→ 携帯版は別頁

高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 積分

== 立体の体積 ==

面積を求めたいとき
⇒ 面積の微分$S^{\prime }(x)$が縦の長さf(x)になるのでSは縦の長さの積分で求められる

体積を求めたいとき
⇒ 体積の微分V’(x)が断面積S(x)になるのでVは断面積の積分で求められる

【例１】
　底面の半径がrで高さがhである直円錐の体積を求めてください．

【例２】
　半径rの球の体積と表面積を求めてください．

【例３】
　放物線$y=4-x^2$とx軸とで囲まれる図形を
(1) x軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．
(2) y軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

【要点】
(1) x軸のまわりの回転
${\displaystyle V={\int }_a^b\pi y^{2}dx\leftarrow y=f(x)}$
(2) y軸のまわりの回転
${\displaystyle V={\int }_{\alpha }^{\beta }\pi x^{2}dy\leftarrow x=g(y)}$

(1)
$y=x^2$とx軸およびx=1の直線で囲まれる図形をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$

${\displaystyle V={\int }_0^1\pi y^{2}dx={\int }_0^1\pi x^{4}dx}$
${\displaystyle =[\frac{\pi x^5}{5}{]}_0^1=\frac{\pi }{5}}$…（答）

(2)
$y=x^2$とy軸およびy=1の直線で囲まれる図形をy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$

${\displaystyle V={\int }_0^1\pi x^{2}dy}$
ここで，$y=x^2$より$x=\sqrt{y}(>0)$だから
${\displaystyle V={\int }_0^1\pi ydy=[\frac{\pi y^2}{2}{]}_0^1=\frac{\pi }{2}}$ …（答）

(3)
$y=x^2-2x$とx軸とで囲まれる図形をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$ ${\displaystyle \frac{3}{5}}\pi$ ${\displaystyle \frac{16}{15}}\pi$ ${\displaystyle \frac{31}{30}}\pi$

x軸との交点の座標は(0, 0), (0, 2)
${\displaystyle V={\int }_0^2\pi (x^2-2x{)}^{2}dx={\int }_0^2\pi (x^4-4x^3+4x^2)dx}$
${\displaystyle =[\pi (\frac{x^5}{5}-x^4+\frac{4}{3}{x}^3){]}_0^2=\frac{16}{15}\pi }$ …（答）

(4)
　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1}$で囲まれる図形をy軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説 やり直す

$3\pi$ $4\pi$ $9\pi$ $16\pi$

　※現行教育課程で，数学Ⅱの積分を習う時点では楕円の方程式を習っていないようですが，グラフが描いてあるので問題を解く上で差支えないでしょう．
　y軸のまわりに１回転するのだから，$S=\pi x^2$をyの関数として表しておきます．
${\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1}$
より
$x^2=4(1-{\displaystyle \frac{y^2}{9}})$
${\displaystyle V=2{\int }_0^3\pi \times 4(1-\frac{y^2}{9})dy}$
${\displaystyle =8\pi [y-\frac{y^3}{27}{]}_0^3=16\pi }$ …（答）

【例４】
　$y=x^2-1$と$y=x+1$とで囲まれる図形をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

　半周前にできた図形を，周回遅れの図形が消していくわけではない！
　権兵衛がまいた種を，カラスがほじくるわけではない！
⇒ １回でも通るところは全部合格という約束で考える
⇒ 図形を折り返して重ねたとき，「遠い方」（右図の赤線）が生き残る．
　ただし，図の青線のように空洞（ちくわような中抜きの空間）ができるときは，その体積を引く．

(1)
$y=2-2x^2$と$y=1-x^2$で囲まれる図形をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{8}{5}}\pi$ ${\displaystyle \frac{8}{15}}\pi$ ${\displaystyle \frac{16}{5}}\pi$ ${\displaystyle \frac{16}{15}}\pi$

中空図形の引き算は
${\displaystyle \int (\pi r_1^2-\pi r_2^2)dx}$
で求めます．これは，
${\displaystyle \int \pi (r_1-r_2{)}^{2}dx}$
とは違うことに注意してください．
${\displaystyle V=2\pi {\int }_0^1\{(2-2x^2{)}^2-(1-x^2{)}^2\}dx}$
${\displaystyle =2\pi {\int }_0^1(3x^4-6x^2+3)dx}$
${\displaystyle =2\pi [\frac{3x^5}{5}-2x^3+3x{]}_0^1=\frac{16}{5}\pi }$…（答）

(2)
　円$x^2+y^2=4$とy=xで囲まれる図形（の上側の部分）をx軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{4}{3}\pi \sqrt{2}}$ ${\displaystyle \frac{8}{3}\pi \sqrt{2}}$ ${\displaystyle \frac{4}{3}\pi (1+\sqrt{2})}$ ${\displaystyle \frac{8}{3}\pi (2+\sqrt{2})}$

右図の赤で示した線が外側の線で，青で示した線が中抜きになる線です．
$x^2+y^2=4$ とy=xの交点のx座標は$x=\sqrt{2}(>0)$
${\displaystyle V=\pi {\int }_{-2}^{\sqrt{2}}(4-x^2)dx-\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}{x}^{2}dx}$
${\displaystyle =\pi [4x-\frac{x^3}{3}{]}_{-2}^{\sqrt{2}}-\pi [\frac{x^3}{3}{]}_0^{\sqrt{2}}}$
${\displaystyle =\frac{8}{3}\pi (2+\sqrt{2})}$…（答）

【例５】
　半径が１，高さが１の直円柱を底面の直径のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めてください．

(1)
　底面の半径がr，高さがhの直円柱を，底面の１つの直径のまわりに１回転してできる立体の体積をV1とし，右図の水色で示した長方形を直径のまわりに回転してできる円柱の体積をV2=πh2×2rとするとき，V1−V2を求めてください．（すなわち，平面を回転させたときの円柱の体積よりもどれだけ増えるか）

解説 やり直す

$2\pi r$ $\pi r^2$ $4\pi r^2$ ${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$

例5と同様に，求める回転体の半径をRとおいて計算すると
　三平方の定理により
$R^2=h^2+(\sqrt{r^2-x^2}{)}^2=h^2+r^2-x^2$
${\displaystyle V_1=2{\int }_0^r\pi (h^2+r^2-x^2)dx}$
${\displaystyle =2\pi [(h^2+r^2)x-\frac{x^3}{3}{]}_0^r=2\pi (h^{2}r+\frac{2}{3}{r}^3)}$
$V_1-V_2={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$…（答）
（※ちょうど半径rの球の体積だけ増える．これは，元の円柱が薄さ０のペラペラのときは，球そのものになるので直ちにわかります．長い円柱の場合は，通過距離が長くなる代わりに膨らみが薄くなって，結局同じ分量になるということのようです．）

例4)の解答の1)のV1=の式の、x^1-1はx^2-1ではないでしょうか？0-(1-x^2)から求めていると思うので
＝＞［作者］：連絡ありがとう．訂正しました．