絶対値付関数の積分

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不定積分(解説)/不定積分1/不定積分２/不定積分(展開)/不定積分,変数t,r,y/不定積分,積分定数の決定/定積分1/定積分2/定積分の計算/定積分で定義される関数/面積/絶対値付関数の積分/絶対値付関数の積分(2)/曲線で囲まれた図形の面積(1)/曲線で囲まれた図形の面積(2)/曲線で囲まれた図形の面積(3)/立体の体積/

■絶対値付関数の積分
◆要点◆　・・・　区間によって異なる関数形となるときは，区間を分けて積分します。

※　基本的な使い方は，右図［１］のような場合で，ａからｂまで積分するときに，途中のｃで関数形が変わるとき，まずａからｃまでの積分を求め，これにｃからｂまでの積分を加えます。

【解説】　原始関数の１つをF(x)とすると
左辺＝F(b) - F(a)
右辺＝F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)
これらは等しい。

※　左の解説において，a，b，cの大小関係は前提とされておらず，単にF(c)が計算上消えることによるので，図［2］のようにｃがａ，ｂの外側にある場合でもこの公式は成り立ちます。

◆絶対値付の関数の積分◆
　絶対値付きの関数の積分は、要注意です。特に、積分してから絶対値を付けたものは，元のものと全く違います。

例

　絶対値付きの関数を正しく積分するためには，絶対値記号をはずして、区間ごとに分けて計算します。（次の例題参照）

■例題 (1) を計算しなさい。（答案） \|x-1\|は　ア)　x<1のとき-x+1　イ)　x≧1のときx-1　となるから	【解説図】
(2)　を計算しなさい。（答案）	【解説図】

■問題　・・・　次の各定積分の計算式を選びなさい。（初めに問題を１つ選び，続いて対応する計算式を選びなさい。合っていれば消えます。）

問題	計算式	ヒント
ヒント解答ヒント解答ヒント解答ヒント解答ヒント解答
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【助変数を含むとき】

f (x) = \int_{a}^{x} ∣ t - 1 ∣ d t

…(1)
の積分記号の中では，xは定数，tが変数
積分記号の外では，xが変数，tは存在しない．

f (x) = \int_{a}^{b} ∣ t - x ∣ d t

…(2)
の積分記号の中では，xは定数，tが変数
積分記号の外では，xが変数，tは存在しない．

(1)のように積分変数がtで，それとは異なる文字xが積分区間の上端や下端にあるとき，

tで積分するときは，xは単なる定数として扱い，できあがったxの式をxの関数とします．

【例】

f (x) = \int_{0}^{x} ∣ t - 1 ∣ d t

をxの簡単な式で表してください．

（解答）

　t<1のとき|t−1|=−t+1
　t≧1のとき|t−1|=t−1
だから
(ア) x<1のとき積分区間0≦t≦xに入るどのtの値に対しても
　|t−1|=−t+1
となるから
　

f (x) = \int_{0}^{x} ∣ t - 1 ∣ d t = \int_{0}^{x} (- t + 1) d t

= {[- \frac{t^{2}}{2} + t]}_{0}^{x} = - \frac{x^{2}}{2} + x

ここでは0≦xの図で説明したが，実際には積分区間の上端が下端よりも小さくても構わない（上から下を引くだけの計算だから）から，x<0でもよい．

(イ) 1≦xのとき積分区間0≦t≦xは，次の2つの区間に分けられる．

i) 0≦t<1のとき|t−1|=−t+1
ii) 1≦t≦xのとき|t−1|=t−1

f (x) = \int_{0}^{1} (- t + 1) d t + \int_{1}^{x} (t - 1) d t

= {[- \frac{t^{2}}{2} + t]}_{0}^{1} + {[\frac{t^{2}}{2} - t]}_{1}^{x}

= \frac{1}{2} - 0 + (\frac{x^{2}}{2} - x) - (\frac{1}{2} - 1)

= \frac{x^{2}}{2} - x + 1

(2)のように積分変数がtで，それとは異なる文字xとの大小に応じて絶対値記号のはずし方を考えるとき

tで積分するときは，xは単なる定数として扱い，できあがったxの式をxの関数とする事情は(1)と同じですが，xが積分区間の中にある場合には，場合分けして積分することになります．

