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【例題1】
　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^2\mid x^3-3x^2+2x\mid dx}$の値を求めよ．

■絶対値付き関数の積分を求めるには，「場合分けにより絶対値を外してから積分する」のが基本
■『気長に』『愚直に』やるべし･･･正直者が報われる
■「楽な方法」「近道，裏技」はない･･･迷いの時間が無駄

高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 積分

（閑談）
高校数学Ⅰ，Ⅱの答案で，場合分けは「漏れなく」「重複なく」行うのが基本で，「重複がある」ような場合分けは，めったにないが，定積分については
${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx(a<c<b)}$
という「重要公式」に示されるように，つなぎ目のcは，左にも右にも入っている．
すなわち
のように書かれ，コウモリ軍団cは，左側の区間にも，右側の区間にも入っていることになる．（教科書や参考書では，ア）イ）のように書かれる．）
　しかし，次の公式があるので，結果的には，矛盾はない．
${\displaystyle {\int }_c^c{f}_1(x)dx=0}$
これにより
${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$
${\displaystyle =({\int }_a^c{f}_1(x)dx-{\int }_c^c{f}_1(x)dx)+{\int }_c^b{f}_2(x)dx}$

という解釈ができる！
（ペラペラの皮を１枚はがすと（${\displaystyle -{\int }_c^c{f}_1(x)dx}$）となって，コウモリ軍団は，鳥軍団の専属だと解釈できる．）

　定積分${\displaystyle {\int }_0^4\mid x^2-7x+10\mid dx}$を求めよ．

$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)<0$
$\to 2<x<5$
$(x-2)(x-5)>0\to x<2,5<x$
だから
ア） 0≦x≦2のとき
${\displaystyle {\int }_0^2\mid x^2-7x+10\mid dx={\int }_0^2(x^2-7x+10)dx}$
${\displaystyle ={[\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+10x]}_0^2=\frac{26}{3}}$
イ） 2≦x≦4のとき
${\displaystyle {\int }_2^4\mid x^2-7x+10\mid dx={\int }_2^4(-x^2+7x-10)dx}$
${\displaystyle ={[-\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}-10x]}_2^4=(-\frac{64}{3}+56-40)-(-\frac{8}{3}+14-20)}$
${\displaystyle =\frac{10}{3}}$
ア）イ）より
${\displaystyle {\int }_0^4\mid x^2-7x+10\mid dx=\frac{36}{3}=12}$･･･（答）
→閉じる←

　定積分${\displaystyle {\int }_0^2|x^2-4x+3|dx}$を求めよ．

$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)<0$
$\to 1<x<3$
$(x-1)(x-3)>0\to x<1,3<x$
だから
ア） 0≦x≦1のとき
${\displaystyle {\int }_0^1|x^2-4x+3|dx={\int }_0^1(x^2-4x+3)dx}$
${\displaystyle ={[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x]}_0^1=\frac{4}{3}}$
イ） 1≦x≦2のとき
${\displaystyle {\int }_1^2|x^2-4x+3|dx={\int }_1^2(-x^2+4x-3)dx}$
${\displaystyle ={[-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x]}_1^2=\frac{2}{3}}$
ア）イ）より
${\displaystyle {\int }_0^2|x^2-4x+3|dx=2}$･･･（答）
→閉じる←

　関数$f(x)=\mid x^2-4\mid -3$について，次の問いに答えよ．
(1)　方程式f(x)=0の解を求めよ．
(2)　関数y=f(x)のグラフをかけ．
(3)　関数y=f(x)のグラフとx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(1)
$f(x)=\mid x^2-4\mid -3=0$
$|x^2-4|=3$
$x^2-4=\pm 3$
$x^2=7,1$
$x=\pm \sqrt{7},\pm 1$･･･（答）
(2)　右図（赤線）
(3) 左右対称だからx≧0の部分の面積を求めて，２倍する
ア） 0≦x<1のとき
$f(x)=-(x^2-4)-3=-x^2+1$
${\displaystyle {\int }_0^1(-x^2+1)dx={[-\frac{x^3}{3}+x]}_0^1=\frac{2}{3}}$
イ） 1≦x<2のとき
${\displaystyle {\int }_1^2(x^2-1)dx={[\frac{x^3}{3}-x]}_1^2=(\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-1)=\frac{4}{3}}$
ウ） 2≦x<$\sqrt{7}$のとき
${\displaystyle {\int }_2^{\sqrt{7}}(-x^2+7)dx={[-\frac{x^3}{3}+7x]}_2^{\sqrt{7}}=\frac{14\sqrt{7}-34}{3}}$
ア）イ）ウ）より
${\displaystyle 2(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}+\frac{14\sqrt{7}-34}{3})=\frac{28\sqrt{7}-56}{3}}$･･･（答）
→閉じる←

　xy平面上で，y=xのグラフと${\displaystyle y=|\frac{3}{4}{x}^2-3|-2}$グラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

${\displaystyle y=\left|\frac{3(x+2)(x-2)}{4}\right|-2}$
−2≦x<2のとき
$y=-{\displaystyle \frac{3(x+2)(x-2)}{4}}-2$
$=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+1$

