２次関数のグラフと係数の符号

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== 2次関数のグラフと係数の符号 ==

　2次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフが右図のように与えられているとき，係数 a, b, cなどの符号を，次のように求めることができます．

aの符号

　aの値は「グラフの形」によって決まり，特にaの符号は，グラフが下に凸（谷形）のときa>0，グラフが上に凸（山形）のときa<0になります．

【例】

図1のグラフは，下に凸になっていますので，a>0です．

** 凸とは，どこを見るのか？ **

直線で切ったとき，直線よりも下に「ふくらんでいる」のが下に「凸」

点線で示した耳の形を見るのではない

直線で切ったとき，直線よりも上に「ふくらんでいる」のが上に「凸」

点線で示した両足の形を見るのではない

cの符号

　 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフで，x=0のときy=cになります．すなわち，y軸との交点のy座標がcになります．

図1のグラフでは，c<0です．（青●で示した点のy座標）

bの符号

　bの符号は，グラフを見ただけでは判断できず，「aの符号」と「頂点のx座標」の両方から計算で求めなければなりません．

　右図の青で示した線は
$y=x^2-2x+ 2$
のグラフで，2次関数の係数は，
a=1, b=−2, c=2
です．
　赤で示した線は
$y=-x^2+ 2x$
のグラフで，2次関数の係数は，
a=−1, b=2, c=0
です．
$y=x^2-2x+ 2=(x-1)^2+ 1$
$y=-x^2+ 2x=-(x-1)^2+ 1$
だから，頂点のx座標はいずれもx=1で同じですが，bの符号が逆になっています．

　一般に，
$y=ax^2+ bx+ c=a(x^2+ \frac{b}{a}x)+ c$
$=a\{(x+ \frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\}+ c$
$=a(x+ \frac{b}{2a})^2+\{-\frac{b^2}{4a}+ c\}$
の頂点のx座標（対称軸のx座標）は
$x=-\frac{b}{2a}$
ですが，頂点のx座標（対称軸のx座標）の符号を見ただけではbの符号は分かりません．
　上記の青で示した例では
$x=-\frac{b}{2a}=1\gt 0$ かつa=1>0
からb=−2<0が求まります．
　上記の赤で示した例では
$x=-\frac{b}{2a}=1\gt 0$ かつa=−1<0
からb=2>0が求まります．

【bの符号の求め方】

①頂点のx座標 $x=-\frac{b}{2a}$ の符号
②aの符号
の２つから決める

　初めの問題の図１では

①頂点のx座標 $x=-\frac{b}{2a}\gt 0$
②a>0
だから，b<0になります．

≪bの符号の求め方，他の例≫

① $-\frac{b}{2a}\lt 0$
②a>0
⇒ b>0

① $-\frac{b}{2a}\gt 0$
②a>0
⇒ b<0

① $-\frac{b}{2a}=0$
②a>0
⇒ b=0

① $-\frac{b}{2a}\lt 0$
②a<0
⇒ b<0

① $-\frac{b}{2a}\gt 0$
②a<0
⇒ b>0

① $-\frac{b}{2a}=0$
②a<0
⇒ b=0

$b^2-4ac$ の符号

　 $D=b^2-4ac$ という式は「判別式」と呼ばれ，その符号が2次関数のグラフとx軸との共有点の個数に対応しています．この結果は，次のように覚えて使います．

(A)

(B)

x軸との交点が２個あるから，判別式の符号は $D=b^2-4ac\gt 0$

(C)

(D)

x軸との接点が１個あるから，判別式の符号は $D=b^2-4ac=0$

(E)

(F)

x軸との共有点がないから，判別式の符号は $D=b^2-4ac\lt 0$

　授業や教科書での教材の順序によって，判別式という用語をまだ習っていない場合は，次のように「頂点のy座標」の符号で判断します．
　一般に
$y=ax^2+ bx+ c=a(x^2+ \frac{b}{a}x)+ c$
$=a\{(x+ \frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\}+ c$
$=a(x+ \frac{b}{2a})^2+\{-\frac{b^2}{4a}+ c\}$
$=a(x+ \frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$
の頂点のy座標は
$-\frac{b^2-4ac}{4a}$
(A)の図では

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\lt 0$
⇒ $b^2-4ac\gt 0$
(B)の図では

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\gt 0$
(C)の図では

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$
⇒ $b^2-4ac=0$
(D)の図では

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$
⇒ $b^2-4ac=0$
(E)の図では

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$
(F)の図では

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\lt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$

a+b+c, a−b+cの符号

　関数 $y=f(x)=ax^2+ bx + c$ において， x=1を代入すると，yの値はa+b+cになります．これにより，右図のように，x=1のときのyの符号が分かるときは，a+b+cの符号が分かることになります．

右の図なら，a+b+c<0

　同様にして，x=−1を代入すると，yの値はa−b+cになります．これにより，右図のように，x=−1のときのyの符号が分かるときは，a−b+cの符号が分かることになります．

