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※高校数学Ⅰの「２次関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　 が現在地です．

↓2次関数のグラフ（入門）
↓2次関数のグラフ［標準形］
↓平方完成の変形
↓平方完成（演習）
↓同2
↓展開形→頂点の座標
↓同2
↓同3
↓同4
↓同5
↓2次関数→頂点の座標
↓頂点の座標（文字係数1）
↓頂点の座標（文字係数2）
↓放物線の頂点を図で示す1
↓放物線の頂点を図で示す2
↓放物線の頂点を図で示す3(展開形)
↓2次関数のグラフの平行移動
↓放物線の移動
↓同2
↓2次関数のグラフと係数の符号
↓センター試験問題 ２次関数
↓2次関数の最大・最小(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓（t≦x≦t+1）のときの２次関数の最大値・最小値
↓条件付２次関数の最大値・最小値
↓２次関数のグラフと直線(文字係数)
↓解と定数の大小問題
↓絶対値付き関数のグラフ

== ２次関数の最大値・最小値 ==（区間や関数が変わる場合）

【例題１】
　下図１は，２次関数y=f(x)=(x−1)2のグラフのうちで0≦x≦tの区間を赤色で示し，他の区間を灰色で示したものです．
t>0のとき，この関数の区間0≦x≦tにおける最小値と最大値を求めてください．
（tの値は，初め0.50になっていますが，赤で示したスケールをクリックすると変更できます．）
≪こういう形の問題を初めて学ぶ人へ≫
　「tが変わるからtは変数で，xも変数なのでどう考えてよいか分からない」と当惑している場合，次のように考えてください．
　初めにtを決めます．そのtの値に応じて変数xを考えます．
だから，tは定数，xは変数と考えます
（解説）
○最小値
　tの値を少しずつ大きくしていくと，t=1になるまで，区間の右端（青線で示したところ）x=tのところで最小値になることが分かります．
0<t≦1のとき最小値はf(t)=(t−1)2
　しかし，tの値を1よりも大きくしても，区間0≦x≦tの中では，x=1のときの最小値f(1)=0よりも小さな値は登場しないので，最小値は変わらず0になります．
t>1のとき最小値はf(1)=0
○最大値
ア）　tの値を少しずつ大きくした場合，t=2になるまでは，区間の左端（緑線で示したところ）x=0のところで最大値になっています．
0<t<1のとき最大値はf(0)=1
イ）　t=2のときは，区間の左端（緑線で示したところ）x=0と区間の右端（青線で示したところ）x=2のところのyの値が等しく，最大値はf(0)=f(2)=1になっています．
この場合分けは，ウ）の場合分けのxの値を等号付き不等号にすることにより，ウ）の分類に含めることができます．
ウ）　t>2のときは，区間の左端（緑線で示したところ）x=0よりも区間の右端（青線で示したところ）x=tのところの方がyの値が大きくなります．
t>2のとき最大値はf(t)=(t−1)2
*** 区間の左端が固定されていて，右端が動く場合 ***


≪図１≫
tの現在値:0.50
問１t>0のとき，２次関数y=−x2+2xの区間0≦x≦tにおける最大値と最小値を求めてください．

（次のア～シに入るものを下の選択肢で選んでください．暗算ではできません．各自で計算用紙を使ってください．）
0<t<アのとき，x=イで最大値ウをとる
t≧エのとき，x=オで最大値カをとる

0<t<キのとき，x=クで最小値ケをとる
t≧コのとき，x=サで最小値シをとる

ア 0 1 2 t −t2+2t
イ 0 1 2 t −t2+2t
ウ 0 1 2 t −t2+2t
エ 0 1 2 t −t2+2t
オ 0 1 2 t −t2+2t
カ 0 1 2 t −t2+2t
キ 0 1 2 t −t2+2t
ク 0 1 2 t −t2+2t
ケ 0 1 2 t −t2+2t
コ 0 1 2 t −t2+2t
サ 0 1 2 t −t2+2t
シ 0 1 2 t −t2+2t

