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※高校数学Ⅰの「２次関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　 が現在地です．

↓2次関数のグラフ（入門）
↓2次関数のグラフ［標準形］
↓平方完成の変形
↓平方完成（演習）
↓同2
↓展開形→頂点の座標
↓同2
↓同3
↓同4
↓同5
↓2次関数→頂点の座標
↓頂点の座標（文字係数1）
↓頂点の座標（文字係数2）
↓放物線の頂点を図で示す1
↓放物線の頂点を図で示す2
↓放物線の頂点を図で示す3(展開形)
↓2次関数のグラフの平行移動
↓放物線の移動
↓同2
↓2次関数のグラフと係数の符号
↓センター試験問題 ２次関数
↓2次関数の最大・最小(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓（t≦x≦t+1）のときの２次関数の最大値・最小値
↓条件付２次関数の最大値・最小値
↓２次関数のグラフと直線(文字係数)
↓解と定数の大小問題
↓絶対値付き関数のグラフ

== 2次関数のグラフと係数の符号 ==

図１ y x 0
　2次関数y=ax2+bx+cのグラフが右図のように与えられているとき，係数 a, b, cなどの符号を，次のように求めることができます．
aの符号
　aの値は「グラフの形」によって決まり，特にaの符号は，グラフが下に凸（谷形）のときa>0，グラフが上に凸（山形）のときa<0になります．
【例】
y=2x2
【例】
y=−2x2

図1のグラフは，下に凸になっていますので，a>0です．
** 凸とは，どこを見るのか？ **
直線で切ったとき，直線よりも下に「ふくらんでいる」のが下に「凸」

点線で示した耳の形を見るのではない
直線で切ったとき，直線よりも上に「ふくらんでいる」のが上に「凸」

点線で示した両足の形を見るのではない

cの符号
　y=ax2+bx+cのグラフで，x=0のときy=cになります．すなわち，y軸との交点のy座標がcになります．
図1のグラフでは，c<0です．（青●で示した点のy座標）

bの符号
　bの符号は，グラフを見ただけでは判断できず，「aの符号」と「頂点のx座標」の両方から計算で求めなければなりません．
図２ y x 0 x=1 y=x2−2x+2 y=−x2+2x
　右図の青で示した線は
y=x2−2x+2
のグラフで，2次関数の係数は，
a=1, b=−2, c=2
です．
　赤で示した線は
y=−x2+2x
のグラフで，2次関数の係数は，
a=−1, b=2, c=0
です．
y=x2−2x+2=(x−1)2+1
y=−x2+2x=−(x−1)2+1
だから，頂点のx座標はいずれもx=1で同じですが，bの符号が逆になっています．
　一般に，
y=ax2+bx+c=a(x2+bax)+c
=a{(x+b2a)2−b24a2}+c
=a(x+b2a)2+{−b24a+c}
の頂点のx座標（対称軸のx座標）は
x=−b2a
ですが，頂点のx座標（対称軸のx座標）の符号を見ただけではbの符号は分かりません．
　上記の青で示した例では
x=−b2a=1>0かつa=1>0
からb=−2<0が求まります．
　上記の赤で示した例では
x=−b2a=1>0かつa=−1<0
からb=2>0が求まります．
【bの符号の求め方】
①頂点のx座標x=−b2aの符号
②aの符号
の２つから決める
　初めの問題の図１では
①頂点のx座標x=−b2a>0
②a>0
だから，b<0になります．

≪bの符号の求め方，他の例≫
y x 0 ①−b2a<0
②a>0
⇒ b>0
y x 0 ①−b2a>0
②a>0
⇒ b<0
y x 0 ①−b2a=0
②a>0
⇒ b=0

y x 0 ①−b2a<0
②a<0
⇒ b<0
y x 0 ①−b2a>0
②a<0
⇒ b>0
y x 0 ①−b2a=0
②a<0
⇒ b=0


D=b2−4acの符号
　D=b2−4acという式は「判別式」と呼ばれ，その符号が2次関数のグラフとx軸との共有点の個数に対応しています．この結果は，次のように覚えて使います．
(A)
x
(B)
x

