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aの符号
aの値は「グラフの形」によって決まり,特にaの符号は,グラフが下に凸(谷形)のときa>0,グラフが上に凸(山形)のときa<0になります.
【例】
【例】
図1のグラフは,下に凸になっていますので,a>0です.
直線で切ったとき,直線よりも下に「ふくらんでいる」のが下に「凸」
点線で示した耳の形を見るのではない
直線で切ったとき,直線よりも上に「ふくらんでいる」のが上に「凸」
点線で示した両足の形を見るのではない
cの符号
図1のグラフでは,c<0です.(青●で示した点のy座標)
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bの符号
bの符号は,グラフを見ただけでは判断できず,「aの符号」と「頂点のx座標」の両方から計算で求めなければなりません.のグラフで,2次関数の係数は, a=1, b=−2, c=2 です. 赤で示した線は のグラフで,2次関数の係数は, a=−1, b=2, c=0 です. だから,頂点のx座標はいずれもx=1で同じですが,bの符号が逆になっています. 一般に, の頂点のx座標(対称軸のx座標)は ですが,頂点のx座標(対称軸のx座標)の符号を見ただけではbの符号は分かりません. 上記の青で示した例では からb=−2<0が求まります. 上記の赤で示した例では からb=2>0が求まります.
【bの符号の求め方】
初めの問題の図1では![]() ②aの符号 の2つから決める ![]() ②a>0 だから,b<0になります. |
≪bの符号の求め方,他の例≫![]() ②a>0 ⇒ b>0 ![]() ②a>0 ⇒ b<0 ![]() ②a>0 ⇒ b=0 ![]() ②a<0 ⇒ b<0 ![]() ②a<0 ⇒ b>0 ![]() ②a<0 ⇒ b=0 |
x軸との交点が2個あるから,判別式の符号は x軸との接点が1個あるから,判別式の符号は x軸との共有点がないから,判別式の符号は |
授業や教科書での教材の順序によって,判別式という用語をまだ習っていない場合は,次のように「頂点のy座標」の符号で判断します. 一般に の頂点のy座標は (A)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (B)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (C)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (D)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (E)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ (F)の図では ![]() ②頂点のy座標 ⇒ |
a+b+c, a−b+cの符号
右の図なら,a+b+c<0
同様にして,x=−1を代入すると,yの値はa−b+cになります.これにより,右図のように,x=−1のときのyの符号が分かるときは,a−b+cの符号が分かることになります.
右の図なら,a−b+c<0
|
2次関数
【要点】
グラフの形が下に凸 ⇒ a>0 グラフの形が上に凸 ⇒ a<0 y軸との交点がx軸よりも上 ⇒ c>0 y軸との交点がx軸よりも下 ⇒ c<0 頂点(対称軸)のx座標とaの符号から ⇒ bの符号が求まる x軸との共有点の個数が2個 ⇒ x軸との共有点の個数が1個 ⇒ x軸との共有点がない ⇒ x=1のときのy座標から ⇒ a+b+cの符号が求まる x=−1のときのy座標から ⇒ a−b+cの符号が求まる 同様にして,x=2のときのy座標が分かれば ⇒ 4a+2b+cの符号が求まる |
【問題】 2次関数 (正しいものをクリック.採点結果と解説が出ます)
(1)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが下に凸(谷形)だから,a>0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも上にあるから,c>0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a>0 ⇒ b>0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が0個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
1という目盛りがなくても分かる 解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c>0だからa−b+c>0
…(答)
−1という目盛りがなくても分かる |
(2)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが上に凸(山形)だから,a<0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも上にあるから,c>0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a<0 ⇒ b>0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が2個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c<0だからa−b+c<0
…(答)
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(3)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが下に凸(谷形)だから,a>0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも下にあるから,c<0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a>0 ⇒ b<0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が2個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c> 0だからa−b+c> 0
…(答)
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(4)
a< 0
a=0
a> 0
解説 やり直す
グラフが上に凸(山形)だから,a< 0…(答)
c< 0
c=0
c> 0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも下にあるから,c< 0…(答)
b< 0
b=0
b> 0
解説 やり直す ![]() ②a< 0 ⇒ b< 0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が0個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c<0だからa−b+c<0
…(答)
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(5)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが上に凸(山形)だから,a<0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも下にあるから,c<0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a<0 ⇒ b<0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が1個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c=0だからa−b+c=0
…(答)
|
(6)
a<0
a=0
a>0
解説 やり直す
グラフが下に凸(谷形)だから,a>0…(答)
c<0
c=0
c>0
解説 やり直す
y軸との交点がx軸よりも上にあるから,c>0…(答)
b<0
b=0
b>0
解説 やり直す ![]() ②a>0 ⇒ b<0 …(答) 解説 やり直す
判別式で判断する場合,x軸との共有点の個数が0個だから
a+b+c<0
a+b+c=0
a+b+c>0
頂点のy座標とaの符号で判断する場合 ![]() ②頂点のy座標 ⇒ 解説 やり直す
x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0
…(答)
a−b+c<0
a−b+c=0
a−b+c>0
x=1の目盛りが書いてなくても分かる 解説 やり直す
x=−1のときy=a−b+c>0だからa−b+c>0
…(答)
x=−1の目盛りが書いてなくても分かる |
■[個別の頁からの質問に対する回答][2次関数のグラフと係数の符号について/18.9.21]
2つの式の符号から決めるってどういう事ですか?
(二次関数のグラフと係数の符号の問題についてです)
=>[作者]:連絡ありがとう.解説に書いてあることを,そのままオーム返しのように聞くのはよい質問ではない. 「次のように2つの式の符号から決める。 頂点のx座標(=軸)から −b / 2a<0,ここで(A)よりa>0 したがってb>0」 と書いてあるのだから,−b/2aとa の2つの式の符号から決めるということです. |
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