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♪♥♫♦∀～教科書レベル，見る数学～∳♣♬∅♠
(1)
2次関数y=a(x−p)2+qのグラフは，2次関数y=ax2のグラフを
x軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動した放物線で，
軸の方程式はx=p，頂点の座標は(p, q)である．
a>0のとき
a<0のとき
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(2)
2次関数y=a(x−p)2+qは，
• a>0のとき，下に凸のグラフになる．
※「限りなく大きな値がある」とき「最大値はない」という．「限りなく小さな値がある」とき「最小値はない」という．x=pで最小値qをとり，最大値はない． • a<0のとき，上に凸のグラフになる． x=pで最大値qをとり，最小値はない．
たとえば，「正の整数に最大値Nがある」と仮定すれば，N+1も正の整数でNよりも大きいから，「正の整数に最大値Nがある」という話は嘘だったことになる．このようにして，正の整数には最大値はないということが証明できる（この証明の仕方「背理法」は数学Bで習う）
※小学校の時に「円の対称軸は何本あるか？」という問題に「多数」と答えたら×をつけた先生がいた．「無数」を正解にしたいらしい．しかし「ない」と書けばこれも×のはず．「１つも無い」のと「多過ぎて数え切れ無い」のとは違う．
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【例題1】
次の2次関数の最大値または最小値を求めてください．また，そのときのxの値を求めてください． y=(x−1)2+2 （解答） 右図のように，頂点の座標が(1, 2)の放物線で，グラフは下に凸になる． 最大値なし x=1のとき最小値2をとる…（答） |
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(3)
《定義域が限られたときの最大値・最小値》 2次関数y=a(x−p)2+q (a>0)において，定義域がs≦x≦tのときの最大値M・最小値m 定義域s≦x≦tが頂点よりも左側にあるとき x=sのとき最大値Mをとる x=tのとき最小値mをとる
頂点のx座標x=pは，定義域の中にないから，qは，最大値でもなく，最小値でもない
定義域s≦x≦tの中に頂点があり，頂点が定義域の中央よりも右側にあるとき x=sのとき最大値Mをとる x=pのとき最小値m(=q)をとる
定義域の右端の値x=tのときは，最大値でもなく，最小値でもない
定義域s≦x≦tの中に頂点があり，頂点が定義域の中央よりも左側にあるとき x=tのとき最大値Mをとる x=pのとき最小値m(=q)をとる
定義域の左端の値x=sのときは，最大値でもなく，最小値でもない
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定義域s≦x≦tが頂点よりも右側にあるとき x=tのとき最大値Mをとる x=sのとき最小値mをとる
頂点のx座標x=pは，定義域の中にないから，qは，最大値でもなく，最小値でもない
定義域の左端の値と右端の値が等しいとき x=s, tのとき最大値Mをとる x=pのとき最小値m(=q)をとる
一番大きい値が２つ並んでいるとき，２つとも最大値とする
a<0の場合は上に凸のグラフになるが，グラフを描いて同様に考えれば分かるはずなので，解説は省略
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(4)
• 定義域が限られた２次関数の最大値・最小値を求めるためには，「①頂点のy座標」「②定義域の左端のy座標」「③定義域の右端のy座標」の３つを比較することが重要．①を求めるには２次関数を平方完成形で書く必要がある
展開形 y=ax2+bx+c
などで書かれている問題は，
因数分解形 y=a(x−α)(x−β)
平方完成形 y=a(x−p)2+q
に直して，最大値・最小値を求めるとよい． |
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【例題3-1】
次の2次関数の最大値，最小値およびそのときのxの値を求めてください y=x2+6x+7（−4≦x≦−1） y=(x+3)2−2と変形する． 頂点の座標は(−3, −2)で下に凸のグラフになる． 頂点が定義域の中央よりも左側にあるから 右端x=−1で最大値2をとる 頂点x=−3で最小値−2をとる |
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【例題3-2】
次の2次関数の最大値，最小値およびそのときのxの値を求めてください y=x2+2x−3（−4≦x≦1） y=(x+1)2−4と変形する． 頂点の座標は(−1, −4)で下に凸のグラフになる． 頂点が定義域の中央よりも右側にあるから 左端x=−4で最大値5をとる 頂点x=−1で最小値−4をとる |
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【例題3-3】
次の2次関数の最大値，最小値およびそのときのxの値を求めてください y=−x2+4x−3（0≦x≦4） y=−(x−2)2+1と変形する． 頂点の座標は(2, 1)で上に凸のグラフになる． 頂点が定義域の中央にあるから 頂点x=2で最大値1をとる x=0, 4で最小値−3をとる |
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