displaystyle \frac{d}{dx}}\{F(b)-F(a)\}=0}$…（答）