定積分と面積(2)（数学Ⅱ/発展学習）

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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ 高卒・大学初年度
*** 単元 ***
式と証明点と直線円軌跡と領域三角関数
指数関数対数関数微分不定積分定積分
高次方程式数列漸化式と数学的帰納法
平面ベクトル空間ベクトル確率分布

※高校数学Ⅱの「定積分」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓定積分
↓同(2)
↓同(3)

↓定積分で定義される関数

↓面積
↓絶対値付き関数の積分
↓曲線で囲まれた図形の面積(1)
↓曲線で囲まれた図形の面積(2)
↓曲線で囲まれた図形の面積(3)-現在地

体積

== 発展学習:定積分と面積(2) == このページの教材のレベルは

♪♥♫♦∀～発展学習，大学入試向け～∳♣♬∅♠

(1)

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{1}{6} (β - α)^{3}

-図1-

右図1の赤線で囲まれた図形の面積（符号は正）は

\frac{1}{6} (β - α)^{3}

に等しい

【公式(1)の証明】
x−α=(x−β)+(β−α)と変形すると，計算が楽になる

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \int_{α}^{β} (x - β + β - α) (x - β) d x

= \int_{α}^{β} {(x - β)^{2} + (β - α) (x - β)} d x

= [\frac{(x - β)^{3}}{3} + (β - α) \frac{(x - β)^{2}}{2}]_{α}^{β}

= {0} - {\frac{(α - β)^{3}}{3} + (β - α) \frac{(α - β)^{2}}{2}

= - {- \frac{(β - α)^{3}}{3} + \frac{(β - α)^{3}}{2}}

= - \frac{(β - α)^{3}}{6}

(2)　…いわゆる「６分の１公式」
　一般に2次方程式ax2+bx+c=0が相異なる２つの実数解α, β (α<β)をもつとき
　解と係数の関係から

α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}

が成り立つから，公式(1)から，次の公式(2)が得られる．

\int_{α}^{β} (a x^{2} + b x + c) d x = - \frac{a}{6} (β - α)^{3}

-図2-

【公式(2)の解説】
解と係数の関係により

a x^{2} + b x + c

= a (x - α) (x - β)

だから

\int_{α}^{β} (a x^{2} + b x + c) d x

= \int_{α}^{β} a (x - α) (x - β) d x

(1)の結果を使うと

= - \frac{a}{6} (β - α)^{3}

［公式(2)が有利な場面］
　公式(2)を用いると，2交点の座標が「根号を含む複雑な値」であるときに，楽に計算ができる．
　例えば，次の【例題1】のように，交点のx座標が

α = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, β = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

のとき，これらの値を

[\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2} + c x]_{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

の形で代入して計算することは，煩雑で計算間違いも起きやすいが，

β - α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}

を代入すると，計算が楽になる．

［公式(2)を覚えなければならないか？］
　公式(2)を出すと「覚えてきた生徒だけできて，他の生徒は時間配分が不利になる」など，大学受験では辛口の批評が多い．
　筆者個人の感想として言えば，「公式(2)だけは覚える方がよい」（検算にも使いやすい），他の公式(3),(4)，(**)は覚えなくてもよいが，「公式があるということは知っておく」「必要な場合には，試験会場で作ることができる」程度に「式を変形した思い出がある」方がよいと考える．･･･全部暗記するようなことは，頭脳資源の無駄遣いでしょう．

【例題1】
　放物線y=x2と直線y=x+1とで囲まれる図形の面積を求めてください．

　放物線y=x2と直線y=x+1の交点を求める
　x2=x+1を解く
　x2−x−1=0

x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

α = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, β = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

とおくと

S = \int_{α}^{β} (x + 1 - x^{2}) d x = - \int_{α}^{β} (x^{2} - x - 1) d x

= \frac{1}{6} (β - α)^{3}

ここで

β - α = \sqrt{5}

だから

S = \frac{5 \sqrt{5}}{6}

…（答）

【問題1-1】
　放物線y=x2−3x+3と直線y=2x−1とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