右の図なら，a−b+c<0

　2次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフが与えられているとき，係数a, b, cなどの符号は次のようにまとめることができます．

【要点】
グラフの形が下に凸 ⇒ a>0
グラフの形が上に凸 ⇒ a<0

y軸との交点がx軸よりも上 ⇒ c>0
y軸との交点がx軸よりも下 ⇒ c<0

頂点（対称軸）のx座標とaの符号から
⇒ bの符号が求まる

x軸との共有点の個数が２個 ⇒ $b^2-4ac\gt 0$
x軸との共有点の個数が１個 ⇒ $b^2-4ac=0$
x軸との共有点がない ⇒ $b^2-4ac\lt 0$

x=1のときのy座標から
⇒ a+b+cの符号が求まる
x=−1のときのy座標から
⇒ a−b+cの符号が求まる
同様にして，x=2のときのy座標が分かれば
⇒ 4a+2b+cの符号が求まる

【問題】
　２次関数 $y=ax^2+ bx+ c$ のグラフが次の図のようになるとき， $a,\hspace{3}b,\hspace{3}c,\hspace{3}b^2-4ac,\hspace{3}a+ b+ c,\hspace{3}a-b+ c$ の符号を求めてください．
（正しいものをクリック．採点結果と解説が出ます）

(1)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから，a>0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも上にあるから，c>0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標 $-\frac{b}{2a}\lt 0$
②a>0
⇒ b>0 …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が０個だから $b^2-4ac\lt 0$ …（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$ …（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0 …（答）
1という目盛りがなくても分かる

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c>0だからa−b+c>0 …（答）
−1という目盛りがなくても分かる

(2)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから，a<0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも上にあるから，c>0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標 $-\frac{b}{2a}\gt 0$
②a<0
⇒ b>0 …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が2個だから $b^2-4ac\gt 0$ …（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\gt 0$ …（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0 …（答）

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c<0だからa−b+c<0 …（答）

(3)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから，a>0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも下にあるから，c<0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標 $-\frac{b}{2a}\gt 0$
②a>0
⇒ b<0 …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が2個だから $b^2-4ac\gt 0$ …（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\lt 0$
⇒ $b^2-4ac\gt 0$ …（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0 …（答）

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c> 0だからa−b+c> 0 …（答）

(4)

a< 0 a=0 a> 0
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから，a< 0…（答）

c< 0 c=0 c> 0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも下にあるから，c< 0…（答）

b< 0 b=0 b> 0
解説やり直す

①頂点のx座標 $-\frac{b}{2a}\lt 0$
②a< 0
⇒ b< 0 …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が0個だから $b^2-4ac\lt 0$ …（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\lt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$ …（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0 …（答）

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c<0だからa−b+c<0 …（答）

(5)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが上に凸（山形）だから，a<0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも下にあるから，c<0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標 $-\frac{b}{2a}\lt 0$
②a<0
⇒ b<0 …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が1個だから $b^2-4ac=0$ …（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①上に凸だからa<0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$
⇒ $b^2-4ac=0$ …（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c<0だからa+b+c<0 …（答）

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c=0だからa−b+c=0 …（答）

(6)

a<0 a=0 a>0
解説やり直す

グラフが下に凸（谷形）だから，a>0…（答）

c<0 c=0 c>0
解説やり直す

y軸との交点がx軸よりも上にあるから，c>0…（答）

b<0 b=0 b>0
解説やり直す

①頂点のx座標 $-\frac{b}{2a}\gt 0$
②a>0
⇒ b<0 …（答）

$b^2-4ac\lt 0$ $b^2-4ac=0$ $b^2-4ac\gt 0$
解説やり直す

判別式で判断する場合，x軸との共有点の個数が0個だから $b^2-4ac\lt 0$ …（答）
頂点のy座標とaの符号で判断する場合

①下に凸だからa>0
②頂点のy座標 $-\frac{b^2-4ac}{4a}\gt 0$
⇒ $b^2-4ac\lt 0$ …（答）

a+b+c<0 a+b+c=0 a+b+c>0
解説やり直す

x=1のときy=a+b+c>0だからa+b+c>0 …（答）
x=1の目盛りが書いてなくても分かる

a−b+c<0 a−b+c=0 a−b+c>0
解説やり直す

x=−1のときy=a−b+c>0だからa−b+c>0 …（答）
x=−1の目盛りが書いてなくても分かる

■［個別の頁からの質問に対する回答］[2次関数のグラフと係数の符号について／18.9.21］

2つの式の符号から決めるってどういう事ですか？ (二次関数のグラフと係数の符号の問題についてです)
＝＞［作者］：連絡ありがとう．解説に書いてあることを，そのままオーム返しのように聞くのはよい質問ではない．
「次のように２つの式の符号から決める。頂点のx座標（=軸）から −b / 2a<0，ここで(A)よりa>0 したがってb>0」
と書いてあるのだから，−b/2aとa の２つの式の符号から決めるということです．

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