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※高校数学ⅠＡの集合・命題・証明について，このサイトには次の教材があります．
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↓集合の要素
↓集合の表わし方
↓部分集合，包含関係
↓共通部分と和集合
↓補集合　
↓共通部分,和集合,補集合(練習問題)
↓ド・モルガンの法則
↓集合(楽しく初歩から)
↓オイラー図
↓集合の要素を用いた証明
↓p→qの真偽
↓逆・裏・対偶
↓必要条件，十分条件（等式）
↓同（不等式）
↓対偶証明法と背理法
↓背理法の入試問題
↓受験向き：条件・集合
↓必要条件，十分条件のセンター試験問題
↓同(2)
↓集合と条件(3)2013～
必要条件，十分条件(入試問題)

《補集合》 （問題は下にあります．）
《解説》
■　全体集合Ｕのうち，集合Ａを取り除いた残りの部分をＡの補集合といいで表わします．
　補集合は，全体集合Ｕの決め方によって変わります．
＜例＞ 
　Ｕを整数全体の集合とし，Ａを奇数の集合とするとき，は偶数の集合です． 
　しかし，Ｕを実数（数直線上に書ける数）全体の集合とし，Ａを奇数の集合とすると，は偶数とは限りません．
　＜例１＞
　全体集合Ｕ＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，Ａ＝｛1,2,3,5,7｝のとき　＝{4,6,8,9}
　＜例２＞
　Ｕは実数全体の集合，Ａ＝｛ｘ｜ｘ＞０｝のとき，＝｛ｘ｜ｘ≦０｝


《問題1》
　右図に示される集合について，次の集合の要素を示しなさい．(チェックを付けなさい)

(1) 
Ａ
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10


(2) 
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10


(3) 
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10


(4)
(Ａ)(Ｂ)
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8, 9

10


(5)
ＡＣ
1, 2, 3

4, 5, 6

7, 8


《問題2》　次の各式で表される集合は右図のどの部分を表すか．下の選択肢から選んで答えなさい．（１つクリックする）
(1)
A∩(B∩C)

(2)
(A∩B)∩C



《問題3》　次の各式で表される集合は右図のどの部分を表すか．下の選択肢から選んで答えなさい．（１つクリックする）
(1)
(A⋃B)∩C


(3)
A∩(B⋃C)

(4)
(A⋃B)∩(C∩B)

≪空集合≫
〇　要素を１つも持たない集合を空集合（くうしゅうごう）といい，Øで表す．
Ø={　}…(1)
　任意の集合Aに対して，その要素の個数をn(A)で表す．この記号を使えば，
n(Ø)=0…(2)
〇　空集合は任意の集合Aの部分集合になっていると定める．
Ø⊂A…(3)
　集合Aに２つの要素a, bが属しているとき，Aの部分集合は
Ø, {a}, {b}, {a, b}
の４個ある．
　集合Aに３つの要素a, b, cが属しているとき，Aの部分集合は
Ø, {a}, {b}, {c},
{a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
の８個ある．
　一般に，集合Aにｎ個の要素が属しているとき，Aの部分集合は2n個ある．
　例えば，２つの要素a, bの場合，次の表のように各々「入る」か「入らない」か，２通りずつあり，全体で2×2通り=4通りになる．

bありbなし
aあり{a,b}{a}
aなし{b}{ }
　一般に，ｎ個の要素があるときは，各々「入る」「入らない」で×2通りになるから，全体で2n通りになる．

(3)で述べたように，空集合は任意の集合の部分集合であると定めるから，
　例えば,全体集合がU={a, b}でA={a}のとき，A={b}
　このとき，
Aの部分集合は，Øと{a}
Aの部分集合は，Øと{b}
　このように，空集合はAにもAにも入っている．
Ø⊂A
Ø⊂A
したがって
A∩A=Ø

※おとぎ話による解説
　トリ軍団Aとケモノ軍団Aが争っているのに，コウモリ軍団Øは両方に入っている．
　ただし，コウモリ軍団には実体（要素）は１つもなく，実体がないから両方に入れる．
　全体集合Uが空集合でないとき，その１つの部分集合をAとすると，次の関係が成り立つ．
A⋃A=U…(4)
A∩A=Ø…(5)
A=A…(6)
∅=U…(7)
U=∅…(8)

《問題4》　全体集合Uは空集合でないものとし，その部分集合をA, B, C，空集合をØとするとき，次の各式の正誤を述べてください．下の選択肢から選んで答えなさい．（１つクリックする）
(1)
Ø⊂Ø

(2)
どんな要素xでも，x∉∅

(3)
任意の集合Aについて
A∩∅=A⋃∅=A

(4)
任意の集合Aについて
A ∩ U=A ⋃ U=A

(5)
A∩B≠∅, B∩C≠∅, C∩A≠∅のとき
必ずA∩B∩C≠∅になる．

(6)
A∩B=∅ならば必ずA∩B∩C=∅になる．

(7)
A⊂C, B⊂CならばA∩B=∅になる．

(8)
A∩B=∅ならばA⊂Bである．

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／18.4.27］
たびたび申し訳ありません。《問題３》の（４）の解説を拝見しても３行目の①②③④⑤⑦⑧となるには∩ではなく⋃ではないかと思われるのですがいかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題を特定できました．確かにそうなりますが，∪が並んでいる問題はあまり良い問題にならず，当初作成したときの意図と変わってしまうので，暫定版を見てもらってから，書き換えるかもしれません．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／18.4.27］
（４）の∩は⋃ではありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．(4)は問題１，２，３の３個あり，どの(4)か不明です．
問題または解説に∩のない問題２を外して，問題１または３としても，その指摘はあり得ないです．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／18.4.15］
問題も例題も最高でした。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.9.28］
例題が何問か出されていて良かった。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.8.29］
答えわかりません
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当面，お急ぎの場合は（携帯版には回答があります
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.5.18］
例題が最高すぎる
＝＞［作者］：連絡ありがとう．急には意味が分かりませんでしたが，ゆっくり考えて褒めてもらっていると解釈しました．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.4.23］
とっても参考になりました。 これからもこのように問題形式になっているととても良いかと思います。後、もう少し問題を増やしたらいいと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.3.28］
わかりやすくて復習程度にでもためになりました
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／17.1.15］
問題もあってわかりやすかった
＝＞［作者］：連絡ありがとう．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[補集合について／16.11.22］
例題つけるの素晴らしい！
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

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