交点を調べる．
x2−3x+3=2x−1を解く
x2−5x+4=0
(x−1)(x−4)=0
x=1, 4

区間1≦x≦4でつねにx2−3x+3≦2x−1だから

S = \int_{1}^{4} {(2 x - 1) - (x^{2} - 3 x + 3)} d x

= \int_{1}^{4} (- x^{2} + 5 x - 4) d x

= - \int_{1}^{4} (x - 1) (x - 4) d x

= \frac{(4 - 1)^{3}}{6} = \frac{27}{6}

= \frac{9}{2}

…（答）

※この問題のようにα=1, β=4と積分区間の両端が整数であるような場合は，公式(2)を使わずに，単純計算でもできる．（互いに検算に使うとよい）

= \int_{1}^{4} (- x^{2} + 5 x - 4) d x

= [- \frac{x^{3}}{3} + \frac{5}{2} x^{2} - 4 x]_{1}^{4}

= (- \frac{64}{3} + 40 - 16) - (- \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) = \frac{9}{2}

…（答）
→解答を隠す←

【問題1-2】
　放物線y=x2+2x+1とy=−x2−4x+2とで囲まれる図形の面積を求めてください．

解答を見る

\frac{- 3 - \sqrt{11}}{2}

\frac{- 3 + \sqrt{11}}{2}

交点を調べる．
x2+2x+1=−x2−4x+2
を解く
2x2+6x−1=0
解の公式により

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{11}}{2}

区間

α = \frac{- 3 - \sqrt{11}}{2} ≦ x ≦ \frac{- 3 + \sqrt{11}}{2} = β

において，つねにx2+2x+1≦−x2−4x+2だから

S = \int_{α}^{β} {(- x^{2} - 4 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1)} d x

= \int_{α}^{β} (- 2 x^{2} - 6 x + 1) d x

= - 2 \int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x

= \frac{2}{6} (β - α)^{3}

ここで，

β - α = \sqrt{11}

だから

S = \frac{11 \sqrt{11}}{3}

…（答）

→解答を隠す←

［危険な落とし穴］
　便利な公式なので，どこでも使えそうに思ってしまいがちだが，「交点から交点までの区間」で積分している場合だけ，上記の公式が使えるが，「交点と交点の間以外の区間」の積分には使えないので注意
　次の図E～Hまでのどの場合も，赤線で囲まれた図形の面

積は

S = \frac{a}{6} (β - α)^{3}

にはならない．（地道な計算を積み上げて行くしかない）

-図E-

-図F-

-図G-

-図H-

【例題2-1】
　放物線y=x2−1，直線y=x+1およびy軸とで囲まれる図形の面積を求めてください．

　放物線y=x2−1と直線y=x+1の交点を求める
　x2−1=x+1を解く
　x2−x−2=0
　(x+1)(x−2)=0
　x=−1, 2
区間−1≦x≦2において，つねにx2−1≦x+1だから

S = \int_{0}^{2} {(x + 1) - (x^{2} - 1)} d x

= \int_{0}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x

= [- \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x]_{0}^{2}

= (- \frac{8}{3} + 2 + 4) - 0 = \frac{10}{3}

…（答）

【例題2-2】

　放物線y=−x2+4xについて，
(1)　この放物線に交わる直線 y=mx (0≦m<4) と放物線で囲まれた図形の面積をmを用いて表せ．
(2)　放物線とx軸で囲まれた図形が右図のように２つの直線
y=ax, y=bx (0<b<a<4)
によって，その面積が3等分されるとき，a, bの値を求めよ．

（2000年度東北学院大工学部）

（解答）･･･6分の1公式を湯水のように使う答案で書く場合
(1)

S = \frac{(4 - m)^{3}}{6}

…（答）
(2)
m=0のとき，放物線とx軸で囲まれる図形の面積S0は

S_{0} = \frac{4^{3}}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}

y=axと放物線で囲まれる図形の面積Saは

S_{a} = \frac{(4 - a)^{3}}{6} = S_{0} \times \frac{1}{3} = \frac{32}{9}

(4 - a)^{3} = \frac{6 \times 32}{9} = \frac{64}{3}

4 - a = \frac{4}{\sqrt[3]{3}}

a = 4 - \frac{4}{\sqrt[3]{3}}

…（答）
y=bxと放物線で囲まれる図形の面積Sbは

S_{b} = \frac{(4 - b)^{3}}{6} = S_{0} \times \frac{2}{3} = \frac{64}{9}

(4 - b)^{3} = \frac{6 \times 64}{9} = \frac{64 \times 2}{3}

4 - b = \frac{4 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}

b = 4 - \frac{4 \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}

…（答）

(3)　…いわゆる「12分の１公式」

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β)^{2} d x = \frac{1}{12} (β - α)^{4}

