![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Ⅰの「2次関数」について,このサイトには次の教材があります. この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は,他の頁を先に見てください. が現在地です. ↓2次関数のグラフ(入門) ↓2次関数のグラフ[標準形] ↓平方完成の変形 ↓平方完成(演習) ↓同2 ↓展開形→頂点の座標 ↓同2 ↓同3 ↓同4 ↓同5 ↓2次関数→頂点の座標 ↓頂点の座標(文字係数1) ↓頂点の座標(文字係数2) ↓放物線の頂点を図で示す1 ↓放物線の頂点を図で示す2 ↓放物線の頂点を図で示す3(展開形) ↓2次関数のグラフの平行移動 ↓放物線の移動 ↓同2 ↓2次関数のグラフと係数の符号 ↓センター試験問題 2次関数 ↓2次関数の最大・最小(1) ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓(t≦x≦t+1)のときの2次関数の最大値・最小値 ↓条件付2次関数の最大値・最小値 ↓2次関数のグラフと直線(文字係数) ↓解と定数の大小問題 ↓絶対値付き関数のグラフ |
[標準形]
y=(x−p)2+q のグラフは y=x2 のグラフを x 軸の正の向きに p ,y 軸の正の向きに q だけ平行移動したもので,その頂点の座標は (p , q) である. 下図↓ ![]() ○ 上で述べたように,2次関数が標準形:y=(x−p)2+q の形 で書かれていれば頂点の座標が分かるが, 展開形:y=x2+bx+c の形で書かれているときはそのままでは頂点の座標は分からない. ○ そこで,2次関数が展開形で書かれているときにその頂点の座標を求めるためには,標準形に直さなければならない.この変形は「平方完成」と呼ばれる. ![]()
![]() ![]() [例題1] 次の式を (x−p)2+q の形に直せ.
≪参考≫
(1) x2+4x2乗の計算が得意でない場合,次のように「足してから引く」と考える方が分かりやすいことがある.各自の分かりやすい方でやればよい. (1) x2+4x=x2+4x+4 −4=(x+2)2−4 …(答) (2) x2−6x=x2−6x+9 −9=(x−3)2−9 …(答) (3) x2+8x+3=x2+8x+16 −16+3=(x+4)2−13…(答) (答案) ![]() x2+4x=(x+2)2−22=(x+2)2−4 …(答) (2) x2−6x (答案) ![]() x2−6x=(x−3)2−32=(x−3)2−9 …(答) (3) x2+8x+3 (答案) ![]() x2+8x+3=(x+4)2−42+3=(x+4)2−13 …(答) (定数項は最後に合計すればよい.) |
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[問題1] 次の式を (x−p)2+q の形に直せ. (1) 解答は 1 1 解答は 5 25 解答は 3 14 |
x2+3x のような式を平方完成すると,
3÷2=
だから分数が登場する.![]() 例 x2+3x=(x+ ![]() ![]() ![]() ![]() [例題2] x2−5x を (x−p)2+q の形に直せ. (答案) x2−5x=(x− ![]() ![]() ![]() ![]() |
[問題2] 次の式を (x−p)2+q の形に直せ. (1) 解答は 解答は 解答は |
○ 上で解説した平方完成の変形は,x2 の係数が 1 になっているときに使えるので,一般の2次式 ax2+bx+c を平方完成するためには,初めにx2 の係数 a でくくって括弧の中で x2 の係数を 1 にして平方完成の変形を行う.
ax2+bx+c=a(x2 + ![]() ※ x2 + ![]() ※ 定数項 c をいっしょに括弧でくくってしまうと最後に括弧をはずして計算する必要があり,二度手間となり計算間違いしやすいので,定数項 c はそのまま置いておくのが有利・・・入れてから出すのなら初めから入れない方がよい. 2x2+4x=2(x2 +2x)=2{ (x+1)2−1 } ここで外側の括弧 { ... } をはずすには,係数 2 を掛けなければならないことに注意 2{ (x+1)2−1 }=2(x+1)2−2 例 この計算では分数になっても構わずに進める. 2x2−3x=2(x2− ![]() ![]() ![]() =2{ (x− ![]() ![]() ![]() ![]() [例題3] (1) 3x2−x+1 を a(x−p)2+q の形に直せ. (答案) 3x2−x+1=3(x2− ![]() ![]() ![]() =3(x− ![]() ![]() ![]() ![]() (2) −2x2+3x−5 を a(x−p)2+q の形に直せ. (答案) −2x2+3x−5=−2(x2− ![]() ![]() ![]() =−2(x− ![]() ![]() ![]() ![]() |
[問題3] 次の式を a(x−p)2+q の形に直せ. (1) 解答は 2 2 8 解答は 3 2 2 解答は −2 1 5 解答は |
x2 の係数でくくるということは各係数を割ることなので,次の例のように分数の係数でくくれば各々の係数を分数で割ること,すなわちその逆数を掛けることになる.
![]() ![]() ※ 展開したときに元に戻るかどうか確かめるとよい. [例題4] (1) ![]() (答案) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() |
[問題4] 次の式を a(x−p)2+q の形に直せ. (1) 解答は 解答は |
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