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*** 科目 ***
数Ⅰ・Ａ数Ⅱ・Ｂ数Ⅲ高卒・大学初年度
*** 単元 ***
数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質

※高校数学Ⅰの「２次関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　 が現在地です．

↓2次関数のグラフ（入門）
↓2次関数のグラフ［標準形］
↓平方完成の変形
↓平方完成（演習）
↓同2
↓展開形→頂点の座標
↓同2
↓同3
↓同4
↓同5
↓2次関数→頂点の座標
↓頂点の座標（文字係数1）
↓頂点の座標（文字係数2）
↓放物線の頂点を図で示す1
↓放物線の頂点を図で示す2
↓放物線の頂点を図で示す3(展開形)
↓2次関数のグラフの平行移動
↓放物線の移動
↓同2
↓2次関数のグラフと係数の符号
↓センター試験問題 ２次関数
↓2次関数の最大・最小(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓（t≦x≦t+1）のときの２次関数の最大値・最小値
↓条件付２次関数の最大値・最小値
↓２次関数のグラフと直線(文字係数)
↓解と定数の大小問題
↓絶対値付き関数のグラフ

♣♥～教科書入門レベル/楽しいワーク～♠♪

《1》　2次関数 y=ax2のグラフの描き方

y=a(x−p)2+qのグラフのうちで，p=0, q=0の場合，すなわちy=ax2のグラフだけは中学校で習います．
p≠0の場合やq≠0の場合は，高校数学Ⅰで習います．

（証明）
ある点(x, y)が，曲線y=f(x)=ax2上にあるとき，f(−x)=a(−x)2=ax2が成り立つから，点(−x, y)も曲線y=f(x)=ax2上にある．したがって，この曲線はy軸に関して対称である．

　頂点と言っても，三角形の頂点のような角かどがあるわけではない．山の頂上のようなものになっている．

　凹レンズと凸レンズの凹凸が逆であるように，「上に凸」ということは「下に凹」と同じでないのか，「下に凸」ということは「上に凹」というのと同じでないのか，と考える生徒がいるかもしれません．理屈の上では，それらは同じことを表していますが，実際に，風船が外向きにふくらんでいる（外に凸）ということは言っても，内向きに凹んでいる（内に凹）とはいわない．このように「･･･に凸」といえることを「（その逆向き）に凹」と言い直すことは，まずありません．
　高校数学Ⅱ,Ⅲで「グラフの凹凸を調べよ」という言い方はあるが，その場合でも「上に凸」「下に凸」と答えるのが基本で，「上に凹」「下に凹」などという答案は，教科書でも参考書でも，見たことがない．･･･凸だけで話ができるので，凹に言い換えるメリットが感じられない．

問題1-1　2次関数 y=2x2のグラフを描いてください

1. はじめに，次の対応表を作る

x	−2	−1	0	1	2
y	8	2	0	2	8

2. 次に，上の表で示される点を下図の●のように書き込む．
3. 最後に，それらの点を「滑らかな曲線で結ぶ」と出来上がり

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問題1-2　2次関数 y=3x2のグラフを描いてください

1. はじめに，次の対応表を作る

x	−2	−1	0	1	2
y	12	3	0	3	12

2. 次に，上の表で示される点を下図の●のように書き込む．
3. 最後に，それらの点を「滑らかな曲線で結ぶ」と出来上がり

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問題1-3　2次関数 y=−x2のグラフを描いてください

1. はじめに，次の対応表を作る

x	−2	−1	0	1	2
y	−4	−1	0	−1	−4

2. 次に，上の表で示される点を下図の●のように書き込む．
3. 最後に，それらの点を「滑らかな曲線で結ぶ」と出来上がり

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問題1-4　2次関数 $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$のグラフを描いてください

1. はじめに，次の対応表を作る

x	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4
y	−8	−4.5	−2	−0.5	0	−0.5	−2	−4.5	−8

2. 次に，上の表で示される点を下図の●のように書き込む．
3. 最後に，それらの点を「滑らかな曲線で結ぶ」と出来上がり

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《2》　2次関数 y=ax2+qのグラフの描き方

《２次関数y=ax2+qのグラフ》
• y=ax2のグラフをy軸の方向にqだけ平行移動した放物線になる
• 頂点の座標は(0, q)，（放物線の対称）軸はy軸に一致する

• 数学用語で「1だけ平行移動」というときの"だけ"の意味は，日常用語で「お小遣いは100円だけか」という言い方とは全く違うことに注意．「お小遣いは100円だけ」という場合の"だけ"は限定の意味があり，100円では少ないという気分が入っています．これに対して，数学用語で「1だけ」という場合は「ちょうど1」「1に等しい」という意味です．

• 方向か向きか
　直線を指定したら方向は決まるが，向きは「あっち向き」「こっち向き」の２つある．だから「y軸の方向に」といっても，上向きか下向きかまでは決まらない．
　これに対して，「y軸の正の向きに」と言えば上向きで，その逆向きは下向きになる．
　このように，方向と向きという用語があるが，ほとんどの教科書は「y軸の方向に3だけ移動」「y軸の方向に−2だけ移動」というように，方向と符号付き数字の組合せで書かれているので，この教材もそれに合わせた･･･向きで表す場合には「y軸の正の向きに3だけ移動」「y軸の負の向きに2だけ移動」などとなる．

問題2-1　2次関数y=x2+3のグラフを描いてください

• はじめに，黒線で示したy=x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をy軸の方向に3だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり
（別解）
　はじめから，y=x2+3の対応表を作ってもよい

x	−2	−1	0	1	2
y=x2+3	7	4	3	4	7

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問題2-2　2次関数y=2x2−4のグラフを描いてください

