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※高校数学Ⅰの「２次関数」について，このサイトには次の教材があります．
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↓2次関数のグラフ（入門）
↓2次関数のグラフ［標準形］
↓平方完成の変形
↓平方完成（演習）
↓同2
↓展開形→頂点の座標
↓同2
↓同3
↓同4
↓同5
↓2次関数→頂点の座標
↓頂点の座標（文字係数1）
↓頂点の座標（文字係数2）
↓放物線の頂点を図で示す1
↓放物線の頂点を図で示す2
↓放物線の頂点を図で示す3(展開形)
↓2次関数のグラフの平行移動
↓放物線の移動
↓同2
↓2次関数のグラフと係数の符号
↓センター試験問題 ２次関数
↓2次関数の最大・最小(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓（t≦x≦t+1）のときの２次関数の最大値・最小値
↓条件付２次関数の最大値・最小値
↓２次関数のグラフと直線(文字係数)
↓解と定数の大小問題
↓絶対値付き関数のグラフ

== 放物線の移動 ==

《解説》
■　原理的には，グラフの移動は，グラフ上の各点の移動をもとにして考えます．すなわち，グラフ上の各点を移動してできる新しい点を結んだものが新しいグラフです．高等学校の数学Iでは座標変換をもとにして数式変形で求めるのでなく，放物線の頂点の移動をもとにして，移動した放物線の方程式を求めます．
　次の表は，移動したグラフの方程式を求めるための座標変換による方法と頂点の移動をもとに考える方法を比較したものです．
移動の種類
座標変換による方法
頂点の移動をもとに考える方法
（＝数学Ｉでお勧めの方法）
■　平行移動
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）のグラフをｘ軸の正の方向にｐ，ｙ軸の正の方向にｑだけ平行移動してできるグラフの方程式：
　もとのグラフ上の点を（Ｘ，Ｙ），移動してできる点を（ｘ，ｙ）とおくと
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）・・・(1)
　ｘ＝Ｘ＋ｐ・・・(2)
　ｙ＝Ｙ＋ｑ・・・(3)
(2)(3)よりＸ＝ｘ－ｐ，Ｙ＝ｙ－ｑを(1)に代入すると
　ｙ－ｑ＝ｆ（ｘ－ｐ）
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃのグラフをｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑだけ平行移動してできるグラフの方程式は
ｙ－ｑ＝ａ(ｘ－ｐ)２＋ｂ(ｘ－ｐ)＋ｃ
y=a(ｘ－ｍ)２＋ｎのグラフをｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑだけ平行移動してできるグラフの方程式は
ｙ－ｑ＝a(ｘ－ｍ－ｐ)２＋ｎ
■　グラフの形は変わらない．
■　もとのグラフの頂点が（ｍ，ｎ）のとき，
これをｙ軸の正の方向にｑだけ平行移動しでできるグラフの頂点は（ｍ＋ｐ，ｎ＋ｑ）にある．
例
　ｙ＝２（ｘ－３）２＋４のグラフをｘ軸方向に５，ｙ軸方向に６だけ平行移動したグラフの方程式は
　頂点が(３，４)→(８，１０)だから
ｙ＝２（ｘ－８）２＋10

■　ｙ軸に平行な直線に関する線対称移動
Ｙ＝ｆ（Ｘ）のグラフをｘ＝ｓの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式：
　もとのグラフ上の点を（Ｘ，Ｙ），移動してできる点を（ｘ，ｙ）とおくと
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）・・・(1)
　（ｘ＋Ｘ）／２＝ｓ・・・(2)
　ｙ＝Ｙ・・・(3)
(2)(3)よりＸ＝２ｓ－ｘ，Ｙ＝ｙを(1)に代入すると
　ｙ＝ｆ（２ｓ－ｘ）
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃのグラフをｘ＝ｓの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は
ｙ＝ａ(２ｓ－ｘ)２＋ｂ(２ｓ－ｘ)＋ｃ
y=a(ｘ－ｍ)２＋ｎのグラフをｘ＝ｓの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は
ｙ＝a(２ｓ－ｘ－ｍ)２＋ｎ
■　グラフの形は変わらない．
■　もとのグラフの頂点が（ｍ，ｎ）のとき，
これをｘ＝ｓの直線に関して対称移動してできるグラフの頂点は（２ｓ－ｍ，ｎ）にある．
例
　ｙ＝２（ｘ－３）２＋４のグラフをｘ＝５の直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は
　頂点が(３，４)→(７，４)だから
ｙ＝２（ｘ－７）２＋４

■　ｘ軸に平行な直線に関する線対称移動
Ｙ＝ｆ（Ｘ）のグラフをｙ＝ｔの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式：
　もとのグラフ上の点を（Ｘ，Ｙ），移動してできる点を（ｘ，ｙ）とおくと
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）・・・(1)
　ｘ＝Ｘ・・・(2)
　（ｙ＋Ｙ）／２＝ｔ・・・(3)
(2)(3)よりＸ＝ｘ，Ｙ＝２ｔ－ｙを(1)に代入すると
　２ｔ－ｙ＝ｆ（ｘ）
ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃのグラフをｙ＝ｔの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は
２ｔ－ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ
y=a(ｘ－ｍ)２＋ｎのグラフをｙ＝ｔの直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は
２ｔ－y=a(ｘ－ｍ)２＋ｎ
■　グラフの形は上下が逆になる．
■　もとのグラフの頂点が（ｍ，ｎ）のとき，
これをｙ＝ｔの直線に関して対称移動してできるグラフの頂点は（ｍ，２ｔ－ｎ）にある．
例
　ｙ＝２（ｘ－３）２＋４のグラフをｙ＝６の直線に関して対称移動してできるグラフの方程式は
　頂点が(３，４)→(３，８)だから
ｙ＝－２（ｘ－３）２＋８

