![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 複素数平面二次曲線媒介変数表示と極座標 数列の極限関数導関数不定積分定積分 行列1次変換 ※高校数学Ⅲの「定積分」について,このサイトには次の教材があります.
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は,他の頁を見てください. が現在地です. ↓定積分の基本 ↓定積分の置換積分 ↓同(2) ↓定積分の部分積分 ↓無理関数の定積分 ↓三角関数の定積分 ↓三角関数(絶対値付き)の定積分 ↓limΣと定積分(区分求積法) ↓同(2)入試問題 ↓閉曲線で囲まれた図形の面積 ↓同(2)媒介変数 ↓同(3) ↓定積分の漸化式 ↓体積,表面積-現在地 ↓曲線の長さ ↓定積分で定義される関数 応用問題 |
== 立体の体積 ==
![]() a≦x≦bの区間でx軸とy=f(x)とで囲まれる図形の面積が,縦の長さf(x)の積分で表された事情を振り返ってみます. aからxまでに描かれる図形の面積をS(x)とおくと xがわずかに⊿xだけ増加したとき,増える面積は黄色で示した長方形の面積,すなわち縦の長さf(x)と横の長さ⊿xの積にほぼ等しくなります. ⊿S(x)≒f(x)⊿x したがって 増分⊿xを限りなく0に近づけると,その極限は近似値ではなく正確f(x)に等しいと見なせます. 元のものが直接には分からなくても,その微分が分かれば,積分によって面積S(x)が求まります. a≦x≦bの区間では
面積を求めたいとき
⇒ 面積の微分 |
![]() 立体の体積を求めるには,体積の微分が断面積になることを利用します. すなわち,左端aから座標xまでの区間にある体積をxの関数としてV(x)で表し,xにおける断面積をS(x)とおきます. 上で復習した面積の求め方と同様にして ⊿V(x)≒S(x)⊿x が示されます.
体積を求めたいとき
⇒ 体積の微分 |
【体積を求める積分計算】
多項式形の積分で数学Ⅱの範囲で求められる体積の問題は,別のページにあります.
![]() x軸に垂直な平面で立体を切ったときの断面積が ![]() ![]()
ちくわのような中抜きの筒の体積を求めるには,外側の円の面積
間違っても, ![]()
(2)のx軸とy軸の立場を入れ換えたものになるから,y軸に垂直な断面の半径は
![]() |
【例題2.1】
(解答)曲線
↑半角公式:
【例題2.2】
(解答)曲線 ![]() |
【例題4.1】
曲線 ![]()
例題3.1で紹介したパップス・ギュルダンの定理で確かめておくと,図形の面積が
重心(x=1上にある)の移動距離は
【例題4.2】
曲線 ![]()
直接計算すると,逆三角関数
次の部分積分を行う さらに次の部分積分を行う 従って |
【例題5.1】
サイクロイド ( ![]()
難しい公式を覚えない.単純に
(解答)において,次のように対応している.
根性物語になってきた~
半角公式で次数を下げる ⇒ 3倍角公式で次数を下げる ⇒
【例題5.2】
アステロイド ![]()
難しい公式を覚えない.単純に
x軸,y軸に関して対称な図形だから,第1象限の部分を回転して2倍する.
積分計算を作るところまでは,簡単にできますが,ここから先がスラスラと書けるような人は,相当な計算力があるはずです.
幾つか方法はありますが,以下では定積分の漸化式を利用する方法で求めてみます. ここで, 次の部分積分を行う.(n≧2) これにより,順次次数を下げると 結局 |
== 回転体の表面積 ==
最近の高校の教科書では,回転体の表面積の問題はほとんど扱われていません.
曲線
![]() 求める側面積は,正確には右図のアースカラーで示した円錐台の微小な幅の側面積を継ぎ足したものであるが, まず,横幅 そこで,幅
円錐台であるから,実際には円柱の側面よりは狭い部分と広い部分があるが,積分に使うのは1次近似で,中央で見れば差し引き帳消しになると解釈できる
|
【例題6.1】
(解答)半径 原点を中心とする半径 円の方程式は
【例題6.2】
(解答)放物線 ここで だから |
![]() ![]() |
髫ィ�ス�ソ�ス驍オ�コ髦ョ蜻サ�ソ�ス驛「�ァ�ス�オ驛「�ァ�ス�、驛「譏懶スコ�・�ス�ス驍オ�コ�ス�ョGoogle髫カツ隲幢ソス�ス�エ�ス�「髫ィ�ス�ソ�ス |