• はじめに，黒線で示したy=2x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をy軸の方向に−4だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり
（別解）
　はじめから，y=2x2−4の対応表を作ってもよい

x	−2	−1	0	1	2
y=2x2−4	4	−2	−4	−2	4

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問題2-3　2次関数y=−x2+5のグラフを描いてください

• はじめに，黒線で示したy=−x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をy軸の方向に5だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり
（別解）
　はじめから，y=−x2+5の対応表を作ってもよい

x	−2	−1	0	1	2
y=−x2+5	1	4	5	4	1

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問題2-4　2次関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-3$のグラフを描いてください

• はじめに，黒線で示した$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をy軸の方向に−3だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり
（別解）
　はじめから，$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-3$の対応表を作ってもよい

x	−2	−1	0	1	2
$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-3$	−5	−3.5	−3	−3.5	−5

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《3》　2次関数 y=a(x−p)2のグラフの描き方

《２次関数y=a(x−p)2のグラフ》
• y=ax2のグラフをx軸の方向にpだけ平行移動した放物線になる
• 頂点の座標は(p, 0)，（放物線の対称）軸はx=pの直線になる

問題3-1　2次関数y=2(x−3)2のグラフを描いてください

• はじめに，黒線で示したy=2x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をx軸の方向に3だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり
（別解）
　はじめから，y=2(x−3)2の対応表を作ってもよい

x	−2	−1	0	1	2	3	4
y=2(x−3)2	50	32	18	8	2	0	2

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問題3-2　2次関数y=(x+2)2のグラフを描いてください

• はじめに，黒線で示したy=x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をx軸の方向に−2だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり
（別解）
　はじめから，y=(x+2)2の対応表を作ってもよい

x	−4	−3	−2	−1	0
y=(x+2)2	4	1	0	1	4

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問題3-3　2次関数y=−(x−2)2のグラフを描いてください

• はじめに，黒線で示したy=−x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をx軸の方向に2だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり
（別解）
　はじめから，y=−(x−2)2の対応表を作ってもよい

x	0	1	2	3	4
y=−(x−2)2	−4	−1	0	−1	−4

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問題3-4　2次関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3{)}^2$のグラフを描いてください

• はじめに，黒線で示した$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をx軸の方向に−3だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり
（別解）
　はじめから，$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3{)}^2$の対応表を作ってもよい

x	−7	−5	−3	−1	1
$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+3{)}^2$	−8	−2	0	−2	−8

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《4》　2次関数 y=a(x−p)2+qのグラフの描き方

(1) はじめに，y=2x2のグラフを描く（下図の黒線）
(2) 次に，(1)で描いたグラフをx軸方向（右方向）に3だけ平行移動して，y=2(x−3)2のグラフを描く（下図の緑線）
(3) 最後に，(2)で描いたグラフをy軸方向（上方向）に1だけ平行移動すると，y=2(x−1)2+1のグラフができる（下図の赤線）

　(1)→(2)→(3)の平行移動を考えるとき，頂点など幾つかの目印となる点を移動させてから，それらを滑らかな線で結ぶとよい･･･『点の移動を手がかりにして，グラフの移動を考える』のが秘訣

《２次関数y=a(x−p)2+qのグラフ》
• y=ax2のグラフをx軸の方向にp，y軸の方向にqだけ平行移動した放物線になる
• 頂点の座標は(p, q)，（放物線の対称）軸はx=pの直線になる

x=X+p
y=Y+q

⇔

X=x−p
Y=y−q

　(B)の形で描けば，x−pとy−qになって，両方ともマイナスになる．qだけが「よい子になって」「楽をして」「ずるい」訳ではない．
　しかし，関数の形は，y=···の形で書く方が見やすい，という習慣にしたがって，qを右辺に移項すると(A)の形になります．
　要するに，qだけが「楽をして」「ずるい」ように見えるのは，習慣に従って「移項するから」です．

問題4-1　2次関数y=(x−2)2+3のグラフを描き，頂点の座標と軸の方程式を答えてください

• はじめに，黒線で示したy=x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をx軸の方向に2，y軸の方向に3だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり（ただし，頂点(2, 3)は必ず入れておく）
　頂点の座標は(2, 3)，軸の方程式はx=2 →解説を隠す←

問題4-2　2次関数y=2(x+1)2−4のグラフを描き，頂点の座標と軸の方程式を答えてください

• はじめに，黒線で示したy=2x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をx軸の方向に−1，y軸の方向に−4だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり（ただし，頂点(−1, −4)は必ず入れておく）
　頂点の座標は(−1, −4)，軸の方程式はx=−1 →解説を隠す←

問題4-3　2次関数y=−2(x−3)2+4のグラフを描き，頂点の座標と軸の方程式を答えてください

• はじめに，黒線で示したy=−2x2のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をx軸の方向に3，y軸の方向に4だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり（ただし，頂点(3, 4)は必ず入れておく）
　頂点の座標は(3, 4)，軸の方程式はx=3 →解説を隠す←

問題4-4　2次関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}(x+2{)}^2-3$のグラフを描き，頂点の座標と軸の方程式を答えてください

• はじめに，黒線で示した$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2$のグラフを描く
• 次に，そのうちの幾つかの点（下図の●）をx軸の方向に−2，y軸の方向に−3だけ平行移動した点（下図の●）を描く
• 最後に，それらの点を赤色で示したような滑らかな曲線で結べばできあがり（ただし，頂点(−2, −3)は必ず入れておく）
　頂点の座標は(−2, −3)，軸の方程式はx=−2 →解説を隠す←