…(3.1)

\int_{α}^{β} (x - α)^{2} (x - β) d x = - \frac{1}{12} (β - α)^{4}

…(3.2)

-図3.1-

-図3.2-

　3次方程式(x−α)(x−β)2=0が解x=α，重解x=βをもつとき

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β)^{2} d x = \frac{1}{12} (β - α)^{4}

が成り立つ．x=αが重解，x=βが解である場合も同様にして

\int_{α}^{β} (x - α)^{2} (x - β) d x = - \frac{1}{12} (β - α)^{4}

が成り立つ．

(3.1)の証明

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β)^{2} d x

= \int_{α}^{β} {(x - β) + (β - α)} (x - β)^{2} d x

← (x−β)nの式で表す

= \int_{α}^{β} {(x - β)^{3} + (β - α) (x - β)^{2}} d x

= [\frac{(x - β)^{4}}{4} + (β - α) \frac{(x - β)^{3}}{3}]_{α}^{β}

= {0} - {\frac{(α - β)^{4}}{4} + (β - α) \frac{(α - β)^{3}}{3}}

= - {\frac{(β - α)^{4}}{4} - \frac{(α - β)^{4}}{3}}

= \frac{(β - α)^{4}}{12}

…■証明終わり■

(3.2)の証明

\int_{α}^{β} (x - α)^{2} (x - β) d x

= \int_{α}^{β} (x - α)^{2} {(x - α) + (α - β)} d x

← (x−α)nの式で表す

= \int_{α}^{β} {(x - α)^{3} + (α - β) (x - α)^{2}} d x

= [\frac{(x - α)^{4}}{4} + (α - β) \frac{(x - α)^{3}}{3}]_{α}^{β}

= {\frac{(β - α)^{4}}{4} + (α - β) \frac{(β - α)^{3}}{3}} - {0}

= {\frac{(β - α)^{4}}{4} - \frac{(β - α)^{4}}{3}}

= - \frac{(β - α)^{4}}{12}

…■証明終わり■

【例題3】
　３次関数y=x3+ax+bのグラフを曲線Cとする．直線y=3x+m…①は点P(1, 2)で曲線Cに接するという．
(1) a, b, mを求めよ．
(2) 直線①と曲線Cの点P以外の交点Qの座標を求めよ．
(3) 直線①と曲線Cで囲まれた部分の面積Sを求めよ．

（2000年度成蹊大学工学部）

(1)
　y1=x3+ax+b
　y2=3x+m
とおく
　y1'=3x2+a
　y2'=3
点P(1, 2)を通るから
　2=1+a+b…(#1)
　2=3+m…(#2)
点P(1, 2)で互いに接するから
　3+a=3…(#3)
(#1)(#2)(#3)より
　a=0, b=1, m=−1…(答)

(2)
　y1=x3+1
　y2=3x−1
の共有点を求める
　x3+1=3x−1
　x3−3x−2=0
　(x−1)2(x+2)=0
P以外の交点は，Q(−2, −7)…(答)

(3)

S = \int_{- 2}^{1} {(x^{3} + 1) - (3 x - 1)} d x

= \int_{- 2}^{1} (x^{3} - 3 x + 2) d x

= [\frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x]_{- 2}^{1}

= (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2) - (4 - 6 - 4) = \frac{27}{4}

…(答)

（備考）
　記述式答案では，公式(3.1)を丸暗記して

\frac{3^{4}}{12} = \frac{27}{4}

と書いてもダメでしょう．教科書にない公式を黙って使うと減点の可能性あり．公式(2)はよく使うので「公式」と書いておけばよいでしょう．
　検算として，密かに自信を持つのはよいでしょう．

(4)　…いわゆる「30分の１公式」

S = \int_{α}^{β} (x - α)^{2} (x - β)^{2} d x = \frac{1}{30} (β - α)^{5}

-図4-

(4)の証明 …x−βの式に直す（x−αに揃えてもよい）

S = \int_{α}^{β} (x - α)^{2} (x - β)^{2} d x

= \int_{α}^{β} {(x - β) + (β - α)}^{2} (x - β)^{2} d x

= \int_{α}^{β} {(x - β)^{2} + 2 (β - α) (x - β) + (β - α)^{2}} (x - β)^{2} d x

= \int_{α}^{β} {(x - β)^{4} + 2 (β - α) (x - β)^{3} + (β - α)^{2} (x - β)^{2}} d x

