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【例１】
　a>0, b>0, 0≦t≦2πのとき，x=acost , y=bsintで囲まれた図形の面積を求めてください．

=−asint, =bcostだから

t	0				π				2π
	0	−	−	−	0	+	+	+	0
	+	+	0	−	−	−	0	+	+
(x,y)	(a,0)		(0,b)		(−a,0)		(0,−b)		(a,0)
向き

（参考１）
　左の方程式は，楕円
+=1 の媒介変数表示になっています．

（参考２）
図のような図形の面積は，通常 S={f(x)−g(x) }dx によって計算しますが，この問題では無理です．
　というのは，この問題では（上）と（下）は関数形によって区別されるのではなく，（上）（下）の関数形は同じになるため，単純に引き算をすれば消えてなくなってしまいます．
　（上）であるか（下）であるかはtの積分区間によって区別されています．だから，左図のようにx軸とで囲まれる図形の面積を２つに分けて計算します．

a=b(=r)のときは，円になり,S=πr2となります．

【例２】
　a>0のとき，x=a(t−sint) , y=a(1−cost)とx軸とで囲まれた図形の面積を求めてください．

=a(1−cost)≧0, =asintだから

t	0		π		2π
	0	+	+	+	0
	+	+	0	−	−
(x,y)	(0,0)		(πa,2a)		(2πa,0)
向き

（参考３）
　左のグラフはサイクロイドと呼ばれ，円が直線上を滑らずに回転するときに，円周上の１点が描く軌跡となっています．

【問題１】次の途中計算を参考にしてx=sint , y=sin2t(0≦t≦π)で囲まれる図形の面積を求めてください
（途中計算）
=cost , =0 ⇔ t=
=2cos2t , =0 ⇔ t=,

t	0								π
	+	+	+	+	0	−	−	−	−
	+	+	0	−	−	−	0	+	+
(x , y)	(0,0)		(,1)		(1,0)		(,−1)		(0,0)
向き

y=0 ⇔ t=0,,π
グラフは次のようになる． S=y1 dx+(−y2 )dx =sin2tcost dt+(−sin2tcost)dt =sin2tcost dt+sin2tcost dt =sin2tcost dt

【問題２】次の途中計算を参考にしてx=sin2t , y=sin3t(0≦t≦)で囲まれる図形の面積を求めてください
（※暗算ではできません．計算用紙が必要です．） （途中計算）
=2cos2t , =0 ⇔ 2t= ⇔ t=
=3cos3t , =0 ⇔ 3t= ⇔ t=
y=0 ⇔ 3t=0,π ⇔ t=0,

t	0
		+	+	+	0	−
		+	0	−	−	−
(x , y)	(0,0)		(,1)		(1,)		(,0)
向き

グラフは次のようになる．

【問題３】x=t2 , y=t3−3tで囲まれる図形の面積を求めてください
（※暗算ではできません．計算用紙が必要です．速い人でも10分はかかるでしょう．）