【例】

f (x) = \int_{0}^{1} ∣ t - x ∣ d t

をxの簡単な式で表してください．

（解答）

(ア) x<0のとき，積分区間0≦t≦1に含まれるどのtの値もt−x>0を満たすから

f (x) = \int_{0}^{1} ∣ t - x ∣ d t = \int_{0}^{1} (t - x) d t

= {[\frac{t^{2}}{2} - x t]}_{0}^{1} = (\frac{1}{2} - x) - (0 - 0) = \frac{1}{2} - x

xは定数だから値が固定されている．
xに先に手を出させてから，tは「後出しジャンケン」をする

(イ) 0≦x<1のとき，積分区間0≦t≦1に含まれるtの値のうち

i) 0≦t<xのとき，t<xだから|t−x|=−t+x
ii) x≦t≦1のとき，t≧xだから|t−x|=t−x

f (x) = \int_{0}^{1} ∣ t - x ∣ d t = \int_{0}^{x} (- t + x) d t + \int_{x}^{1} (t - x) d t

= {[- \frac{t^{2}}{2} + x t]}_{0}^{x} + {[\frac{t^{2}}{2} - x t]}_{x}^{1}

= - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} - 0 + (\frac{1}{2} - x) - (\frac{x^{2}}{2} - x^{2})

= x^{2} - x + \frac{1}{2}

(ウ) x≧1のとき，積分区間0≦t≦1に含まれるどのtの値もt−x≦0を満たすから

f (x) = \int_{0}^{1} ∣ t - x ∣ d t = \int_{0}^{1} (- t + x) d t

= {[- \frac{t^{2}}{2} + x t]}_{0}^{1} = - \frac{1}{2} + x

【問題２】

t, xは実数とする．関数f(t)を

f (t) = 2 ∣ t - 1 ∣ + t + 1

と定義し，

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

とおく．
(2) 関数F(x)を求めよ．
(1)(3)(4) 略

（2014年度愛媛大入試問題）

解説を読む解説を隠す

t<1のとき|t−1|=−t+1
t≧1のとき|t−1|=t−1
だから
(ア) x<1のとき積分区間0≦t≦xに入るどのtの値に対しても
|t−1|=−t+1
となるから

F (x) = \int_{0}^{x} (2 ∣ t - 1 ∣ + t + 1) d t = \int_{0}^{x} (- t + 3) d t

= {[- \frac{t^{2}}{2} + 3 t]}_{0}^{x} = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x

(イ) 1≦xのとき積分区間0≦t≦xは，次の2つの区間に分けられる．

i) 0≦t<1のとき|t−1|=−t+1
ii) 1≦t≦xのとき|t−1|=t−1

F (x) = \int_{0}^{1} (- 2 t + 2 + t + 1) d t + \int_{1}^{x} (2 t - 2 + t + 1) d t

= \int_{0}^{1} (- t + 3) d t + \int_{1}^{x} (3 t - 1) d t

= {[- \frac{t^{2}}{2} + 3 t]}_{0}^{1} + {[\frac{3 t^{2}}{2} - t]}_{1}^{x}

= - \frac{1}{2} + 3 - 0 + (\frac{3 x^{2}}{2} - x) - (\frac{3}{2} - 1)

= \frac{3 x^{2}}{2} - x + 2

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【問題３】

　実数xに対して，関数f(x)を

f (x) = \int_{0}^{2} ∣ t - x ∣ d t

とおく．次の問いに答えよ．
(1)　関数f(x)を求め，そのグラフをかけ．
(2)(3) 略

（2011年度金沢大入試問題）

解説を読む解説を隠す

(ア) x<0のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるどのtの値もt−x>0を満たすから

f (x) = \int_{0}^{2} ∣ t - x ∣ d t = \int_{0}^{2} (t - x) d t

= {[\frac{t^{2}}{2} - x t]}_{0}^{2} = (2 - 2 x) - (0 - 0) = 2 - 2 x

(イ) 0≦x<2のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるtの値のうち

i) 0≦t<xのとき，t<xだから|t−x|=−t+x
ii) x≦t≦2のとき，x≦tだから|t−x|=t−x

f (x) = \int_{0}^{2} ∣ t - x ∣ d t = \int_{0}^{x} (- t + x) d t + \int_{x}^{2} (t - x) d t

= {[- \frac{t^{2}}{2} + x t]}_{0}^{x} + {[\frac{t^{2}}{2} - x t]}_{x}^{2}

= - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} - 0 + (2 - 2 x) - (\frac{x^{2}}{2} - x^{2})

= x^{2} - 2 x + 2

(ウ) x≧2のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるどのtの値もt−x≦0を満たすから

f (x) = \int_{0}^{2} ∣ t - x ∣ d t = \int_{0}^{2} (- t + x) d t

= {[- \frac{t^{2}}{2} + x t]}_{0}^{2} = 2 x - 2

グラフは右図

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値付き関数の積分について／17.1.5］

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