イ）$\frac{2}{3}$≦x<2のとき
${\displaystyle S_2={\int }_{\frac{2}{3}}^2\{x-(-\frac{3}{4}{x}^2+1)\}dx={[\frac{x^3}{4}+\frac{x^2}{2}-x]}_{\frac{2}{3}}^2}$
${\displaystyle =\frac{64}{27}}$


アイウ）より
${\displaystyle S_1+S_2+S_3=\frac{208}{27}}$･･･（答） →閉じる←

【例題2】
${\displaystyle {\int }_{-2}^2(\mid x^2-2x\mid +\mid x+1\mid +\mid x-1\mid )dx}$=ウエ

■複数個の絶対値記号を
外すには
⇒　区切り目を並べて，細かく場合分けする

　関数f(x)を$f(x)=|2x^2-3x|+|2x^2-5x+2|$によって定める．
(1) f(x)の絶対値記号をはずせ．
(2) y=f(x)のグラフをかけ．
(3) y=f(x)のグラフと$y=4x^2-8x+2$のグラフとで囲まれる部分の面積Sを求めよ．

(1)
$x(2x-3)>0\iff x<0,x>{\displaystyle \frac{3}{2}}$
$x(2x-3)<0\iff 0<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$
$(2x-1)(x-2)>0\iff x<{\displaystyle \frac{1}{2}},x>2$
$(2x-1)(x-2)<0\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}<x<2$
ア）$x<0$のとき
$f(x)=(2x^2-3x)+(2x^2-5x+2)$
$=4x^2-8x+2$
イ）$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき
$f(x)=-(2x^2-3x)+(2x^2-5x+2)$
$=-2x+2$
ウ）${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき
$f(x)=-(2x^2-3x)-(2x^2-5x+2)$
$=-4x^2+8x-2$
エ）${\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x<2$のとき
$f(x)=(2x^2-3x)-(2x^2-5x+2)$
$=2x-2$
オ）$2\leqq x$のとき
$f(x)=(2x^2-3x)+(2x^2-5x+2)$
$=4x^2-8x+2$･･･（答）
(2)
グラフは右図の通り
(3)
図形はx=1に関して対称だから，x≧1の部分の面積を求めて２倍する
${\displaystyle S_1={\int }_1^{\frac{3}{2}}\{(-4x^2+8x-2)}$
${\displaystyle -(4x^2-8x+2)\}dx}$
${\displaystyle ={\int }_1^{\frac{3}{2}}(-8x^2+16x-4)dx}$
${\displaystyle ={[-\frac{8}{3}{x}^3+8x^2-4x]}_1^{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}}$
${\displaystyle S_2={\int }_{\frac{3}{2}}^2\{(2x-2)-(4x^2-8x+2)\}dx}$
${\displaystyle ={\int }_{\frac{3}{2}}^2(-4x^2+10x-4)dx}$
${\displaystyle ={[-\frac{4}{3}{x}^3+5x^2-4x]}_1^{\frac{3}{2}}=\frac{7}{12}}$
${\displaystyle 2(S_1+S_2)=2(\frac{5}{3}+\frac{7}{12})=2\times \frac{9}{4}=\frac{9}{2}}$･･･（答）
→閉じる←

【例題3】
　1≦x≦2とする．関数${\displaystyle f(x)={\int }_1^2\mid t-x\mid dt}$を最小にするxの値を求めよ．

　0<k<3のとき，直線y=kxと曲線y=|x(x−3)|とで囲まれた図形の面積が最小となるようなkの値を求めよ．

ア） 0≦x<3のとき，
|x(x−3)|=−x(x−3)だから
−x(x−3)=kxならば
x(x−k+3)=0
x=0, 3−k
イ） 3≦xのとき，
|x(x−3)|=x(x−3)だから
x(x−3)=kxならば
x=3+k (≧3)
$S_1={\displaystyle \frac{(3-k{)}^3}{6}}$（←いわゆる「6分の公式」）
${\displaystyle S_2={\int }_{3-k}^3\{x^2+(k-3)x\}dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{k-3}{2}}{x}^2]}_{3-k}^3}$
${\displaystyle =9+\frac{9}{2}(k-3)+\frac{(3-k{)}^3}{6}}$
${\displaystyle S_3={\int }_3^{3+k}\{kx-x^2+3x\}dx={[-\frac{x^3}{3}+\frac{k+3}{2}{x}^2]}_3^{3+k}}$
$={\displaystyle \frac{(3+k{)}^3}{6}}+9-{\displaystyle \frac{9}{2}}(k+3)$
$f(k)=S_1+S_2+S_3={\displaystyle \frac{1}{6}}(-k^3+27k^2-27k+81)$
とおくと
$f^{\prime }(k)={\displaystyle \frac{1}{2}}(-k^2+18k-9)$
$f^{\prime }(k)=0\leftrightarrow k=9-6\sqrt{2}(0<k<3)$

k	0	･･･	$9-6\sqrt{2}$	･･･	3
f’(k)		−	0	+
f(k)		$\searrow$	最小	$\nearrow$

表により，$k=9-6\sqrt{2}$のとき最小になる･･･（答）
（参考）最小となる場合，右図の増加分と減少分が等しくなる．
扇形の面積は（中心角が同じならば）半径の２乗に比例する
　※中学校で習った相似図形の性質により，OQ:OP=(3+k):(3−k)
$(3+k{)}^2=2(3-k{)}^2$
$\to k=9\pm 6\sqrt{2}$
$0<k<3\to k=9-6\sqrt{2}$
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　f(x)を${\displaystyle f(x)={\int }_0^x|t-2|dt}$とする．
ただし，x≧0とする．
　関数y=f(x)のグラフとx軸，x=1, x=4で囲まれる
部分の面積は ナ 　　 ニ 　　 である．

