![]() ![]() *** 科目 *** 数Ⅰ・A数Ⅱ・B数Ⅲ高卒・大学初年度 *** 単元 *** 数と式不等式二次関数二次不等式三角比三角比と図形集合・命題・証明順列・組合せ確率整数の性質 ※高校数学Ⅰの「2次関数」について,このサイトには次の教材があります. この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は,他の頁を先に見てください. が現在地です. ↓2次関数のグラフ(入門) ↓2次関数のグラフ[標準形] ↓平方完成の変形 ↓平方完成(演習) ↓同2 ↓展開形→頂点の座標 ↓同2 ↓同3 ↓同4 ↓同5 ↓2次関数→頂点の座標 ↓頂点の座標(文字係数1) ↓頂点の座標(文字係数2) ↓放物線の頂点を図で示す1 ↓放物線の頂点を図で示す2 ↓放物線の頂点を図で示す3(展開形) ↓2次関数のグラフの平行移動 ↓放物線の移動 ↓同2 ↓2次関数のグラフと係数の符号 ↓センター試験問題 2次関数 ↓2次関数の最大・最小(1) ↓同(2) ↓同(3) ↓同(4) ↓(t≦x≦t+1)のときの2次関数の最大値・最小値 ↓条件付2次関数の最大値・最小値 ↓2次関数のグラフと直線(文字係数) ↓解と定数の大小問題 ↓絶対値付き関数のグラフ |
aの符号
aの値は「グラフの形」によって決まり,特にaの符号は,グラフが下に凸(谷形)のときa>0,グラフが上に凸(山形)のときa<0になります.
【例】
【例】
図1のグラフは,下に凸になっていますので,a>0です.
直線で切ったとき,直線よりも下に「ふくらんでいる」のが下に「凸」
点線で示した耳の形を見るのではない
直線で切ったとき,直線よりも上に「ふくらんでいる」のが上に「凸」
点線で示した両足の形を見るのではない
cの符号
図1のグラフでは,c<0です.(青●で示した点のy座標)
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bの符号
bの符号は,グラフを見ただけでは判断できず,「aの符号」と「頂点のx座標」の両方から計算で求めなければなりません.のグラフで,2次関数の係数は, a=1, b=−2, c=2 です. 赤で示した線は のグラフで,2次関数の係数は, a=−1, b=2, c=0 です. だから,頂点のx座標はいずれもx=1で同じですが,bの符号が逆になっています. 一般に, の頂点のx座標(対称軸のx座標)は ですが,頂点のx座標(対称軸のx座標)の符号を見ただけではbの符号は分かりません. 上記の青で示した例では からb=−2<0が求まります. 上記の赤で示した例では からb=2>0が求まります.
【bの符号の求め方】
初めの問題の図1では![]() ②aの符号 の2つから決める ![]() ②a>0 だから,b<0になります. |
≪bの符号の求め方,他の例≫![]() ②a>0 ⇒ b>0 ![]() ②a>0 ⇒ b<0 ![]() ②a>0 ⇒ b=0 ![]() ②a<0 ⇒ b<0 ![]() ②a<0 ⇒ b>0 ![]() ②a<0 ⇒ b=0 |
x軸との交点が2個あるから,判別式の符号は x軸との接点が1個あるから,判別式の符号は x軸との共有点がないから,判別式の符号は |
授業や教科書での教材の順序によって,判別式という用語をまだ習っていない場合は,次のように「頂点のy座標」の符号で判断します. 一般に の頂点のy座標は (A)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (B)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (C)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (D)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (E)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (F)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ |
a+b+c, a−b+cの符号
右の図なら,a+b+c<0
同様にして,x=−1を代入すると,yの値はa−b+cになります.これにより,右図のように,x=−1のときのyの符号が分かるときは,a−b+cの符号が分かることになります.
右の図なら,a−b+c<0
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2次関数
【要点】
グラフの形が下に凸 ⇒ a>0 グラフの形が上に凸 ⇒ a<0 y軸との交点がx軸よりも上 ⇒ c>0 y軸との交点がx軸よりも下 ⇒ c<0 頂点(対称軸)のx座標とaの符号から ⇒ bの符号が求まる x軸との共有点の個数が2個 ⇒ x軸との共有点の個数が1個 ⇒ x軸との共有点がない ⇒ x=1のときのy座標から ⇒ a+b+cの符号が求まる x=−1のときのy座標から ⇒ a−b+cの符号が求まる 同様にして,x=2のときのy座標が分かれば ⇒ 4a+2b+cの符号が求まる |
【問題】 2次関数 (正しいものをクリック.採点結果と解説が出ます)
(1)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが下に凸(谷形)だから,a>0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも上にあるから,c>0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a>0 ⇒ b>0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が0個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
1という目盛りがなくても分かる 解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c>0だからa−b+c>0
…(答)
−1という目盛りがなくても分かる |
(2)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが上に凸(山形)だから,a<0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも上にあるから,c>0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a<0 ⇒ b>0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が2個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c<0だからa−b+c<0
…(答)
|
(3)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが下に凸(谷形)だから,a>0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも下にあるから,c<0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a>0 ⇒ b<0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が2個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c> 0だからa−b+c> 0
…(答)
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(4)
a< 0
a=0
a> 0
解説 やり直す
グラフが上に凸(山形)だから,a< 0…(答)
c< 0
c=0
c> 0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも下にあるから,c< 0…(答)
b< 0
b=0
b> 0
解説 やり直す ![]() ②a< 0 ⇒ b< 0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が0個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c<0だからa−b+c<0
…(答)
|
(5)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが上に凸(山形)だから,a<0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも下にあるから,c<0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a<0 ⇒ b<0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が1個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c=0だからa−b+c=0
…(答)
|
(6)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが下に凸(谷形)だから,a>0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも上にあるから,c>0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a>0 ⇒ b<0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が0個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
x=1の目盛りが書いてなくても分かる 解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c>0だからa−b+c>0
…(答)
x=−1の目盛りが書いてなくても分かる |
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次関数のグラフと係数の符号について/18.9.21]
2つの式の符号から決めるってどういう事ですか?
(二次関数のグラフと係数の符号の問題についてです)
=>[作者]:連絡ありがとう.解説に書いてあることを,そのままオーム返しのように聞くのはよい質問ではない. 「次のように2つの式の符号から決める。 頂点のx座標(=軸)から −b / 2a<0,ここで(A)よりa>0 したがってb>0」 と書いてあるのだから,−b/2aとa の2つの式の符号から決めるということです. |
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