定積分の置換積分法

x + 2 = u とおくと， x−1 = u−3
dx = du
x -2　→　1
u　0　→　3

1−x = u とおくと，

= u， =−1

x　0　→　1
u　1　→　0

この形の関数の定積分は上端下端の値で表せますが,不定積分は逆三角関数を使わなければ表現できないので，高校では扱いません。

= du

= du = u + C
･･･　u が x に戻らない．

◆要点◆

：高校数学の範囲内

：高校数学の範囲外

→閉じる←

x = 3 sin u とおくと， = 3 cos u　→　dx = 3 cos u du
x 　0　→　3
u　 0　→　

上の問題と同様，定積分は高校数学の範囲内，不定積分は範囲外です。 →閉じる←

x = 3 sin u とおくと，
x 　0　→　3
u　 0　→　　　(この区間では cos u > 0)

= = 3 = 3 cos u

= 3 cos u　→　dx = 3 cos u du

x2+ 1 = u とおくと，
= 2x　→　dx =
x 　0　→　1
u　 1　→　2

(分母)’=(分子)の形になっているので,不定積分は log(ex + 1)

これを使えば，
(原式) = log(ex + 1)

= log(e + 1)−log 2

→閉じる←

ex+ 1 = u とおくと，
= ex　→　dx =

x 　0　→　1
u　 2　→　e+1

x = tan u とおくと，
= = cos2u

= 　 →　 dx =

x 　0　→　1
u　 0　→　

(1) (x + 2)2(x−1)dx	◇考え方◇ x + 2 = u とおくと展開が簡単になります． x + 2 = u とおくと， x−1 = u−3 dx = du x -2　→　1 u　0　→　3 (原式) = − ･･･(答)
(2) dx	◇考え方◇ 1−x = u とおくと，u になります． 1−x = u とおくと， = u， =−1 x　0　→　1 u　1　→　0 (原式) = u (−du) = udu = =
(3) ･･･[参考]･･･この形の関数の定積分は上端下端の値で表せますが,不定積分は逆三角関数を使わなければ表現できないので，高校では扱いません。 = du = du = u + C ･･･　u が x に戻らない． ◆要点◆ ：高校数学の範囲内：高校数学の範囲外 →閉じる←	◇考え方◇ x = 3 sin u とおくと， = = 3 = 3 \|cos u\| (cos u > 0 のときは 3 cos u) x = 3 sin u とおくと， = 3 cos u　→　dx = 3 cos u du x 　0　→　3 u　 0　→　 (原式) = = du = u =
(4) dx ･･･[参考]･･･上の問題と同様，定積分は高校数学の範囲内，不定積分は範囲外です。 →閉じる←	x = 3 sin u とおくと， x 　0　→　3 u　 0　→　　　(この区間では cos u > 0) = = 3 = 3 cos u = 3 cos u　→　dx = 3 cos u du (原式) = =
(5) 2x(x2 + 1)3dx	x2+ 1 = u とおくと， = 2x　→　dx = x 　0　→　1 u　 1　→　2 (原式) = u3du = =
(6) dx ･･･[別解]･･･ (分母)’=(分子)の形になっているので,不定積分は log(ex + 1) これを使えば， (原式) = log(ex + 1) = log(e + 1)−log 2 →閉じる←	ex+ 1 = u とおくと， = ex　→　dx = x 　0　→　1 u　 2　→　e+1 (原式) = = log
(7) dx	◇考え方◇ 　三角関数の公式：1+tan2u= 　を利用して， = cos2u の形にします． x = tan u とおくと， = = cos2u = 　 →　 dx = x 　0　→　1 u　 0　→　 (原式) = cos2u = du = u =

→ 携帯版は別頁 ■定積分の置換積分法 ◇解説◇ 　定積分の置換積分では， (1)　被積分関数 f(x)dx (2)　積分変数 f(x)dx (3)　積分区間 f(x)dx の３箇所を書き換えます。	例１ (2x+1)3dx 2x+1=u とおくと = 2　→　dx = x 0　→　1 u　1　→　3 (原式)= u3 = = − = =10 ※　ax + b = u とおくと，展開しなくてすむ
例２ 1 - sin2 x = cos2 x　だから， cos x > 0 のとき， = cos x そこで， dx →　x = sin u とおくと　 cos u ... du　の形になります． dx →　x = a sin u (a > 0) とおくと　a cos u ... du　の形になります．

■　問題　次の空欄を埋めなさい。(なお，空欄にはスペースを使わずに半角の「アルファベット小文字または数字」だけを使用するものとします．)
問題	答案