ア） 0≦x<2のとき，
　　|t−2|=2−tだから
${\displaystyle f(x)={\int }_0^x|t-2|dt={\int }_0^x(2-t)dt}$
${\displaystyle ={[2t-\frac{t^2}{2}]}_0^x=2x-\frac{x^2}{2}=\frac{x(4-x)}{2}}$
イ） 2≦xのとき，
${\displaystyle f(x)={\int }_0^2(2-t)dt+{\int }_2^x(t-2)dt}$
${\displaystyle ={[2t-\frac{t^2}{2}]}_0^2+{[\frac{t^2}{2}-2t]}_2^x}$
${\displaystyle =(4-2)+(\frac{x^2}{2}-2x)-(2-4)=\frac{x^2-4x+8}{2}}$
　右図の面積は
${\displaystyle {\int }_1^2(2x-\frac{x^2}{2})dx+{\int }_2^4(\frac{x^2}{2}-2x+4)dx}$
${\displaystyle ={[x^2-\frac{x^3}{6}]}_1^2+{[\frac{x^3}{6}-x^2+4x]}_2^4}$
${\displaystyle =(4-\frac{4}{3})-(1-\frac{1}{6})+(\frac{64}{6}-16+16)-(\frac{8}{6}-4+8)}$
${\displaystyle =\frac{43}{6}}$ ･･･（答）
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(1)　aを任意の実数とするとき，y=x|a−x|のグラフをかけ．
(2)　${\displaystyle f(x)={\int }_{-1}^{x}t|1-t|dt}$としたとき，f(x)の最小値を求めよ．

(1)
ア）　x<aのとき，y=x(a−x)
イ）　a≦xのとき，y=x(x−a)
a<0のとき図1，a=0のとき図2，0≦aのとき図3

(2)
　(1)において，a=1の場合を考えると
ア）　x<1のとき，−1≦t≦x (<1)であるどのtについても，t<1が成り立つから
${\displaystyle f(x)={\int }_{-1}^{x}t(1-t)dt={[\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}]}_{-1}^x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{5}{6}}$
イ）　1≦xのとき
−1≦t<1であるどのtについても，t<1
1≦t≦xであるどのtについても，1≦tであるから
${\displaystyle f(x)={\int }_{-1}^{1}t(1-t)dt+{\int }_1^{x}t(t-1)dt}$
${\displaystyle ={\int }_{-1}^1(t-t^2)dt+{\int }_1^x(t^2-t)dt}$
${\displaystyle ={[\frac{t^2}{2}-\frac{t^2}{3}]}_{-1}^1+{[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}]}_1^x}$
${\displaystyle =(-\frac{2}{3})+(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{6})}$
${\displaystyle =\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}}$
ア）の場合，$f^{\prime }(x)=x-x^2=x(1-x)$

イ）の場合，$f^{\prime }(x)=x^2-x=x(x-1)$

x	･･･	0	･･･	1	･･･
f’(x)	−	0	+	0	+
f(x)	$\searrow$	$-\frac{5}{6}$	$\nearrow$	$-\frac{2}{3}$	$\nearrow$

　表により，x=0のとき，最小値$-{\displaystyle \frac{5}{6}}$をとる･･･（答）
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0<t<1を満たすtに対し,${\displaystyle f(t)={\int }_t^{t+1}|x^2-5x+4|dx}$
とおく．このとき，次の設問に答えよ．
(1)　f(t)を求めよ．
(2)　f(t)を最小にするtの値を求めよ．

(1)
$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$
0<t<1<t+1<2だから
${\displaystyle f(t)={\int }_t^1(x^2-5x+4)dx+{\int }_1^{t+1}(-x^2+5x-4)dx}$
${\displaystyle ={[\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+4x]}_t^1+{[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x]}_1^{t+1}}$
（途中計算略）
${\displaystyle =-\frac{2}{3}{t}^3+4t^2-4t+\frac{11}{6}}$
(2)
$f^{\prime }(t)=-2t^2+8t-4=-2(t^2-4t+2)=0$
の解は，$t=2\pm \sqrt{2}$
0<t<1だから$t=2-\sqrt{2}$

t	0	･･･	$2-\sqrt{2}$	･･･	1
f’(t)	$\times$	−	0	+	$\times$
f(t)	$\times$	$\searrow$	最小	$\nearrow$	$\times$

　ゆえに，f(t)を最小にするtの値は$t=2-\sqrt{2}$･･･（答）
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