■(例題対比)[文字係数]放物線の頂点
[基本]
○ y=a(x−p)2+qのグラフはy=ax2のグラフをx軸の正の向きにp,y軸の正の向きにqだけ平行移動したもので,その軸の方程式はx=p,頂点の座標は(p , q)である.図1→ ![]() ※ [式1](≠0)は放物線の「形」にのみ関係しており,頂点の座標には関係ない. 例1 aを定数とするとき,2次関数(放物線) y=2(x−a)2+2a+1 の軸の方程式は x=a,頂点の座標は(a , 2a+1)になる. 例2 aを定数とするとき,2次関数(放物線) y=3(x+2a−1)2+a2+3a+4 の軸の方程式は x=−2a+1,頂点の座標は(−2a+1 , a2+3a+4)になる. [例題1] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ. (1) y=2(x−3a)2−4a+2 (答案) 軸x=3a,頂点(3a ,−4a+2)…(答) (2) y=−3(x−4a−1)2+a2−2a+3 (答案) 軸x=4a+1,頂点(4a+1 , a2−2a+3)…(答) |
図1
[問題1] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ.![]() (1) y=3(x−5a)2+2a−1 (2) y=−2(x−3a+5)2−3a2+2a−4 |
[展開形]
○ 2次関数が展開形で書かれているときは,これを平方完成して標準形に直せば軸の方程式,頂点の座標が分かる. ○ 次の[例題2]の変形は,抵抗なくできる生徒が多いが,[例題3,4]の変形はできない生徒が多い. [例題2] y=2x2−4ax+3a2−2a+3 ■x2の係数でくくる =2(x2−2ax)+3a2−2a+3 ■( .. )の中を平方完成する.xの係数の半分を持ってくる. =2{ (x−a)2−a2}+3a2−2a+3 ■外側の{ .. }をはずす =2(x−a)2−2a2+3a2−2a+3 ■定数項を簡単にして仕上げる =2(x−a)2+(a2−2a+3) 頂点の座標は(a , a2−2a+3) [例題3] y=2x2+4ax+a2−8x−5a+4 ■xについて整理する …★ =2x2+(4a−8)x+(a2−5a+4) ■x2の係数でくくる(定数項は後回し) =2{ x2+(2a−4)x }+(a2−5a+4) ■{ .. }の中を平方完成する.xの係数の半分を持ってくる. =2{ (x+a−2)2−(a−2)2}+(a2−5a+4) ■外側の{ .. }をはずす =2(x+a−2)2−2a2+8a−8+a2−5a+4 ■定数項を簡単にして仕上げる =2(x+a−2)2−a2+3a−4 頂点の座標は(−a+2 ,−a2+3a−4) ※ [例題3]の変形で鍵となるのは,★で示した箇所で,「xについて整理する」とは,x2の項,xの項,定数項をまとめることをいう.ここでは特にxの1次の項の係数をまとめて「かっこ」でくくることが重要. ※ この計算で失敗する生徒は,次のようにxの係数を小出しにしてもつれてしまうことが多い: y=2(x2+2ax)+a2−8x−5a+4…(まだ外に- 8xが残っている!)
⇒ xの係数を「かっこ」でくくって,団体ごとまとめて平方完成する.(「♪~パックに詰める~」)
[例題4] y=−x2+ax+a2+3x−2a+4 ■xについて整理する …★ =−x2+(a+3)x+(a2−2a+4) ■x2の係数でくくる(定数項は後回し) =−{ x2−(a+3)x }+(a2−2a+4) ■{ .. }の中を平方完成する.xの係数の半分を持ってくる. =−{ (x− ![]() ![]() ■外側の{ .. }をはずす =−(x− ![]() ![]() ■定数項を簡単にして仕上げる =−(x− ![]() ![]() 頂点の座標は( ![]() ![]() |
[問題2] 次の2次関数の軸の方程式と頂点の座標を求めよ. (1) y=x2+6ax (2) y=−2x2+8ax+a2+1 (3) y=2x2+4ax+a2−4x+6a+5 (4) y=−x2+3ax+a2−2x+3a+1 |
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