頂点の移動をもとに考える方法
（＝数学Ｉでお勧めの方法）

■　平行移動

　Ｙ＝ｆ（Ｘ）のグラフをｘ軸の正の方向にｐ，ｙ軸の正の方向にｑだけ平行移動してできるグラフの方程式：
　もとのグラフ上の点を（Ｘ，Ｙ），移動してできる点を（ｘ，ｙ）とおくと
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）・・・(1)
　ｘ＝Ｘ＋ｐ・・・(2)
　ｙ＝Ｙ＋ｑ・・・(3)
(2)(3)よりＸ＝ｘ−ｐ，Ｙ＝ｙ−ｑを(1)に代入すると 　ｙ−ｑ＝ｆ（ｘ−ｐ） ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃのグラフをｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑだけ平行移動してできるグラフの方程式は ｙ−ｑ＝ａ(ｘ−ｐ)^２＋ｂ(ｘ−ｐ)＋ｃ

y=a(ｘ−ｍ)^２＋ｎのグラフをｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑだけ平行移動してできるグラフの方程式は ｙ−ｑ＝a(ｘ−ｍ−ｐ)^２＋ｎ

■　グラフの形は変わらない．
■　もとのグラフの頂点が（ｍ，ｎ）のとき，
これをｙ軸の正の方向にｑだけ平行移動しでできるグラフの頂点は（ｍ＋ｐ，ｎ＋ｑ）にある．
例
　ｙ＝２（ｘ−３）^２＋４のグラフをｘ軸方向に５，ｙ軸方向に６だけ平行移動したグラフの方程式は 　頂点が(３，４)→(８，１０)だから ｙ＝２（ｘ−８）^２＋10

■　ｙ軸に平行な直線に関する線対称移動

Ｙ＝ｆ（Ｘ）のグラフをｘ＝ｓの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式：
　もとのグラフ上の点を（Ｘ，Ｙ），移動してできる点を（ｘ，ｙ）とおくと
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）・・・(1)
　（ｘ＋Ｘ）／２＝ｓ・・・(2)
　ｙ＝Ｙ・・・(3)
(2)(3)よりＸ＝２ｓ−ｘ，Ｙ＝ｙを(1)に代入すると 　ｙ＝ｆ（２ｓ−ｘ）

ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃのグラフをｘ＝ｓの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は ｙ＝ａ(２ｓ−ｘ)^２＋ｂ(２ｓ−ｘ)＋ｃ

y=a(ｘ−ｍ)^２＋ｎのグラフをｘ＝ｓの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は ｙ＝a(２ｓ−ｘ−ｍ)^２＋ｎ

■　グラフの形は変わらない．
■　もとのグラフの頂点が（ｍ，ｎ）のとき，
これをｘ＝ｓの直線に関して対称移動してできるグラフの頂点は（２ｓ−ｍ，ｎ）にある． 例
　ｙ＝２（ｘ−３）^２＋４のグラフをｘ＝５の直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は 　頂点が(３，４)→(７，４)だから ｙ＝２（ｘ−７）^２＋４

■　ｘ軸に平行な直線に関する線対称移動

Ｙ＝ｆ（Ｘ）のグラフをｙ＝ｔの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式：
　もとのグラフ上の点を（Ｘ，Ｙ），移動してできる点を（ｘ，ｙ）とおくと
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）・・・(1)
　ｘ＝Ｘ・・・(2)
　（ｙ＋Ｙ）／２＝ｔ・・・(3)
(2)(3)よりＸ＝ｘ，Ｙ＝２ｔ−ｙを(1)に代入すると 　２ｔ−ｙ＝ｆ（ｘ）

ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃのグラフをｙ＝ｔの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は ２ｔ−ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ

y=a(ｘ−ｍ)^２＋ｎのグラフをｙ＝ｔの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は ２ｔ−y=a(ｘ−ｍ)^２＋ｎ

■　グラフの形は上下が逆になる．
■　もとのグラフの頂点が（ｍ，ｎ）のとき，
これをｙ＝ｔの直線に関して対称移動してできるグラフの頂点は（ｍ，２ｔ−ｎ）にある． 例
　ｙ＝２（ｘ−３）^２＋４のグラフをｙ＝６の直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は 　頂点が(３，４)→(３，８)だから ｙ＝−２（ｘ−３）^２＋８

■　点（ｓ，ｔ）に関する点対称移動

Ｙ＝ｆ（Ｘ）のグラフを点（ｓ，ｔ）に関して対称移動してできるグラフの方程式：
　もとのグラフ上の点を（Ｘ，Ｙ），移動してできる点を（ｘ，ｙ）とおくと
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）・・・(1)
　（ｘ＋Ｘ）／２＝ｓ・・・(2)
　（ｙ＋Ｙ）／２＝ｔ・・・(3)
(2)(3)よりＸ＝２ｓ−ｘ，Ｙ＝２ｔ−ｙを(1)に代入すると 　２ｔ−ｙ＝ｆ（２ｓ−ｘ）

■　グラフの形は上下が逆になる．
■　もとのグラフの頂点が（ｍ，ｎ）のとき，
これを点（ｓ，ｔ）に関して対称移動してできるグラフの頂点は（２ｓ−ｍ，２ｔ−ｎ）にある． 例
　ｙ＝２（ｘ−３）^２＋４のグラフを点（５，６）に関して対称移動してできるグラフの方程式は 　頂点が(３，４)→(７，８)だから ｙ＝−２（ｘ−７）^２＋８

《要点》

放物線の平行移動，線対称移動，点対称移動は，頂点の動きを考える．