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■定積分の置換積分 ■はじめに ○ ある定積分がそのままの形では計算しにくいときに、計算しやすい形に変数を変換するのが定積分の置換積分 ○ 定積分の置換積分の公式・その証明は右の通りであるが、この公式を丸暗記しても問題が解けるとは限らない。 実際に問題を解くためには、次のように(1) 定積分の区間, (2) 被積分関数, (3) 微分 の３つの部分に分けて、各々等しいものに置き換えるとよい。
(1) ある変換によって
(2) x=g(t)の変数変換によって 被積分関数f(x)をtで表す：f(g(t)) (3) 微分の部分dxをdtで表す：g’(t)dt (1)(2)(3)により、f(x)dx=f(g(t))g’(t)dtとする。 |
【定積分の置換積分の公式】
≪証明≫x=g(t) , a=g(α), b=g(β)のとき f(x)dx=f(g(t))g’(t)dt f(x)の不定積分の１つをF(x)とするとき （左辺）=F(b)−F(a) 右辺については、まず合成関数微分法により F(g(t))=F’(g(t))g’(t)=f(g(t))g’(t) すなわち、f(g(t))g’(t)dt=F(g(t)+Cに注意すると （右辺）=f(g(t))g’(t)dt=F(g(t))=F(g(β))−F(g(α)) =F(b)−F(a) これらは等しい。 ※ 多くの場合この公式を用いて左辺→右辺とするが、右辺→左辺の形も使う。（特に意識しなくてもできる。下記の例5参照） |
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例1
(2x+1)3dx
(2x+1)3を展開すれば計算できるが、３乗を展開するのは大変→2x+1=tとおけばt3になって展開しなくて済む。
2x+1=tとおくと
※一般に、被積分関数がf(ax+b)の形になっているとき、ax+b=tとおくと簡単になる。 |
例2
xdx
x+1=tまたは=tとおくとできる。
≪解１≫=tの方ができる範囲が広い。 x+1=tとおくと
=t−t=( 4− 2 )−( − ) = (+1) ≪解２≫ =tとおくとx+1=t2 , x=t2−1
=t5−t3=( 4− 2 )−( − ) = (+1) |
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例3
dx
の根号をはずすには、
x=sin tとおくと、==
1−sin2x=cos2xを利用して==|cosx| または==|sinx|と変形するのが定石。 積分の区間によっての符号を決める。
0≦t≦ においてはcos t≧0だから =cos t dx=cost cost dt=cos2tdt = dt= + =( + 0)−(0+0)=
例5
三角関数の公式
tan2θ+1= を利用すると
x=tan tとおくと、
=cos2θになる。
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例4
x=2sin tとおくと、
0≦t≦ においてはcos t≧0だから 2=2cos t =2cos t → dx=2cost dt = 2cost dt=dt=t= ※この問題において、x：0→2のとき、t：0→でなければならないということではない。  1)のときの計算は次のようになる： x=2sin tとおくと、
≦t≦πにおいてはcos t≦0だから 2=−2cos t =2cos t → dx=2cost dt =− 2cost dt=−dt=−t =−( −π)= 2)のように単調増加（減少）でなく増減のある区間を用いて変換するのは不気味であるが計算は一致する。なお。左の例3についても同様にtの区間には他の取り方もある。 |
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例6
x(x2+1)2dx
一般にf(g(x))g’(x)dx → g(x)=tとおくとf(t)dtになる
x2+1=tとおくと、
（2x dx=dtという書き方を好む人もある。） |
例7
dx
一般に dx → f(x)=tとおくと dt=log|t|+C
1+sinx=tとおくと、
になる。【特急券あり】
（cosx dx=dtという書き方を好む人もある。） |
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■問題 次の定積分を計算せよ。 （初めに問題を選び、続いて右の解答を選べ。間違ったときは問題を選び直すことから始めること。暗算では無理なので計算用紙が必要） (1)(x+2)4dx help (2)xdx help (3)dx help (4) help (5) help (6) dx help |
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