= [\frac{(x - β)^{5}}{5} + (β - α) \frac{2 (x - β)^{4}}{4} + (β - α)^{2} \frac{(x - β)^{3}}{3}]_{α}^{β}

= 0 - {\frac{(α - β)^{5}}{5} + (β - α) \frac{(α - β)^{4}}{2} + (β - α)^{2} \frac{(α - β)^{3}}{3}}

= \frac{(β - α)^{5}}{5} - \frac{(β - α)^{5}}{2} + \frac{(β - α)^{5}}{3}

= \frac{6 - 15 + 10}{30} (β - α)^{5} = \frac{(β - α)^{5}}{30}

【例題4】
　関数f(x)=x4−2x2+xについて，次の問いに答えよ．
(1)　曲線y=f(x)と２点で接する直線の方程式を求めよ．
(2)　曲線y=f(x)と(1)で求めた直線で囲まれた領域の面積を求めよ．

（2016年度名古屋市立大経済学部）

(1)
f ’(x)=4x3−4x+1
接点のx座標をp, q (p<q)とすると
y−(p4−2p2+p)
=(4p3−4p+1)(x−p)
y=(4p3−4p+1)x
−3p4+2p2…(#1)
y=x4−2x2+x…(#2)
(#1)(#2)の連立方程式がx=pの重解をもつ
　x4−2x2+x=(4p3−4p+1)x−3p4+2p2
　x4−2x2−(4p3−4p)x+3p4−2p2=0
左辺をx2−2px+p2で割ると，割り切れる．
　(x2−2px+p2)(x2+2px+3p2−2)=0 そこで，
　x2+2px+3p2−2=0
がx=qの重解をもてばよい
　x2+2px+3p2−2=x2−2qx+q2より

p=−q (p<q)
3p2−2=q2
これより，p=−1, q=1 (#1)の戻すと
　y=x−1…（答）
(2)

S = \int_{- 1}^{1} {x^{4} - 2 x^{2} + x - (x - 1)} d x

= \int_{- 1}^{1} (x^{4} - 2 x^{2} + 1) d x

偶関数の定積分だから

= 2 \int_{0}^{1} (x^{4} - 2 x^{2} + 1) d x

= 2 [\frac{x^{5}}{5} - \frac{2 x^{3}}{3} + x]_{0}^{1}

= 2 (\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1) = 2 (\frac{3 - 10 + 15}{15}) = \frac{16}{15}

…（答）

※公式(5)を丸暗記してもこの答案はかけない．公式(5)を検算に使うことはできる．

(**)　…上記の(1)～(4)は次の公式の特別な場合となっている．（m, nは正の整数）

S = \int_{α}^{β} (x - α)^{m} (β - x)^{n} d x

= \frac{m! n!}{(m + n + 1)!} (β - α)^{m + n + 1}

※(**)は，ベータ関数の性質（m, nは正の整数）

B (m + 1, n + 1) = \int_{0}^{1} t^{m} (1 - t)^{n} d t = \frac{m! n!}{(m + n + 1)!}

を

t = \frac{x - α}{β - α}

によって，置換積分（数学Ⅲで習う）したものになっている．（オイラーのベータ関数は，理系の大学で習う）

(5)　…放物線と２つの接線で囲まれた図形の面積

　放物線y=ax2+bx+c (a>0)上の点A(α, ···), B(β, ···) (α<β)における接線が交わる点をPとする．線分ABと放物線で囲まれる図形の面積をS，２つの接線と放物線で囲まれる図形の面積をTとおくと

y = a x^{2} + b x + c

P (\frac{α + β}{2}, . . .)

