２次関数のグラフと係数の符号

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== 2次関数のグラフと係数の符号 ==

　2次関数

y = a x^{2} + b x + c

のグラフが右図のように与えられているとき，係数 a, b, cなどの符号を，次のように求めることができます．

aの符号

　aの値は「グラフの形」によって決まり，特にaの符号は，グラフが下に凸（谷形）のときa>0，グラフが上に凸（山形）のときa<0になります．

【例】

図1のグラフは，下に凸になっていますので，a>0です．

** 凸とは，どこを見るのか？ **

直線で切ったとき，直線よりも下に「ふくらんでいる」のが下に「凸」

点線で示した耳の形を見るのではない

直線で切ったとき，直線よりも上に「ふくらんでいる」のが上に「凸」

点線で示した両足の形を見るのではない

cの符号

y = a x^{2} + b x + c

のグラフで，x=0のときy=cになります．すなわち，y軸との交点のy座標がcになります．

図1のグラフでは，c<0です．（青●で示した点のy座標）

bの符号

　bの符号は，グラフを見ただけでは判断できず，「aの符号」と「頂点のx座標」の両方から計算で求めなければなりません．

　右図の青で示した線は

y = x^{2} - 2 x + 2

のグラフで，2次関数の係数は，
a=1, b=−2, c=2
です．
　赤で示した線は

y = - x^{2} + 2 x

のグラフで，2次関数の係数は，
a=−1, b=2, c=0
です．

y = x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1

y = - x^{2} + 2 x = - (x - 1)^{2} + 1

だから，頂点のx座標はいずれもx=1で同じですが，bの符号が逆になっています．

　一般に，

y = a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c

= a {(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} + c

= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + {- \frac{b^{2}}{4 a} + c}

の頂点のx座標（対称軸のx座標）は

x = - \frac{b}{2 a}

ですが，頂点のx座標（対称軸のx座標）の符号を見ただけではbの符号は分かりません．
　上記の青で示した例では

x = - \frac{b}{2 a} = 1 > 0

かつa=1>0
からb=−2<0が求まります．
　上記の赤で示した例では

x = - \frac{b}{2 a} = 1 > 0

かつa=−1<0
からb=2>0が求まります．

【bの符号の求め方】

①頂点のx座標

x = - \frac{b}{2 a}

の符号
②aの符号
の２つから決める

　初めの問題の図１では

①頂点のx座標

x = - \frac{b}{2 a} > 0

②a>0
だから，b<0になります．

≪bの符号の求め方，他の例≫

①

- \frac{b}{2 a} < 0

②a>0
⇒ b>0

①

- \frac{b}{2 a} > 0

②a>0
⇒ b<0

①

- \frac{b}{2 a} = 0

②a>0
⇒ b=0

①

- \frac{b}{2 a} < 0

②a<0
⇒ b<0

①

- \frac{b}{2 a} > 0

②a<0
⇒ b>0

①

- \frac{b}{2 a} = 0

②a<0
⇒ b=0

D = b^{2} - 4 a c

の符号

D = b^{2} - 4 a c

という式は「判別式」と呼ばれ，その符号が2次関数のグラフとx軸との共有点の個数に対応しています．この結果は，次のように覚えて使います．

(A)

(B)

x軸との交点が２個あるから，判別式の符号は

D = b^{2} - 4 a c > 0

(C)

(D)

x軸との接点が１個あるから，判別式の符号は

D = b^{2} - 4 a c = 0

(E)

(F)

x軸との共有点がないから，判別式の符号は

D = b^{2} - 4 a c < 0

　授業や教科書での教材の順序によって，判別式という用語をまだ習っていない場合は，次のように「頂点のy座標」の符号で判断します．
　一般に

y = a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c

= a {(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} + c

= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + {- \frac{b^{2}}{4 a} + c}

= a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

の頂点のy座標は

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

(A)の図では

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} < 0

⇒

b^{2} - 4 a c > 0

(B)の図では

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0

⇒

b^{2} - 4 a c > 0

(C)の図では

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = 0

⇒

b^{2} - 4 a c = 0

(D)の図では

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = 0

⇒

b^{2} - 4 a c = 0

(E)の図では

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0

⇒

b^{2} - 4 a c < 0

(F)の図では

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} < 0

⇒

b^{2} - 4 a c < 0

a+b+c, a−b+cの符号

　関数

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

において， x=1を代入すると，yの値はa+b+cになります．これにより，右図のように，x=1のときのyの符号が分かるときは，a+b+cの符号が分かることになります．

右の図なら，a+b+c<0

　同様にして，x=−1を代入すると，yの値はa−b+cになります．これにより，右図のように，x=−1のときのyの符号が分かるときは，a−b+cの符号が分かることになります．

