■ 以上により，S= ・・・これが，求める図形の面積です．
■ 定積分との関係
上の図形の面積は，定積分 で表わされます．
これらを比較すると，
すなわち，
上組と下組は等しいので， も成立します．
数列の和の極限を定積分に直す方法
■ 数列の和の極限を定積分に直すには，次のような図を考えます．
(公式)
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■ この公式を使うには，「各部品」を正確に対応させることが大切です．（初めは，大変難しいものです．）
＜要点＞
１ まず，Δｘ（通常は１／ｎ）を分離すること：これがｄｘになります．
（Σ記号の初項から末項までの項数ｎ個の等分となっている）
２ ｘｋを決める → ｆ（ｘｋ）を決める → ｆ（ｘ）を決める．
３ limΣ→∫ とします．
４ ｘ０＝ａ，ｘｎ＝ｂ とします．（ｂ－ａ＝１でないなら，１の段階でΔｘを調整します．）
(例１) 次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：Δｘの役割】
(考え方)
-
１／ｎ＝Δｘ がなければ積分できません．なければ作ります．このために，１／ｎでくくります．（区間の幅は１）
-
ｋ／ｎ＝ｘｋ → ｆ（ｘｋ）＝
 → ｆ（ｘ）＝ とします．
-
ｋ／ｎ＝ｘｋ → ａ＝ｘ０＝０， ｂ＝ｘｎ＝１（区間の幅は１でよい．）
-
limΣを∫にします．
（答案）
＝ ＝
(例２) 次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：区間の幅】
(考え方１)
-
１／ｎでくくります．（区間の幅は１）
-
ｘｋ＝ｋ／ｎ → ｆ（ｘｋ）＝πsinπｘｋ
→ f(ｘ)＝πsinπｘ
-
ｘｋ＝ｋ／ｎ →ａ＝ｘ０＝０，ｂ＝ｘｎ＝１
（区間の幅は１）
-
limΣを∫にします．
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(考え方２)
-
π／ｎ＝Δｘとします．（区間の幅はπ）
-
ｘｋ＝ｋπ／ｎ → ｆ（ｘｋ）＝sinｘｋ
→ f(ｘ)＝sinｘ
-
ｘｋ＝ｋπ／ｎ →ａ＝ｘ０＝０，ｂ＝ｘｎ＝π
（区間の幅はπ）
-
limΣを∫にします．
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(例３) 次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：ｘｋ←→ｆ（ｘｋ）←→ｆ（ｘ）】
(考え方１)
-
１／ｎでくくります．（区間の幅は１）
-
 ＝
-
ｘｋ＝ｋ／ｎとおくと， ｆ（ｘｋ）＝（１＋ｘｋ）２
ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）２
-
ａ＝ｘ０＝０， ｂ＝ｘｎ＝１（区間の幅は１）
-
limΣを∫にします．
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(考え方２)
-
１／ｎでくくります．（区間の幅は１）
-
＝
-
ｘｋ＝１＋ｋ／ｎとおくと， ｆ（ｘｋ）＝ｘｋ２
ｆ（ｘ）＝ｘ２
-
ａ＝ｘ０＝１， ｂ＝ｘｎ＝２（区間の幅は１）
-
limΣを∫にします．
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(例４) 次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：皮1枚過剰→引いてから足す】
(考え方)
 または  が  に等しいので，
 では，「皮１枚分」多いことになります．（次の図参照）
 →
この場合，「大した違いはないから」などとあいまいにせず，「過剰分を引いて定積分を完成してから」「右端（または左端）の項を加え」ます．
（答案）
＝
(例５) 次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：皮1枚不足→足してから引く】
(考え方)
または が に等しいので，この問題では「皮１枚分不足」です．
この場合，「不足分を埋めて，定積分を完成してから」「引きます」．（次の図参照）（埋めるのは，左端でもよい．）
（答案）
＝
(例６) 次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：３ｎ等分→Δｘ＝１／(３ｎ)】
(考え方)
k=1～3nなので，短冊の横幅としてΔｘ＝１／（3n）を使うと，図形を想像しやすくなります．
（答案）
※ （例１）でｎに３ｎを代入したものと一致します．
(例７) 次の極限値を定積分に直し，その値を求めなさい．【ポイント：ａ→初項，ｂ→末項】
(考え方)
ｋ＝ｎ＋１～３ｎ なので，項数は２ｎです．
Δｘ＝１／（2n），ｘｋ＝ｋ／（2n）とおくとき，ａ＝ｘｎ＝１／２，ｂ＝ｘ３ｎ＝３／２ です．
（答案）
＝
《問題》
次の極限値を定積分に直したとき，右欄のどの式と等しくなりますか．(→→解説)
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）と少し小さ目の長方形の和（下組
）を考えます．もし，求める図形に面積Ｓがあるとすれば，
）
→ 
→ 