x軸との交点が２個あるから，判別式の符号はD=b2−4ac>0
(C)
x
(D)
x

x軸との接点が１個あるから，判別式の符号はD=b2−4ac=0

(E)
x
(F)
x

x軸との共有点がないから，判別式の符号はD=b2−4ac<0


　授業や教科書での教材の順序によって，判別式という用語をまだ習っていない場合は，次のように「頂点のy座標」の符号で判断します．
　一般に
y=ax2+bx+c=a(x2+bax)+c
=a{(x+b2a)2−b24a2}+c
=a(x+b2a)2+{−b24a+c}
=a(x+b2a)2−b2−4ac4a
の頂点のy座標は
−b2−4ac4a
(A)の図では
①下に凸だからa>0
②頂点のy座標−b2−4ac4a<0
⇒ b2−4ac>0
(B)の図では
①上に凸だからa<0
②頂点のy座標−b2−4ac4a>0
⇒ b2−4ac>0
(C)の図では
①下に凸だからa>0
②頂点のy座標−b2−4ac4a=0
⇒ b2−4ac=0
(D)の図では
①上に凸だからa<0
②頂点のy座標−b2−4ac4a=0
⇒ b2−4ac=0
(E)の図では
①下に凸だからa>0
②頂点のy座標−b2−4ac4a>0
⇒ b2−4ac<0
(F)の図では
①上に凸だからa<0
②頂点のy座標−b2−4ac4a<0
⇒ b2−4ac<0

a+b+c, a−b+cの符号
図3 y x 0 1 −1
　関数y=f(x)=ax2+bx+cにおいて， x=1を代入すると，yの値はa+b+cになります．これにより，右図のように，x=1のときのyの符号が分かるときは，a+b+cの符号が分かることになります．
右の図なら，a+b+c<0
　同様にして，x=−1を代入すると，yの値はa−b+cになります．これにより，右図のように，x=−1のときのyの符号が分かるときは，a−b+cの符号が分かることになります．
右の図なら，a−b+c<0

　2次関数y=f(x)=ax2+bx+cのグラフが与えられているとき，係数a, b, cなどの符号は次のようにまとめることができます．
【要点】
グラフの形が下に凸 ⇒ a>0
グラフの形が上に凸 ⇒ a<0
y軸との交点がx軸よりも上 ⇒ c>0
y軸との交点がx軸よりも下 ⇒ c<0
頂点（対称軸）のx座標とaの符号から
⇒ bの符号が求まる
x軸との共有点の個数が２個 ⇒ b2−4ac>0
x軸との共有点の個数が１個 ⇒ b2−4ac>0
x軸との共有点がない ⇒ b2−4ac<0
x=1のときのy座標から
⇒ a+b+cの符号が求まる
x=−1のときのy座標から
⇒ a−b+cの符号が求まる
同様にして，x=2のときのy座標が分かれば
⇒ 4a+2b+cの符号が求まる

【問題】
　２次関数y=ax2+bx+cのグラフが次の図のようになるとき，a,b,c,b2−4ac,a+b+c,a−b+cの符号を求めてください．
（正しいものをクリック．採点結果と解説が出ます）
(1)
y x 0
a<0 a=0 a>0

c<0 c=0 c>0

b<0 b=0 b>0

b2−4ac<0 b2−4ac=0 b2−4ac>0

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0


(2)
y x 1 −1 0
a<0 a=0 a>0

c<0 c=0 c>0

b<0 b=0 b>0

b2−4ac<0 b2−4ac=0 b2−4ac>0

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0


(3)
y x 0 1 −1
a<0 a=0 a>0

c<0 c=0 c>0

b<0 b=0 b>0

b2−4ac<0 b2−4ac=0 b2−4ac>0

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0


(4)
y x 0 1 −1
a< 0 a=0 a> 0

c< 0 c=0 c> 0

b< 0 b=0 b> 0

b2−4ac<0 b2−4ac=0 b2−4ac>0

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0


(5)
y x 0 1 −1
a<0 a=0 a>0

c<0 c=0 c>0

b<0 b=0 b>0

b2−4ac<0 b2−4ac=0 b2−4ac>0

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0


(6)
y x 0
a<0 a=0 a>0

c<0 c=0 c>0

b<0 b=0 b>0

b2−4ac<0 b2−4ac=0 b2−4ac>0

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0


■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次関数のグラフと係数の符号について／18.9.21］
2つの式の符号から決めるってどういう事ですか？ (二次関数のグラフと係数の符号の問題についてです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説に書いてあることを，そのままオーム返しのように聞くのはよい質問ではない．
「次のように２つの式の符号から決める。 頂点のx座標（=軸）から −b / 2a<0，ここで(A)よりa>0 したがってb>0」
と書いてあるのだから，−b/2aとa の２つの式の符号から決めるということです．

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