S

M

T

-図5-

S = \frac{a}{6} (β - α)^{3}

T = \frac{a}{12} (β - α)^{3}

S : T = 2 : 1

※この公式(5)は，高校数学Ⅱの教科書に書かれていないので，この結果を，答案として証明なしに使ってはいけない．（教科書の公式なら，黙って使ってよい）
　だから，後の例題5のような問題で，公式(5)を覚えてきて答だけ書いても「答案にはならない」･･･「覚える」という使い方は無意味．次のような「証明の流れを自分流に再現」できればよい．

（公式(5)の証明）
　公式(2)により

S = \frac{a (β - α)^{3}}{6}

…(#1)

　次に，接点Aにおける接線の方程式を求める．
y=ax2+bx+cの導関数はy'=2ax+bだから，
y−(aα2α+b+c)=(2aα+b)(x−α)
y=(2aα+b)x−aα2+c…(#2)
接点Bにおける接線の方程式は，同様にして
y=(2aβ+b)x−aβ2+c…(#3)
連立方程式(#2)(#3)を解く
(2aβ+b)x−aβ2+c=(2aα+b)x−aα2+c
2a(β−α)x=aβ2−aα2
2a(β−α)x=a(β−α)(β+α)
β>αだから

x = \frac{α + β}{2}

(#3)に代入

y = (2 a β + b) \frac{α + β}{2} - a β^{2} + c

= \frac{2 a α β + b α + 2 a β^{2} + b β - 2 a β^{2} + 2 c}{2}

= \frac{2 a α β + b (α + β) + 2 c}{2}

したがって，２接線の交点Pの座標は

P (\frac{α + β}{2}, \frac{2 a α β + b (α + β) + 2 c}{2})

ABの中点をMとすると

M (\frac{α + β}{2}, \frac{a α^{2} + b α + c + a β^{2} + b β + c}{2})

M P = \frac{a α^{2} + b α + c + a β^{2} + b β + c}{2}

- {\frac{2 a α β + b (α + β) + 2 c}{2}}

= \frac{a α^{2} + a β^{2} - 2 a α β}{2} = \frac{a (β - α)^{2}}{2}

AからMPまでの距離は

\frac{α + β}{2} - α = \frac{β - α}{2}

だから

Δ A P M = \frac{a (β - α)^{2}}{2} \times \frac{β - α}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{a (β - α)^{3}}{8}

同様にして

Δ B P M = \frac{a (β - α)^{3}}{8}

したがって

Δ A B P = \frac{a (β - α)^{3}}{4} = S + T

…(#4)

(#1)(#4)より

S : T = \frac{a (β - α)^{3}}{6} : (\frac{a (β - α)^{3}}{4} - \frac{a (β - α)^{3}}{6})

= \frac{a (β - α)^{3}}{6} : \frac{a (β - α)^{3}}{12} = 2 : 1

【例題5】
　放物線y=x2の上に異なる２点P, Qをとる．点Pにおける接線と点Qにおける接線の交点をRとする．線分PQと放物線y=x2が囲む部分の面積と，△PQRの面積の比は，点P, Qの位置に関係なく一定であることを証明せよ．

（2000年度会津大）

（解答）

P Q R M y=x2 T S • • • •

　P(p, p2), Q(q, q2)とおく（ただし，p<q）
　線分PQと放物線y=x2が囲む部分の面積をS，△PQRの面積をS+Tとおくと

S = \frac{(q - p)^{3}}{6}

…(1)

　次に，２つの接線の交点Rの座標を求める
y=x2の導関数はy'=2xだから，Pにおける接線の方程式は
y−p2=2p(x−p)
y=2px−p2…(2)
Pにおける接線の方程式は
y−q2=2q(x−q)
y=2qx−q2…(3)
　連立方程式(2)(3)を解くと

R (\frac{p + q}{2}, p q)

…(4)

　P(p, p2), Q(q, q2)の中点を

M (\frac{p + q}{2}, \frac{p^{2} + q^{2}}{2})

とおくと

M R = \frac{p^{2} + q^{2}}{2} - p q = \frac{(q - p)^{2}}{2}

（←底辺と見る）

Δ P M R = \frac{(q - p)^{2}}{2} \times (\frac{p + q}{2} - p) \times \frac{1}{2} = \frac{(q - p)^{3}}{8}

Δ Q M R = \frac{(q - p)^{2}}{2} \times (q - \frac{p + q}{2}) \times \frac{1}{2} = \frac{(q - p)^{3}}{8}

したがって

S : S + T = \frac{(q - p)^{3}}{6} : \frac{(q - p)^{3}}{4} = 2 : 3

…(答)

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