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※高校数学Ⅰの「２次関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので前後関係がよく分からないという場合は，他の頁を先に見てください．　 が現在地です．

↓2次関数のグラフ（入門）
↓2次関数のグラフ［標準形］
↓平方完成の変形
↓平方完成（演習）
↓同2
↓展開形→頂点の座標
↓同2
↓同3
↓同4
↓同5
↓2次関数→頂点の座標
↓頂点の座標（文字係数1）
↓頂点の座標（文字係数2）
↓放物線の頂点を図で示す1
↓放物線の頂点を図で示す2
↓放物線の頂点を図で示す3(展開形)
↓2次関数のグラフの平行移動
↓放物線の移動
↓同2
↓2次関数のグラフと係数の符号
↓センター試験問題 ２次関数
↓2次関数の最大・最小(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓（t≦x≦t+1）のときの２次関数の最大値・最小値
↓条件付２次関数の最大値・最小値
↓２次関数のグラフと直線(文字係数)
↓解と定数の大小問題
↓絶対値付き関数のグラフ

【平方完成の変形1】
(x+a)2=x2+2ax+a2
だから，右辺から書くと
x2+2ax+a2=(x+a)2
a2を移項すると
x2+2ax=(x+a)2−a2
2a=Aとおくと
x2+Ax=(x+A2)2−(A2)2…(1)

【例題１】　次の式を平方完成してください．
x2+6x
（解答）
(A方式)　次のように考えるのが普通
(B方式)　数学が苦手な人は，つぎのように考えてもよい．
※数学がもっと2苦手な人は，１次のxを付けたままにしていることがありますが，それは完全な間違いです．
１次の係数だけを連れてきます．
x2+6x=(x+3x)2−9　←（間違い）
x2+6x=(x2+3x)2−9　←（間違い）
x2+6x=(x+3)2−9　←（正しい）
【問題１】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）
(1) x2+2x
(2) x2+4x
(3) x2+8x

【平方完成の変形2】
先に述べた公式(1)は，Aが負の数でも成り立つが，符号で間違う生徒が多いので，分けて書いてみると．
(x−a)2=x2−2ax+a2
ここのところで，+a2となることが最後まで影響する
右辺から書くと
x2−2ax+a2=(x−a)2
a2を移項すると
x2−2ax=(x−a)2−a2
2a=Aとおくと
x2−Ax=(x−A2)2−(A2)2…(2)
このように，x2−Axを平方完成した場合も，最後が「引き算になる」ことに注意

【例題２】　次の式を平方完成してください．
x2−8x
（解答）
(A方式)
(x−4)2−42=(x−4)2−16

(B方式)
とにかく2乗の展開式を作ると x2−8x+16だから
x2−8x+16−16
=(x−4)2−16
** 危険な落とし穴 **
カッコ内のマイナスをプラスで打ち消そうとしてはダメ
(x−4)2+16は×
(x−4)2−16が○
(x−4)2=x2−8x+16
だから「引かないと合わない」

【問題２】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）
(1) x2−4x
(2) x2−10x
(3) x2−6x

【例題３】　次の式を平方完成してください．
x2+3x
（解答）
１次の係数が奇数：3のときは，その半分は分数になる．
x2+3x=(x+32)2−(32)2=(x+32)2−94
(B方式なら)
x2+3x=x2+2⋅32x+(32)2−(32)2
=(x+32)2−(32)2=(x+32)2−94
【問題３】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）
ここら辺から暗算では無理になりますので，計算用紙を使って計算してから答えてください．
まぐれで当たっても実力は付きません．
(1) x2+5x
(2) x2+9x
(3) x2+x

【例題４】　次の式を平方完成してください．
x2−5x
（解答）
１次の係数が奇数：5のときは，その半分は分数になる．
x2−5x=(x−52)2−(52)2=(x−52)2−254
(B方式なら)
x2−5x=x2−2⋅52x+(52)2−(52)2
=(x−52)2−(52)2=(x−52)2−254
【問題４】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）
(1) x2−3x
(2) x2−7x
(3) x2−12x

【平方完成の変形3】
x2の係数が1以外のとき，平方完成の変形を行うには，初めにその係数をくくり出してx2の係数が1になるようにします．
【例】　2x2+4x=2(x2+2x)
この形にしてから，（　　）の中を今までやってきた方法で平方完成します．
=2{(x+1)2−1}
最終的に答えの形にするときは「外側の｛　　｝をはずして」答えます．
=2(x+1)2−2
※内側の（　　）をはずしてしまうと，元に戻ってしまうので注意．
【変形の注意点】
1)　かっこを「はずす」ときは，係数を「掛ける」ので，
その逆にかっこで「くくる」ときは，係数で「割ります」．
かっこをはずす→3(x2+2x)=3x2+6x
かっこでくくる→3x2+6x=3(x2+2x)

2)　マイナスの係数でくくるときは，１次の係数の符号も変わります．
間違い計算→−3x2+6x=−3(x2+2x)
※この計算間違いはビックリするほど多いので気を付けましょう！
正しい計算→−3x2+6x=−3(x2−2x)


3)　整数の係数でくくるとき，係数はその整数で「割ったもの」になります．
これに対して，分数の係数でくくるとき，係数はその分数で「割ったもの」になります．分数で割るには逆数を掛けます．
整数でくくる→3x2+6x=3(x2+2x)
分数でくくる→13x2+2x=13(x2+6x)
※「あやしい」「よくわからない」と思ったら，かっこをはずしたときに元に戻るかどうか目で確かめるようにします．

※マイナスの符号と分数の係数が混ざると，間違いが非常に多くなる傾向がありますので，幾つか正しい例を示しておきます．
12x2+x=12(x2+2x)
12x2−4x=12(x2−8x)
−12x2+6x=−12(x2−12x)
−12x2−5x=−12(x2+10x)


4)　定数項があるとき，定数項は平方完成の計算に参加せずに外に置いたままにします．
定数項があるときに，かっこの内側に入れてしまうと，最後に再び外側に出さなければなりません．
出したり入れたりすると，計算間違いの元ですから，外に置いたままにして，平方完成から出てくる定数項と差し引きして答えます．
まずい計算→ 2x2+4x+1=2(x2+2x+12)
=2{(x+1)2−1+12}
=2{(x+1)2−12}
=2(x+1)2−1
 よい計算→ 2x2+4x+1=2(x2+2x)+1
=2{(x+1)2−1}+1
=2(x+1)2−2+1
=2(x+1)2−1

【問題５】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）
(1) 2x2+4x
(2) 3x2−12x
(3) −x2+6x
(4) −2x2−8x

【問題６】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）
暗算ではできません．計算用紙を使って計算してから答てください．
まぐれで正解になっても実力は付きません．
(1) 12x2+2x
(2) 13x2−2x
(3) −12x2+x
(4) −23x2−4x

【問題７】　次の各式を平方完成してください．（下の選択肢から正しいものを選んでクリック）
(1) 2x2+8x+5
(2) 2x2−4x+3
(3) x2−3x+1
(4) −x2+x−2

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方完成(基本)について／17.7.27］
問題の数字が文章と重なって表示されるために判読できず、解けない場合がある。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたは質問や意見の書き方を間違っています．その頁ではなく，他の何千頁もある教材の内のどこかの頁で，あるブラウザで見た時に文字が重なって見えるが，どの頁かどのブラウザかは明らかにできないと述べていることになります．これは，まともに対応してほしいという感想ではありません．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[平方完成(基本)について／17.5.10］
問題5(1)の判定が間違っています。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．この教材は昨日書き換えたばかりで，さっそく見てくれた人がいたとは感謝です．

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