右の図なら，a−b+c<0

　2次関数

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

のグラフが与えられているとき，係数a, b, cなどの符号は次のようにまとめることができます．

【要点】
グラフの形が下に凸 ⇒ a>0
グラフの形が上に凸 ⇒ a<0

y軸との交点がx軸よりも上 ⇒ c>0
y軸との交点がx軸よりも下 ⇒ c<0

頂点（対称軸）のx座標とaの符号から
⇒ bの符号が求まる

x軸との共有点の個数が２個 ⇒

b^{2} - 4 a c > 0

x軸との共有点の個数が１個 ⇒

b^{2} - 4 a c > 0

x軸との共有点がない ⇒

b^{2} - 4 a c < 0

x=1のときのy座標から
⇒ a+b+cの符号が求まる
x=−1のときのy座標から
⇒ a−b+cの符号が求まる
同様にして，x=2のときのy座標が分かれば
⇒ 4a+2b+cの符号が求まる

【問題】
　２次関数

y = a x^{2} + b x + c

のグラフが次の図のようになるとき，

a, b, c, b^{2} - 4 a c, a + b + c, a - b + c

の符号を求めてください．
（正しいものをクリック．採点結果と解説が出ます）

(1)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから，a>0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも上にあるから，c>0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標

- \frac{b}{2 a} < 0

②a>0
⇒ b>0 …（答）

b^{2} - 4 a c < 0

b^{2} - 4 a c = 0

b^{2} - 4 a c > 0

解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が０個だから

b^{2} - 4 a c < 0

…（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0

⇒

b^{2} - 4 a c < 0

…（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0 …（答）
1という目盛りがなくても分かる

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c>0だからa−b+c>0 …（答）
−1という目盛りがなくても分かる

(2)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから，a<0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも上にあるから，c>0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標

- \frac{b}{2 a} > 0

②a<0
⇒ b>0 …（答）

b^{2} - 4 a c < 0

b^{2} - 4 a c = 0

b^{2} - 4 a c > 0

解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が2個だから

b^{2} - 4 a c > 0

…（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0

⇒

b^{2} - 4 a c > 0

…（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0 …（答）

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c<0だからa−b+c<0 …（答）

(3)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから，a>0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも下にあるから，c<0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標

- \frac{b}{2 a} > 0

②a>0
⇒ b<0 …（答）

b^{2} - 4 a c < 0

b^{2} - 4 a c = 0

b^{2} - 4 a c > 0

解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が2個だから

b^{2} - 4 a c > 0

…（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} < 0

⇒

b^{2} - 4 a c > 0

…（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0 …（答）

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c> 0だからa−b+c> 0 …（答）

(4)

a< 0 a=0 a> 0
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから，a< 0…（答）

c< 0 c=0 c> 0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも下にあるから，c< 0…（答）

b< 0 b=0 b> 0
解説やり直す

①頂点のx座標

- \frac{b}{2 a} < 0

②a< 0
⇒ b< 0 …（答）

b^{2} - 4 a c < 0

b^{2} - 4 a c = 0

b^{2} - 4 a c > 0

解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が0個だから

b^{2} - 4 a c < 0

…（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} < 0

⇒

b^{2} - 4 a c < 0

…（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0 …（答）

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c<0だからa−b+c<0 …（答）

(5)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから，a<0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも下にあるから，c<0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標

- \frac{b}{2 a} < 0

②a<0
⇒ b<0 …（答）

b^{2} - 4 a c < 0

b^{2} - 4 a c = 0

b^{2} - 4 a c > 0

解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が1個だから

b^{2} - 4 a c = 0

…（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} = 0

⇒

b^{2} - 4 a c = 0

…（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0 …（答）

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c=0だからa−b+c=0 …（答）

(6)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから，a>0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも上にあるから，c>0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標

- \frac{b}{2 a} > 0

②a>0
⇒ b<0 …（答）

b^{2} - 4 a c < 0

b^{2} - 4 a c = 0

b^{2} - 4 a c > 0

解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が0個だから

b^{2} - 4 a c < 0

…（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標

- \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} > 0

⇒

b^{2} - 4 a c < 0

…（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0 …（答）
x=1の目盛りが書いてなくても分かる

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c>0だからa−b+c>0 …（答）
x=−1の目盛りが書いてなくても分かる

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次関数のグラフと係数の符号について／18.9.21］

2つの式の符号から決めるってどういう事ですか？ (二次関数のグラフと係数の符号の問題についてです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説に書いてあることを，そのままオーム返しのように聞くのはよい質問ではない．
「次のように２つの式の符号から決める。頂点のx座標（=軸）から −b / 2a<0，ここで(A)よりa>0 したがってb>0」
と書いてあるのだから，−b/2aとa の２つの式の符号から決めるということです．

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