■　点（ｓ，ｔ）に関する点対称移動
Ｙ＝ｆ（Ｘ）のグラフを点（ｓ，ｔ）に関して対称移動してできるグラフの方程式：
　もとのグラフ上の点を（Ｘ，Ｙ），移動してできる点を（ｘ，ｙ）とおくと
　Ｙ＝ｆ（Ｘ）・・・(1)
　（ｘ＋Ｘ）／２＝ｓ・・・(2)
　（ｙ＋Ｙ）／２＝ｔ・・・(3)
(2)(3)よりＸ＝２ｓ－ｘ，Ｙ＝２ｔ－ｙを(1)に代入すると
　２ｔ－ｙ＝ｆ（２ｓ－ｘ）
■　グラフの形は上下が逆になる．
■　もとのグラフの頂点が（ｍ，ｎ）のとき，
これを点（ｓ，ｔ）に関して対称移動してできるグラフの頂点は（２ｓ－ｍ，２ｔ－ｎ）にある．
例
　ｙ＝２（ｘ－３）２＋４のグラフを点（５，６）に関して対称移動してできるグラフの方程式は
　頂点が(３，４)→(７，８)だから
ｙ＝－２（ｘ－７）２＋８
（ここまでのまとめ）↓
《要点》

放物線の平行移動，線対称移動，点対称移動は，頂点の動きを考える．


《問題1》　次の各問いに答えなさい．答案は半角で記入するものとし，係数が0,1,-1に等しいときは，それぞれ0,1,-1としなさい．
１
　２次関数ｙ＝－（ｘ－１）２＋３のグラフをｘ軸方向に２，ｙ軸方向に－４だけ平行移動してできるグラフの方程式を求めなさい．
ｙ＝ｘ２＋()ｘ＋()

２
　２次関数ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋３のグラフをｘ軸方向に３，ｙ軸方向に－１だけ平行移動してできるグラフの方程式を求めなさい．
ｙ＝ｘ２＋()ｘ＋()

３
　２次関数ｙ＝２（ｘ－３）２－１のグラフをｘ＝２の直線に関して対称移動してできるグラフの方程式を求めなさい．
ｙ＝ｘ２＋()ｘ＋()

４
　２次関数ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋１のグラフをｘ＝－１の直線に関して対称移動してできるグラフの方程式を求めなさい．
ｙ＝ｘ２＋()ｘ＋()

５
　２次関数ｙ＝３（ｘ－４）２－１のグラフをｙ＝３の直線に関して対称移動してできるグラフの方程式を求めなさい．
ｙ＝ｘ２＋()ｘ＋()

６
　２次関数ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋１のグラフをｙ＝－３の直線に関して対称移動してできるグラフの方程式を求めなさい．
ｙ＝ｘ２＋()ｘ＋()

７
　２次関数ｙ＝３（ｘ＋４）２－１のグラフを点（０，３）に関して対称移動してできるグラフの方程式を求めなさい．
ｙ＝ｘ２＋()ｘ＋()

８
　２次関数ｙ＝２ｘ２－１２ｘ＋１５のグラフを点（２，０）に関して対称移動してできるグラフの方程式を求めなさい．
ｙ＝ｘ２＋()ｘ＋()


《問題2》　次の空欄に適当な数を埋めなさい．答案は半角で記入するものとし，係数が0,1,-1に等しいときは，それぞれ0,1,-1としなさい．
１
　２次関数ｙ＝２ｘ２－４ｘ＋５のグラフをｘ軸方向に［　ア　］，ｙ軸方向に［　イ　］だけ平行移動し，さらにそれをｘ軸に関して対称移動すると，ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－２０となる．
ア＝
イ＝
２
　２次関数ｙ＝－ｘ２＋４ｘ－３のグラフをｙ軸に関して対称移動し，さらにそれを点（ウ，エ）に関して対称移動すると，ｙ＝ｘ２－４ｘ＋９となる．
ウ＝
エ＝
３
　２次関数ｙ＝［オ］ｘ２＋［カ］ｘ＋［キ］のグラフを原点に関して対称移動し，さらにそれをｘ軸方向に３，ｙ軸方向に－１だけ平行移動すると，ｙ＝２ｘ２－８ｘ＋９となる．
オ＝
カ＝
キ＝
４
　２次関数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃのグラフを点（３，４）に関して対称移動し，さらにそれを点（－２，１）に関して対称移動したグラフは，もとのグラフをｘ軸方向に［　ク　］，ｙ軸方向に［　ケ　］だけ平行移動したものと一致する．
ク＝
ケ＝

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