絶対値付関数の積分

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■絶対値付関数の積分
◆要点◆　・・・　区間によって異なる関数形となるときは，区間を分けて積分します。

※　基本的な使い方は，右図［１］のような場合で，ａからｂまで積分するときに，途中のｃで関数形が変わるとき，まずａからｃまでの積分を求め，これにｃからｂまでの積分を加えます。

【解説】　原始関数の１つをF(x)とすると
左辺＝F(b) - F(a)
右辺＝F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)
これらは等しい。

※　左の解説において，a，b，cの大小関係は前提とされておらず，単にF(c)が計算上消えることによるので，図［2］のようにｃがａ，ｂの外側にある場合でもこの公式は成り立ちます。

◆絶対値付の関数の積分◆
　絶対値付きの関数の積分は、要注意です。特に、積分してから絶対値を付けたものは，元のものと全く違います。

例

　絶対値付きの関数を正しく積分するためには，絶対値記号をはずして、区間ごとに分けて計算します。（次の例題参照）

■例題 (1) を計算しなさい。（答案） \|x-1\|は　ア)　x<1のとき-x+1　イ)　x≧1のときx-1　となるから	【解説図】
(2)　を計算しなさい。（答案）	【解説図】

■問題　・・・　次の各定積分の計算式を選びなさい。（初めに問題を１つ選び，続いて対応する計算式を選びなさい。合っていれば消えます。）

問題	計算式	ヒント
ヒント解答ヒント解答ヒント解答ヒント解答ヒント解答
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【助変数を含むとき】
$f(x)=\int_{a}^x\mid t-1\mid dt$ …(1)
の積分記号の中では，xは定数，tが変数
積分記号の外では，xが変数，tは存在しない．
$f(x)=\int_{a}^b\mid t-x\mid dt$ …(2)
の積分記号の中では，xは定数，tが変数
積分記号の外では，xが変数，tは存在しない．

(1)のように積分変数がtで，それとは異なる文字xが積分区間の上端や下端にあるとき，

tで積分するときは，xは単なる定数として扱い，できあがったxの式をxの関数とします．

【例】
$f(x)=\int_{0}^x\mid t-1\mid dt$
をxの簡単な式で表してください．

（解答）

　t<1のとき|t−1|=−t+1
　t≧1のとき|t−1|=t−1
だから
(ア) x<1のとき積分区間0≦t≦xに入るどのtの値に対しても
　|t−1|=−t+1
となるから
　 $f(x)=\int_{0}^x\mid t-1\mid dt=\int_{0}^x(-t+ 1)dt$
　 $=\left[-\frac{t^2}{2}+ t\right]_0^x=-\frac{x^2}{2}+ x$

ここでは0≦xの図で説明したが，実際には積分区間の上端が下端よりも小さくても構わない（上から下を引くだけの計算だから）から，x<0でもよい．

(イ) 1≦xのとき積分区間0≦t≦xは，次の2つの区間に分けられる．

i) 0≦t<1のとき|t−1|=−t+1
ii) 1≦t≦xのとき|t−1|=t−1

$f(x)=\int_{0}^1(-t+ 1)dt+\int_{1}^x(t-1)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ t\right]_0^1+\left[\frac{t^2}{2}-t\right]_1^x$
$=\frac{1}{2}-0+ (\frac{x^2}{2}-x)-(\frac{1}{2}-1)$
$=\frac{x^2}{2}-x+ 1$

(2)のように積分変数がtで，それとは異なる文字xとの大小に応じて絶対値記号のはずし方を考えるとき

tで積分するときは，xは単なる定数として扱い，できあがったxの式をxの関数とする事情は(1)と同じですが，xが積分区間の中にある場合には，場合分けして積分することになります．

