※高校数学Ⅰの「２次関数」について，このサイトには次の教材があります．
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↓2次関数のグラフ（入門）
↓2次関数のグラフ［標準形］
↓平方完成の変形
↓平方完成（演習）
↓同2
↓展開形→頂点の座標
↓同2
↓同3
↓同4
↓同5
↓2次関数→頂点の座標
↓頂点の座標（文字係数1）
↓頂点の座標（文字係数2）
↓放物線の頂点を図で示す1
↓放物線の頂点を図で示す2
↓放物線の頂点を図で示す3(展開形)
↓2次関数のグラフの平行移動
↓放物線の移動
↓同2
↓2次関数のグラフと係数の符号
↓センター試験問題 ２次関数
↓2次関数の最大・最小(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓（t≦x≦t+1）のときの２次関数の最大値・最小値
↓条件付２次関数の最大値・最小値
↓２次関数のグラフと直線(文字係数)
↓解と定数の大小問題
↓絶対値付き関数のグラフ

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■（例題対比）[文字係数]放物線の頂点

［基本］
○　y=a(x−p)2+qのグラフはy=ax2のグラフをx軸の正の向きにp，y軸の正の向きにqだけ平行移動したもので，その軸の方程式はx=p，頂点の座標は(p , q)である．図1→
○　y=[式1](x−[式2])2+[式3]のグラフはy=[式1]x2のグラフをx軸の正の向きに[式2]，y軸の正の向きに[式3]だけ平行移動したもので，その軸の方程式はx=[式2]，頂点の座標は([式2],[式3])となる．
　※　[式1]（≠0）は放物線の「形」にのみ関係しており，頂点の座標には関係ない．

例1　
　aを定数とするとき，２次関数（放物線)
___________y=2(x−a)2+2a+1
の軸の方程式は x=a，頂点の座標は(a , 2a+1)になる．

例2　
　aを定数とするとき，２次関数（放物線)
___________y=3(x+2a−1)2+a2+3a+4
の軸の方程式は x=−2a+1，頂点の座標は(−2a+1 , a2+3a+4)になる．

［例題1］　次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ．
(1)　y=2(x−3a)2−4a+2
（答案)
____軸x=3a，頂点(3a ,−4a+2)…（答)

(2)　y=−3(x−4a−1)2+a2−2a+3
（答案)
____軸x=4a+1，頂点(4a+1 , a2−2a+3)…（答）

図1
［問題1］　次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ．
(1)　y=3(x−5a)2+2a−1
________軸の方程式x=a
________頂点の座標(a, a −)

採点する やり直す
(2)　y=−2(x−3a+5)2−3a2+2a−4
________軸の方程式x=a−
________頂点の座標(a−,−a2+a−)

採点する やり直す

［展開形］
○　２次関数が展開形で書かれているときは，これを平方完成して標準形に直せば軸の方程式，頂点の座標が分かる．

○　次の［例題2］の変形は，抵抗なくできる生徒が多いが，［例題3,4］の変形はできない生徒が多い．

［例題2］　
_________y=2x2−4ax+3a2−2a+3
■x2の係数でくくる
__________=2(x2−2ax)+3a2−2a+3
■( .. )の中を平方完成する．xの係数の半分を持ってくる．
__________=2{ (x−a)2−a2}+3a2−2a+3
■外側の{ .. }をはずす
__________=2(x−a)2−2a2+3a2−2a+3
■定数項を簡単にして仕上げる
__________=2(x−a)2+(a2−2a+3)
頂点の座標は(a , a2−2a+3)
［例題3］　
_________y=2x2+4ax+a2−8x−5a+4
■xについて整理する …★
_________=2x2+(4a−8)x+(a2−5a+4)
■x2の係数でくくる（定数項は後回し)
_________=2{ x2+(2a−4)x }+(a2−5a+4)
■{ .. }の中を平方完成する．xの係数の半分を持ってくる．
__________=2{ (x+a−2)2−(a−2)2}+(a2−5a+4)
■外側の{ .. }をはずす
__________=2(x+a−2)2−2a2+8a−8+a2−5a+4
■定数項を簡単にして仕上げる
__________=2(x+a−2)2−a2+3a−4
頂点の座標は(−a+2 ,−a2+3a−4)

※　［例題3］の変形で鍵となるのは，★で示した箇所で，「xについて整理する」とは，x2の項，xの項，定数項をまとめることをいう．ここでは特にxの１次の項の係数をまとめて「かっこ」でくくることが重要．
※　この計算で失敗する生徒は，次のようにxの係数を小出しにしてもつれてしまうことが多い：
_y=2(x2+2ax)+a2−8x−5a+4…（まだ外に- 8xが残っている！)
　⇒　xの係数を「かっこ」でくくって，団体ごとまとめて平方完成する．（「♪～パックに詰める～」）
［例題4］　
_________y=−x2+ax+a2+3x−2a+4
■xについて整理する …★
_________=−x2+(a+3)x+(a2−2a+4)
■x2の係数でくくる（定数項は後回し)
_________=−{ x2−(a+3)x }+(a2−2a+4)
■{ .. }の中を平方完成する．xの係数の半分を持ってくる．
__________=−{ (x−.a+32nnn)2−(.a+32nnn)2}+(a2−2a+4)
■外側の{ .. }をはずす
__________=−(x−.a+32nnn)2+(.a+32nnn)2+(a2−2a+4)

■定数項を簡単にして仕上げる

__________=−(x−.a+32nnn)2+.5a2−2a+254nnnnnnnnnn

頂点の座標は(.a+32nnn,.5a2−2a+254nnnnnnnnnn)

［問題2］　次の２次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ．

(1)　y=x2+6ax
________軸の方程式x=−a
________頂点の座標(−a, −a2)

採点するやり直す解説
(2)　y=−2x2+8ax+a2+1
________軸の方程式x=a
________頂点の座標(a, a2+)

採点するやり直す解説
(3)　y=2x2+4ax+a2−4x+6a+5
________軸の方程式x=−a+
________頂点の座標(−a+, −a2+a+)

採点するやり直す解説
(4)　y=−x2+3ax+a2−2x+3a+1

________軸の方程式x=.a−nnnnnnn


________頂点の座標(.a−nnnnnnn, .a2+nnnnnnnn)


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