【例題２】
　下図２は，２次関数y=f(x)=(x−1)2のグラフのうちでt≦x≦t+1の区間を赤色で示し，他の区間を灰色で示したものです．
t>0のとき，この関数の区間t≦x≦t+1における最小値と最大値を求めてください．
（tの値は，初め−0.5になっていますが，赤で示したスケールをクリックすると変更できます．）
（解説）
○最小値
ア）区間の右端t+1が1になるまではtを少しずつ増やしていくと，右端で最小値になります．
t+1<1すなわちt<0のとき，最小値はf(t)=t2
イ）0<t<1のときは，区間の中に減少の場所と増加の場所があり，x=1のとき最小になります．
0<t<1のとき，最小値はf(1)=0
ウ）1≦tのときは，増加関数になり，左端x=tのとき最小になります．
1≦tのとき，最小値はf(t)=(t−1)2
○最大値
ア）tが負の場合，区間の左端で最大値になります．この事情は，f(t)とf(t+1)とが等しくなるとき（t=0.5まで）続きます．
t<0.5のとき，最大値はf(t)=(t−1)2
イ）t=0.5のときは，左端と右端の値が等しくなります
t=0.5のとき，最大値はf(0.5)=f(0.5)=0.25
ウ）0.5<tのときは，右端x=t+1のとき最大になります．
0.5<tのとき，最大値はf(t+1)=t2
*** 一定の幅の区間が動く場合 ***


≪図２≫
tの現在値:−0.5
問2２次関数y=−x2+2xの区間t≦x≦t+1における最大値と最小値を求めてください．

（次のア～シに入るものを下の選択肢で選んでください．暗算ではできません．各自で計算用紙を使ってください．）
○最大値
t<アのとき，
x=イで最大値ウをとる

ア≦t≦エのとき，
x=オで最大値カをとる
エ<tのとき，
x=キで最大値クをとる
○最小値
t<ケのとき，
x=コで最小値サをとる
ケ≦tのとき，
x=シで最小値スをとる

【例題３】
　下図３は，２次関数y=f(x)=(x−t)2−1のグラフのうちで0≦x≦1の区間を赤色で示し，他の区間を灰色で示したものです．
tの値が変化するとき，この関数の区間0≦x≦1における最小値と最大値を求めてください．
（tの値は，初め−0.5になっていますが，赤で示したスケールをクリックすると変更できます．）
（解説）
頂点が(t, −1)にある谷形（下に凸な）放物線のうち0≦x≦1の区間を使う．

○最小値
ア）t<0のときは，0≦x≦1の区間では増加関数になっているので
t<0のとき，最小値はf(0)=t2−1
イ）0≦t<1のときは，区間の中に減少の場所と増加の場所があり，x=tのとき最小になります．
0≦t<1のとき，最小値はf(t)=−1
ウ）1≦tのときは，減少関数になり，右端x=1のとき最小になります．
1≦tのとき，最小値はf(1)=(1−t)2−1=t2−2t
○最大値
ア）t<0のときは，0≦x≦1の区間では増加関数になっているので
t<0のとき，最大値はf(1)=(1−t)2−1=t2−2t
イ）0≦t<1のときは，区間の中に減少の場所と増加の場所があり，x=0, 1のとき最大になります．
そのうちで，t<0.5のときはf(0)<f(1)，t>0.5のときはf(0)>f(1)になるから
0≦t<0.5のとき，最大値はf(1)=t2−2t
0.5≦t<1のとき，最大値はf(0)=t2−1
ウ）1≦tのときは，減少関数になり，左端x=0のとき最大になります．
1≦tのとき，最大値はf(0)=t2−1
※答案にまとめるときは，t<0, 0≦t<0.5, 0.5≦tに分けるとよい．
*** 区間が固定されていて，グラフが変化する場合 ***

≪図３≫
tの現在値:−0.5

問３２次関数y=−(x−t)2+1の区間0≦x≦1における最大値と最小値を求めてください．
（次のア～シに入るものを下の選択肢で選んでください．暗算ではできません．各自で計算用紙を使ってください．）
○最大値
ア>tのとき，x=イで最大値ウをとる
ア≦t<エのとき，x=オで最大値カをとる
エ≦tのとき，x=キで最大値クをとる
○最小値
t<ケのとき，x=コで最小値サをとる
ケ≦tのとき，x=シで最小値スをとる

...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値について／17.4.30］
問1 キ及びコは、2だと思います。（1で○になる理由が解りません）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．プログラムの点検ミスがありましたので訂正しました．（同じ問題でPC用は正常で携帯用だけ違っていたようです）
■［個別の頁からの質問に対する回答］[２次関数の最大値・最小値（区間や関数が変わる場合）について／16.10.24］
問１t>0のとき，２次関数y=−x2+2xの区間0≦x≦tにおける最大値と最小値を求めてください 最小値の変域が違う気がします・・・。ほかのページの問題でも、変域が違う問題がありました・・・。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁内でつじつまの合わない箇所は訂正しました．

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