【例】
$f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt$
をxの簡単な式で表してください．

（解答）

(ア) x<0のとき，積分区間0≦t≦1に含まれるどのtの値もt−x>0を満たすから
$f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt=\int_{0}^1(t-x)dt$
$=\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_0^1=(\frac{1}{2}-x)-(0-0)=\frac{1}{2}-x$

xは定数だから値が固定されている．
xに先に手を出させてから，tは「後出しジャンケン」をする

(イ) 0≦x<1のとき，積分区間0≦t≦1に含まれるtの値のうち

i) 0≦t<xのとき，t<xだから|t−x|=−t+x
ii) x≦t≦1のとき，t≧xだから|t−x|=t−x

$f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt=\int_{0}^x(-t+ x)dt+\int_x^1(t-x)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^x+\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_x^1$
$=-\frac{x^2}{2}+ x^2-0+(\frac{1}{2}-x)-(\frac{x^2}{2}-x^2)$
$=x^2-x+\frac{1}{2}$
(ウ) x≧1のとき，積分区間0≦t≦1に含まれるどのtの値もt−x≦0を満たすから
$f(x)=\int_{0}^1\mid t-x\mid dt=\int_{0}^1(-t+ x)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^1=-\frac{1}{2}+ x$

【問題２】

t, xは実数とする．関数f(t)を $f(t)=2\hspace{2}\mid\hspace{2}t-1\hspace{2}\mid + t+ 1$
と定義し， $F(x)=\int_0^xf(t)dt$ とおく．
(2) 関数F(x)を求めよ．
(1)(3)(4) 略

（2014年度愛媛大入試問題）

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t<1のとき|t−1|=−t+1
t≧1のとき|t−1|=t−1
だから
(ア) x<1のとき積分区間0≦t≦xに入るどのtの値に対しても
|t−1|=−t+1
となるから
$F(x)=\int_{0}^x\left(2\mid t-1\mid + t+ 1\right)dt=\int_{0}^x(-t+ 3)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ 3t\right]_0^x=-\frac{x^2}{2}+ 3x$
(イ) 1≦xのとき積分区間0≦t≦xは，次の2つの区間に分けられる．

i) 0≦t<1のとき|t−1|=−t+1
ii) 1≦t≦xのとき|t−1|=t−1

$F(x)=\int_{0}^1(-2t+ 2+ t+ 1)dt+\int_{1}^x(2t-2+ t+ 1)dt$
$=\int_{0}^1(-t+ 3)dt+\int_{1}^x(3t-1)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ 3t\right]_0^1+\left[\frac{3t^2}{2}-t\right]_1^x$
$=-\frac{1}{2}+ 3-0+ (\frac{3x^2}{2}-x)-(\frac{3}{2}-1)$
$=\frac{3x^2}{2}-x+ 2$

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【問題３】

　実数xに対して，関数f(x)を $f(x)=\int_0^2\mid\hspace{2}t-x\hspace{2}\mid dt$
とおく．次の問いに答えよ．
(1)　関数f(x)を求め，そのグラフをかけ．
(2)(3) 略

（2011年度金沢大入試問題）

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(ア) x<0のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるどのtの値もt−x>0を満たすから
$f(x)=\int_{0}^2\mid t-x\mid dt=\int_{0}^2(t-x)dt$
$=\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_0^2=(2-2x)-(0-0)=2-2x$
(イ) 0≦x<2のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるtの値のうち

i) 0≦t<xのとき，t<xだから|t−x|=−t+x
ii) x≦t≦2のとき，x≦tだから|t−x|=t−x

$f(x)=\int_{0}^2\mid t-x\mid dt=\int_{0}^x(-t+ x)dt+\int_x^2(t-x)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^x+\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_x^2$
$=-\frac{x^2}{2}+ x^2-0+(2-2x)-(\frac{x^2}{2}-x^2)$
$=x^2-2x+ 2$
(ウ) x≧2のとき，積分区間0≦t≦2に含まれるどのtの値もt−x≦0を満たすから
$f(x)=\int_{0}^2\mid t-x\mid dt=\int_{0}^2(-t+ x)dt$
$=\left[-\frac{t^2}{2}+ xt\right]_0^2=2x-2$

グラフは右図

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[絶対値付き関数の積分について／17.1.5］

短時間でこなせるように、難易度の低い問題から中程度の問題に遷移する形で、問題数を増やしてほしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．サブメニューが易しいものから難しいものへの順に並んでいますので,活用してください．